2022届高考数学(文)一轮总复习检测：第十章 第一节 随机事件的概率 Word版含解析

第十章概率
第一节随机大事的概率
【最新考纲】 1.了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区分.2.了解两个互斥大事的概率加法公式．
1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否消灭，称n次试验
中大事A消灭的次数n A为大事A消灭的频数，称大事A消灭的比例f n(A)＝n A n为
大事A消灭的频率．
(2)对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．
2．大事的关系与运算
定义符号表示
包含关系假如大事A发生，则大事B肯定发生，这时称
大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)
B⊇A(或
A⊆B)
相等关系若B⊇A，且A⊇B，那么称大事A与大事B相A＝B
等
并大事
(和大事)
若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发
生，则称此大事为大事A与大事B的并大事(或
和大事)
A∪B(或
A＋B)
交大事
(积大事)
若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发
生，则称此大事为大事A与大事B的交大事(或
积大事)
A∩B(或
AB)
互斥大事
若A∩B为不行能大事，那么称大事A与大事B
互斥
A∩B＝∅
对立大事
若A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，那
么称大事A与大事B互为对立大事
A∩B＝
∅且A∪B
＝Ω
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必定大事的概率P(E)＝1．
(3)不行能大事的概率P(F)＝0．
(4)互斥大事概率的加法公式．
①假如大事A与大事B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若大事B与大事A互为对立大事，则P(A)＝1－P(B)．
1．(质疑夯基)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大事发生的频率与概率是相同的．()
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．()
(3)若随机大事A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于
乙中奖的概率．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球，在上述大事中，是对立大事的为( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
解析：至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且肯定有一个发生．∴②中两大事是对立大事．
答案：B
3．(2021·郑州调研)集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A .23
B .12
C .13
D .16
解析：从A 、B 中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种状况
其中和为4的有两种状况(2，2)，(3，1)． 故所求大事的概率P ＝26＝13.
答案：C
4．(2022·课标全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不
在同一花坛的概率是( )
A.1
3 B.12 C.23
D.56
解析：先列出基本大事，再利用古典概型概率公式求解．
从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝2
3
，故选C. 答案：C
5．(2021·江苏卷)袋中有外形、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析：从4只球中随机一次摸出2只球有6种不同结果．其中“颜色相同”为大事A ，且A 中只有1种结果．
∴P(A)＝16，则所求大事的概率P(A)＝1－P(A)＝56.
答案：5
6
两点留意
1．频率与概率有本质的区分，频率随着试验次数的转变而发生变化，频率是大量随机大事现象的客观规律，是一个常数．
2．对立大事不仅两个大事不能同时发生，而且二者必有一个发生．两种方法
求简单的互斥大事的概率一般有两种方法．
1．直接法：将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和，运用互斥大事的求和公式计算．
2间接法：先求此大事的对立大事的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．
一、选择题
1．有一个玩耍，其规章是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．大事“甲向南”与大事“乙向南”是() A．互斥但非对立大事B．对立大事
C．相互独立大事D．以上都不对
解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥大事，但不是对立大事．
答案：A
2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是1
2，乙获胜的概率是
1
3，则乙不输的概
率是()
A.
5
6B.
2
3
C.
1
2D.
1
3
解析：乙不输包含两种状况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为
1
2
＋
1
3
＝5
6.
答案：A
3．(2022·课标全国Ⅰ卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机
排成一行，则2本数学书相邻的概率为()
A.
1
2B.
1
3
C.
2
3D.
5
6
解析：设两本不同的数学书为a1，a2，1本语文书为b.则在书架上的摆放方法
有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．
因此2本数学书相邻的概率P＝4
6
＝2
3.
答案：C
4．(2022·郑州模拟)某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球(小球除编号
外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，登记编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，
登记编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()
A.
1
5B.
1
6
C.
5
6D.
35
36
解析：设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有n＝6×6
＝36种不同结果，满足a ＝b 的基本大事共有6种．
所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝5
6.
答案：C
5．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是( )
A .25
B .7
10 C .45 D .910
解析：设被污损的数字为x ，则 x 甲＝1
5(88＋89＋90＋91＋92)＝90，
x 乙＝1
5(83＋83＋87＋99＋90＋x)，
若x 甲＝x 乙，则x ＝8.
若x 甲>x 乙，则x 可以为0，1，2，3，4，5，6，7， 故P ＝810＝4
5.
答案：C
6．(2021·广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，全部人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上．则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人连续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A.14
B.716
C.12
D.916
解析：本题主要考查大事与概率．利用间落法，先计算有相邻的两个人站起来的概率．四个人抛硬币，一共有24＝16种不同的状况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种状况，三个人需要站起来有4种状况，四个人都站起来有1种状况，所以有相邻的两个人站起来的概率P ＝4＋4＋116＝916.故没有相邻的两个人
站起来的概率P ＝1－916＝7
16
.
答案：B 二、填空题
7．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此正面消灭的概率是3
7；③随机大
事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．
解析：①错，不肯定是10件次品；②错，3
7是频率而非概率；③错，频率不
等于概率，这是两个不同的概念．
答案：0
8．(2022·江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
解析：取两个数的全部状况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，
6)，共6种状况．
乘积为6的状况有：(1，6)，(2，3)，共2种状况．
所求大事的概率为26＝1
3.
答案：1
3
9．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，大事A 表示“朝上一面的数是奇数”，大事B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A ＋B)＝________．
解析：将大事A ＋B 分为：大事C “朝上一面的数为1、2”与大事D “朝上一面的数为3、5”．
则C 、D 互斥， 且P(C)＝13，P(D)＝1
3
，
∴P(A ＋B)＝P(C ＋D)＝P(C)＋P(D)＝2
3.
答案：2
3
三、解答题
10．(2021·湖南卷)某商场进行有奖促销活动，顾客购买肯定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出全部可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
解：(1)依题意，全部可能的摸出的结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，
b 2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，全部可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为P 1＝412＝1
3，
不中奖的概率为P 2＝1－P 1＝2
3
.
由于P 1＝13<P 2＝2
3
.故这种说法不正确．
11．某班选派5人，参与学校进行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值． 解：记大事“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则大事A k 彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56. ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56. 解得x ＝0.3.
(2) 由获奖人数最多4人的概率为0.96，得 P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44，得
P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.
解得y＝0.2.。