高三数学理科模拟试卷4 试题

2021年高考数学〔理科〕模拟试题〔四〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题：〔每一小题5分，一共40分〕
1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},那么C U (A ∩B)等于( )
(A) {1,2,4} (B){4} (C) {3,5} (D)Ф
2、sin θ=54
，sin θ2<0,那么tan θ2的值等于( )
(A) 724- (B)724 (C)2524 (D)2524-
3、函数2
1
+=x y 的大致图象只能是〔 〕
〔A 〕 (B) (C) (D)
4、双曲线的两条准线分顶点间间隔 为三等分，那么双曲线的离心率为( )
x
x
x
(A) 3 (B)3 (C)
2
3
(D)6 5、设A=}21|{<<x x ，B=}|{a x x <,假设A ⊂B ，那么实数a 的取值范围是( )
(A)[)∞+,2 (B)()∞+,2 (C)(]1,∞- (D)()∞+,1
6．如图，非零向量b OB a,==OA ,且BC ⊥OA ，C 为垂足，设向量λ=OC a ，那么λ的值是( ) A.
2
a
b a ⋅ B.
b
a b
a ⋅⋅ C.2
b
b a ⋅ D.
b
a b
a ⋅⋅
7、直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出以下命题：
假设α∥β，那么⊥l m ②假设βα⊥，那么l ∥m
③假设l ∥m ，那么βα⊥ ④假设⊥l m ，那么
α∥β
其中正确的命题是〔 〕
〔A 〕③④ 〔B 〕①③ 〔C 〕②④ 〔D 〕①② 8、在某次数学测验中，记座号为)4,3,2,1(=n n 的同学的考试成绩
为)(n f ， 假
设
}
100,98,90,88,85,70{)(∈n f ，且满足
)4()3()2()1(f f f f <<<，那么这四位同学考试成绩的所有可能
情况有〔 〕种
(A)15 (B)20 (C)30 (D)35
二、填空题：〔每一小题5分，一共30分〕
9、假设→
a 与→
b 的夹角为1500
，→→==4||,3||b a ，那么=+→
→|2|b a 10、抛物线)2
0(cot 2π
θθ
<
<=x y 的焦点坐标是)16
1
,
0(，那么tan θ=
11、△ABC 中，BC =8，AC =5，三角形面积为12，那么cos2C 的值是
12、22023x x dx ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭⎰ 。

13、一个正整数表如下〔表中下一行中的数的个数是上一行中数
的个数的2倍〕：
那么第9行中的第4个数是 14、在以下三题中选做一道
(1)过点A(2,3)的直线的参数方程()232x t
t y t =+⎧⎨=+⎩为参数，假设此直
线与直线30x y -+=
相交于点B ，那么AB ＝ 。

(2)222cos cos cos 1αβγ++=，那么sin sin sin αβγ的最大值为 。

(3)假设BE 、CF 是ABC ∆的高，且ABC BECF S S ∆=四边形，那么A ∠＝ 。

三、解答题(满分是80分) 15、(本小题满分是14分) A 、B 是△ABC 内角，
①假设A 、B )2
,4(π
π∈,求证：tan A •tan B >1，
②假设B=3
2π
，求sin A +sin C 的取值范围。

16.(本小题满分是14分)
在一次HY 事演习中，某HY 同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一HY 事目的进展轰炸，甲击中目的的概率是4
3
；甲、丙同时轰炸一次，目的未被击中的概率为12
1
；乙、丙同时轰炸一次，都击中目的的概率是
4
1. (1)求乙、丙各自击中目的的概率； (2)求目的被击中的概率.
17.(本小题满分是14分)
如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1中点，且FD ⊥AC 1， (1)试求
1
DC AD
的值； (2)求二面角F -AC 1-C 的大小; (3)求点C 1到平面AFC 的间隔 .
18.(本小题满分是14分)
在平面直角坐标系中,A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 一共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1，b 1与n 来表示a n ;
(2)设a 1=a ，b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项。

