高考数学复习：圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

y
并化简，
复
习
得到 7x2＋6cx－13c2＝0，
解得 x1＝c，x2＝－173c.
代入到 l 的方程，解得 y1＝32c，y2＝－194c.
数 学
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专题六 解析几何
因为点 P 在 x 轴上方，所以 Pc，32c. 由圆心 C 在直线 x＝4 上，可设 C(4，t)．
因为 OC∥AP，且由(1)知 A(－2c,0)，
3．(2019·天津卷，5)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线ax22
－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|＝4|OF|(O 为原点)， 数
二 轮
则双曲线的离心率为
复
习
A． 2
B． 3
学
(D)
C．2
D． 5
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专题六 解析几何
又 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4b2.故选 B.
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专题六 解析几何
2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是
(C )
A．
2 2
B．1
C． 2
D．2
数
学
二
轮
复 习
[解析] 由题意可得ba＝1，∴e＝
1＋ba22＝ 1＋12＝ 2.故选 C．
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专题六 解析几何
[解析]
因为双曲线 x2－by22＝1(b>0)经过点(3,4)，所以 9－1b62＝1(b>0)，解得 b
数 学
二
轮 复 习
＝ 2，即双曲线方程为 x2－y22＝1，其渐近线方程为 y＝± 2x.
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专题六 解析几何
7．(2019·浙江卷，15)已知椭圆x92＋y52＝1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方．若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是___1_5__.
(1)求椭圆的离心率．
(2)设经过点 F 且斜率为34的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时 数
二 轮
与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x＝4 上，且 OC∥AP.求椭圆的方程．
学
复
习
[解析] (1)解：设椭圆的半焦距为 c，由已知有 3a＝2b，又由 a2＝b2＋c2，
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专题六 解析几何
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双
曲线ax22－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)
的渐近
线方程
为___y_＝__±_ba_x______
；焦
点坐标
F1____(_－__c_,0_)____，F2_____(_c_,0_)___.
数 学
二
轮
复 习
②双
曲线ay22－
x2 b2
习
预测2020年命题热点：
(1)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围．
(2)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题.
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专题六 解析几何
知识整合
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：___|P_F__1|_＋__|P_F_2_|_＝__2_a_____(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：___||P__F_1_|－__|P__F_2|_|＝__2_a_______(2a<|F1F2|)．
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2
p2
2p
＝___4___，y1y2＝__－__p_2___；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝__s_in_2_α_(α 为弦 AB 的倾斜角)；
数 学
二
轮
复 习
2 ③|F1A|＋|F1B|＝___p___；④以弦 AB 为直径的圆与准线__相__切____.
4．忽略隐含条件．
圆锥曲线上点的横、纵坐标是有范围的，在设计求最值或范围时，易忽略
该条件．
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专题六 解析几何
1．(文)(2019·北京卷，5)已知双曲线ax22－y2＝1(a>0)的离心率是 5，则 a＝
( D)
A． 6
B．4
C．2
D．12
数
二 轮 复
[解析] 由双曲线方程ax22－y2＝1，得 b2＝1，∴c2＝a2＋1.
学
习
∴5＝e2＝ac22＝a2a＋2 1＝1＋a12.
结合 a>0，解得 a＝12.
故选 D.
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专题六 解析几何
(理)(2019·北京卷，4)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，则
(B )
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
数
学
二
轮 复 习
[解析] 因为椭圆的离心率 e＝ac＝12，所以 a2＝4c2.
D．cos150°
数 学
二
轮
复 习
[解析] 由题意可得－ba＝tan130°，
所以 e＝
1＋ba22＝ 1＋tan2130°＝
1＋csoins22113300°°＝|cos1130°|＝cos150°.故选
D．
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专题六 解析几何
(理)(2019·全国卷Ⅰ，10)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直
二 轮 复
__x_＝__∓_p2______.
学
习
②抛物线 x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为___(0_，__±_p2_)_____，准线方程为 y＝∓p2.
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专题六 解析几何
3．弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝
3 故4t ＝c＋2c2c，解得 t＝2.
二
轮 复
因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆 C 的半径为 2.
习
又由圆 C 与 l 相切，得344＋1＋c－3422＝2，可得 c＝2.
所以，椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
数 学
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专题六 解析几何
与弦有关的问题
2．求直线的方程或圆锥曲线的方程
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专题六 解析几何
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法．
(2)会利用圆锥曲线的性质解决相关问题．
数
(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法．
学
二
轮 复
(4)会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题．
[解析] 如图，左焦点 F(－2,0)，右焦点 F′(2,0)．
数
学
二 轮 复
线段 PF 的中点 M 在以 O(0,0)为圆心，2 为半径的圆上，
习
因此 OM＝2.
在△FF′P 中，OM 綊12PF′，所以 PF′＝4.
