人教版数学中考复习专题练习——杨辉三角

2022年数学中考复习专题练习
杨辉三角
1.(2020泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝_________．
2.(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n
(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.则(a+b)9
展开式中所有项的系数和是()A .128
B .256
C .512
D .1024
(a+b)0
=1(a+b)1=a+b (a+b)2=a 2+2ab+b 2
(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
(a+b)4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4
(a+b)5=a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b
5
3.(2018德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（）
A.84
B.56
C.35
D.28
4.(2018宜昌)1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）
A.a=1，b=6，c=15
B.a=6，b=15，c=20
C.a=15，b=20，c=15
D.a=20，b=15，c=6
5.(2017黔南)杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：
按照前面的规律，则(a+b)5
=
．
6.(2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么a 9+a 11-2a 10+10的值是
．
7.阅读下列材料，并完成相应的任务：杨辉三角
我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．
在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式(a+b)n
的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示
任务：
(1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为、、；
(2)请直接写出(a+b)4的展开式：(a+b)4=；
(3)根据（2）中的规律，求114的值，写出计算过程．
8.杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n（此处n＝0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
(a+b)0＝1
(a+b)1＝a+b
(a+b)2＝a2+2ab+b2
(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是；（2）利用上述规律直接写出27＝；
（3）杨辉三角还有另一个特征：从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积．（4）由此你可以写出115＝．
9.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等．
（1）(a+b)n展开式中项数共有项．
（2）写出(a+b)5的展开式：(a+b)5＝．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
10.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么
1
1a +
2
1a +
3
1a +…+
n
a 1的值是
.
参考答案
1.20110
2.C
3.B
4.B
5.a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
6.11
7.(1)4、6、4
(2)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(3)114=(10+1)4=104+4×103×1+6×102×12+4×10×13+14
=1000+4000+600+40+1
=14641
8.(1)15
(2)128
(3)11
(4)161051
9.(1)n+1
(2)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=(2-1)5=1
20
10.
11。