19.(本小题满分是12分)
定点F (0,a )(a ≠0)，点P 、M 分别在x ，y 轴上，满足FP ·MP ＝0，点N 满足PM ＋PN ＝0. (1)求N 点的轨迹方程C ；
(2)过F 作一条斜率为k 的直线l ，l 与曲线C 交于A 、B 两点，
设G (0,-a ),∠AGB =θ，求证：0<θ≤2
π。

20.(本小题满分是12分)
函数f (x )=mx 3-x 的图象上，以N (1,n )为切点的切线的倾斜角为
4
， (1)求m ,n 的值；
(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k -1991对于x
∈[-1,3]恒成立？假如存在，恳求出最小的正整数k ；假如不存在，请说明理由; (3)求证：|f (sin x )+f (cos x )|≤2f (t +t
21
)(x ∈R ，t >0).
参考答案
一．选择题
1－8 A B B B A A B A 二．填空题
9． 2 10．
14
11．
257 12．43
13． 259 14．
(1)
(3)090 三．解答题 15．①证
1tan tan 1tan 1tan )2,4(,>⋅⇒>>⇒∈B A B A B A π
π
②解：
⎥
⎦⎤
⎝⎛+∴≤+<⇒
<+<⇒<<⇒=+=+
=
-+=+1,23sin sin 1)3
sin(233
2333032)3sin(cos 23sin 2
1
)3sin(
sin sin sin 的取值范围是C A A A A B A A A A A C A π
ππππππ
π
16(12分)
解：(1)记甲、乙、丙各自HY 击中目的的事件分别为A 、B 、C .
那么由，得P (A )=43,P (A ·C )=P (A )P (C )=41[1-P (C )]=12
1,∴P (C )=
3
2
…3分 由P (B ·C )＝P (B )P (C )=
41，得32P (B )=4
1
，∴P (B )＝8
3
. …………8分 (2)目的被击中的概率为 1-P (
A ·
B ·
C )＝
1-[1-P (A )][1-P (B )][1-P (C )]=1-(1-43)(1-83)(1-32)=96
91
,…10分 答:(1)乙、丙各自击中目的的概率分别为8
3，32
;(2)目的被击中的
概率为9691
.…12分
17.(12分)
解(方法1)(1)连AF ，FC 1，∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱
且各棱长都等于2，又F 为BB 1中点，∴Rt △ABF =Rt △C 1B 1F ，∴AF =FC 1.
又在△AFC 1中，FD ⊥AC 1，所以D 为AC 1的中点，即
1
DC AD
=1. ………4分 (2)取AC 的中点E ，连接BE 及DE ，易得DE 与FB 平行且
相等，
∴四边形DEBF 是平行四边形，∴FD 与BE 平行.
∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱,∴△ABC 是正三角形,
∴BE ⊥AC ，∴FD ⊥AC .
又∵FD ⊥AC 1，∴FD ⊥平面ACC 1，所以二面角F -AC 1-C
的大小为90°， …9分
(3)运用等积法求解，AC ＝2，AF ＝CF ＝5，可求S △ACF ＝2，
V F-ACC 1= V B-ACC 1=31×3×=332，V F-ACC 1= V C 1-ACF =3
1S △
ACF ×h ，
求得h =3.12分
18.(14分)
解：(1)∵点B n (n ,b n )(n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上， ∴
n
n b b n
n -+-+)1(1=6，即b n +1-b n =6,
于是数列{b n }是等差数列，
故b n =b 1+6(n -1). …………3分 ∵()()n n 1n n 1C B A A 111与又++--=-=+,b ,C B ,a a ,A A n n n n n n 一共线. ∴1×(-b n )-(-1)(a n +1-a n )=0,即a n +1-a n =b n
…………5分 ∴当
n ≥2
时，a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+
…
+(a n -a n-1)=a 1+b 1+b 2+b 3+…+b n-1
=a 1+b 1(n -1)+3(n -1)(n -2)
…………7分
当n=1时，上式也成立. 所以a n =a 1+b 1(n -1)+3(n -1)(n -2).
…………8分 (2)
把
a 1=a ,
b 1=-a
代
入
上
式
，
得
a n =a -a (n -1)+3(n -1)(n -2)=3n 2-(9+a )n +6+2a .