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专题六 解析几何
根据椭圆的定义，得 PF＋PF′＝6，
所以 PF＝2.
[解析] 由已知易得，抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线 l：x＝－1，所以
|OF| ＝ 1. 又 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 方 程 为
y
＝
b ±a
x
，
不
妨
设
点
A －1，ba ，
数
二 轮 复
B－1，－

ba，所以|AB|＝2ab＝4|OF|＝4，所以ba＝2，即 b＝2a，所以 b2＝4a2.又双
线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为
二 轮
A．x22＋y2＝1
复 习
C．x42＋y32＝1
B．x32＋y22＝1 D．x52＋y42＝1
( B)
数
学
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专题六 解析几何
[解析] 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋
＝1(a>0，b>0)
的渐近
线方程
为__y_＝__±_ab_x_______
，焦
点坐标
F1__(_0_，__－__c_)____，F2___(_0_，__c_)___.
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专题六 解析几何
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
① 抛 物 线 y2 ＝ ±2px(p>0) 的 焦 点 坐 标 为 __(_±_p2_，__0_)_____ ， 准 线 方 程 为 数
学
习
曲线方程中 c2＝a2＋b2，所以 c2＝5a2，所以 e＝ac＝ 5.故选 D．
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专题六 解析几何
4．(文)(2019·全国卷Ⅰ，10)双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的
倾斜角为 130°，则 C 的离心率为
(D )
A．2sin40°
B．2cos40°
C．sin150°
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)． 数
二
2．圆锥曲线的重要性质
学
轮
复 习
(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
①在椭圆中：___a_2＝__b_2_＋__c_2___；离心率为 e＝ac＝____1_－__ba_22___.
②在双曲线中___c_2_＝__a_2＋__b_2___；离心率为 e＝ac＝_____1_＋__ba_22 __.
数
二 轮 复 习
___1_＋__k_2_·|_x1_－__x_2_| __＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2或|AB|＝____1_＋___1k_2_|y_1_－__y_2|______＝
学
1＋1k2 y1＋y22－4y1y2.
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专题六 解析几何
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
解析几何
圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题
专题六 解析几何
高考考点
考点解读
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐
圆锥曲线的定义、标准方
近线方程
程与性质
2．考查圆锥曲线的定义、性质
数
二 轮
直线与圆锥曲线位置关系 1.位置关系的判定
学
复
习 的判断与证明问题
2．几何或代数关系式的证明
圆锥曲线中的最值(范围)及 1.考查弦长问题
消去 b 得 a2＝ 23a2＋c2，解得ac＝12. 所以，椭圆的离心率为12.
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专题六 解析几何
(2)解：由(1)知，a＝2c，b＝ 3c，故椭圆方程为4xc22＋3yc22＝1.
由题意，F(－c,0)，则直线 l 的方程为 y＝34(x＋c)．
二 轮
点
P
的坐标满足4xc22＋3yc22＝1，消去 y＝34x＋c，
二 2c2＋2c2＝a2，故ac＝ 2，即 e＝ 2.故选 A．
数 学
轮
复
习
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专题六 解析几何
6．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2－by22＝1(b>0)经 过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是___y_＝__±__2_x_____.
二 则 C 的离心率为
轮
复 习
A． 2
B． 3
( A) 学
C．2
D． 5
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专题六 解析几何
[解析] 设双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)．由圆
的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQ⊥OF.设
垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝2c.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2 得
圆上，得a42＋b42＝1，得 a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.故选 B．
数 学
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专题六 解析几何
5．(2019·全国卷Ⅱ，11)设 F 为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，O
为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|， 数
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专题六 解析几何
易错警示
1．忽略条件致误．
应用圆锥曲线定义解题时，易忽略定义中的条件导致错误．
2．忽略焦点的位置致误．
当焦点的位置没有明确给出时应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线 数
二 有两种情况，抛物线有四种情况．
学
轮
复 习
3．混淆a，b，c的关系致误．
在椭圆中a的值最大，a2＝b2＋c2；在双曲线中c的值最大，c2＝a2＋b2.
|AB|＋|BF1|＝4a.
数
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，
学
二
轮 复 习
∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
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专题六 解析几何
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a， ∴|AF1|＝|AF2|＝a， ∴点 A 是椭圆的短轴端点，如图．
不妨设 A(0，－b)，由 F2(1,0)，A→F2＝2F→2B，得 B32，b2.
又因为 FF′＝4，
所以在 Rt△MFF′中，
二
轮
复 习
tan∠PFF′＝MMFF′＝ FF′M2F－MF2＝ 15，
即直线 PF 的斜率是 15.
数 学
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专题六 解析几何
8．(文)(2019·天津卷，19)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，左顶点为 A，
上顶点为 B．已知 3|OA|＝2|OB|(O 为原点)．