∵12<a ≤15,∴46
927≤+<a
,∴当n=4时，a n 取最小值，最小值
为a 4=18-2a. 14分 19.(14分)
解：(1)∵0=+PN PM ，∴P 为MN 的中点. 设N (x ,y )，那么M (0，-y ),P (02
,x ).
于是=FP (a ,x
-2
)，⎪⎭
⎫
⎝⎛=y ,x MP 2
.
∵,MP FP 0=•∴(2
x )2-ay =0. 即N 点的轨迹方程为x 2=4ay
………5分
(2)由题意知，直线l 的方程为y =kx +a ,代入x 2=4ay 得
x 2-4akx -4a 2=0.
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么x 1+x 2=4ak ,x 1x 2=-4a 2.
………7分
∴y 1+y 2=(kx 1+a )+(kx 2+a )=k (x 1+x 2)+2a=4ak 2+2a ,
y 1y 2=(kx 1+a )(kx 2+a )=k 2x 1x 2+ak (x 1+x 2)+a 2=-4a 2k 2+4a 2k 2+a 2=a 2
…9分
∵G (0，-a ),∴GA =(x 1,y 1+a ),=GB (x 2,y 2+a ). ∴GB GA •=x 1x 2+(y 1+a )(y 2+a )=x 1x 2+y 1y 2+a (y 1+y 2)+a 2 =-4a 2+a 2+a (4ak 2+2a )+a 2=4a 2k 2≥0, 即|GA |·|GB |cos θ≥0，∴cos θ≥0,故0≤θ≤2
π
.
……12分
又点G (0，-a )不在直线l 上，∴A 、B 、G 三点不一共线. 故0<θ≤2
π.
………14分
20.(14分)
解：(1)f ′(x )=3mx 2-1,依题意，得tan 4π= f ′(1)，即1=3m -1,m =3
2. ∴f ′(x )=3
2,n =－3
1.
(2)令f ′(x )=2x 2-1=0,得x =±
2
2
.
当-1<x <-2
2
时，f ′(x )=2x 2-1>0; 当
2
2
<x <3时，f ′(x )=2x 2-1>0. 又f (-1)=3
1,f (-
22)=32,f (22)=-3
2,f (3)=15. 因此，当x ∈[-1,3]时-3
2
≤f (x )≤15;
………6分
要使得不等式f (x )≤k -1991对于x ∈[-1,3]恒成立，那么k ≥
１５+1991=2021.
………8分
所以，存在最小的正整数k =2021,使不得等式f (x )≤k -1991对于x ∈[-1,3]恒成立. (3)(方法1)：|f (sin)+f (cos x )|=|(32
sin 3x -sin x )+(3
2cos 3x -cos x )| =|3
2(sin 3x +cos 3x )-(sin x +cos x )|
=|(sin x +cos x )[3
2(sin 2x -sin x cos x +cos 2x )-1]| =|sin x +cos x |·|-32sin x cos x -31|=3
1|sin x +cos x |3
=3
1|)4
sin(x 2π+|3≤3
2
2.
………11分 又∵t >0,∴t +t
21≥.t t ,141
22
2≥+
∴2f (t +
t
21)[32(t 2+
2
41t )-3
1≥]223
223132=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-. 综上可得，|f (sin x )+f (cos x )|≤2f (t +
t
21
)(x ∈R,t >0).
………14分
(方法2)由(2)知，函数f(x)在[-1,-22]上是增函数；在[-22,2
2
]上是减函数；在[
2
2
，1]上是增函数； 又f (-1)=31
,f ().f ,f ,31
132
2232
22=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
- 所以，当x ∈[-1,1]时，-32≤f (x )≤32,即|f (x )|≤3
2. ∵sin x ,cos x ∈[-1,1],∴|f (sin x )| ≤32,|f (cos x )|≤3
2. ∴|f (sin x )+f (cos x )| ≤|f (sin x )|+|f (cos x )| ≤3
2+3
2≤3
2
2 ………11分 又∵t >0.∴t +,t
1221
>≥且函数f (x )在[1，+∞]上是增函数.
∴2f (t +
t
21
)≥2f (2)=2[3
2(2)3-2]=
3
2
2. 综上可得，|f (sin x )+f (cos x )|≤2f (t +t
21)(x ∈R,t >0).
………14分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。