高三数学三模试题 理含解析 试题

2021届高三数学三模试题 理〔含解析〕
第一卷〔选择题 一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.假设复数z 满足(23)z i i +=，那么z 在复平面上对应的点位于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限 【答案】D 【解析】 【分析】
先求出复数z,再求复数z 即得解. 【详解】由题得(23)3223(23)(23)13
i i i i
z i i i -+=
==++-， 所以32
1313
z i =
-， 所以z 在复平面上对应的点为
32
)1313
（，-， 应选：D
【点睛】此题主要考察复数的除法运算和一共轭复数的求法，考察复数的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
2.集合(
){
}2
|lg 1A x y x ==-，{}|2x
B y y ==，那么A
B =〔 〕
A. (1,1)-
B. (1,)-+∞
C. [0,1]
D. (0,1)
【答案】D 【解析】
【分析】
根据对数中真数大于0求出集合A ，根据指数函数的图像和性质得出集合B ，进而求出A
B
【详解】
(){}
2|lg 1A x y x ==-
∴210x ->
解得：11x -<<
{}|11A x x ∴=-<< {}|2x B y y ==
{}|0B y y ∴=>
{}|01A B x x ⋂=<<
应选D
【点睛】此题重点考察交集及其运算，易错题在于集合A 、B 分别代表对数函数的定义域和指数函数的值域。

3.假设命题p ：0x ∃∈R ，2
0010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.那么以下命题中是真
命题的是〔 〕 A. p q ∧
B. ()p q ∧⌝
C. ()p q ⌝∧
D.
()()p q ⌝∧⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解. 【详解】对于命题p,2
2
00013
1=()02
4
x x x -+-+
>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命
题；
对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题. 所以()p q ⌝∧是真命题. 应选：C
【点睛】此题主要考察复合命题的真假的判断，考察全称命题和特称命题的真假的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
4.设1
10a e =，b =1
lg c e
=〔其中 2.71828e =是自然对数的底数〕，那么〔 〕
A. c b a >>
B. a b c >>
C. a c b >>
D.
b a
c >>
【答案】B 【解析】 【分析】
判断a,b,c 的范围即得a,b,c 的大小关系. 【详解】由题得1
0101a e e =>=，
ln 1,b e ==且b>0.
1
lg lg10c e
=<=，
所以a b c >>. 应选：B
【点睛】此题主要考察指数函数、对数函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
5.函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为〔 〕 A. 210x y +-=
B. 210x y -+=
C. 10x y -+=
D.
10x y ++=
【答案】D 【解析】 【分析】
先确定函数的定义域，求出导函数
'()f x ，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利
用导数求出1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进而求出切线方程。

【详解】
()2ln (0)f x x x x =-+>
(1)2f ∴=-
1'()2f x x
∴=-+ '(1)1f ∴=-
∴函数()2ln f x x x =-+在1x =处的斜率为-1
又
切点坐标为(1,2)-
切线方程为10x y ++= 应选D
【点睛】此题主要考察了导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考察了函数导数的几何意义、直线方程的求解等根本知识。

此题中求出切线斜率是关键。

6.抛物线2
:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FB FA =-，那么||AB =〔 〕
A.
323
B.
163
C. 83
D.
43
【答案】A 【解析】 【分析】
利用3FB FA =-，确定A ，B 的坐标，即可求得||AB 【详解】解：依题意可得：(1,0)F
设(1,)A a -，(,)B m n 那么：(1,)FB m n =-，(2,)FA a =-
3FB FA =-
7,3m n a ∴==-
n ∴=±
a ∴=
32||3
AB ∴==
应选：A 。

【点睛】此题考察了抛物线的性质、向量的运用，解题的关键是结合抛物线的表达式和向量求出A ，B 两点的坐标。

7.两圆222
4440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，假设
a R ∈，
b R ∈，且0ab ≠，那么
22
11
a b +的最小值为〔 〕 A. 3 B. 1 C. 4
9
D.
19
【答案】B 【解析】
【分析】
由两圆恰有三条公切线可得两圆相外切，根据两圆的HY 方程求出圆心和半径，可得
2249a b +=，然后用“1”的代换，使用根本不等式求得
22
11
a b +的最小值。

【详解】解：由题意得两圆相外切，两圆的HY 方程分别为22(2)4x a y ++=，22()1x y b +-=，圆心分别为(2,0)a -，(0,)b ，半径分别为2和1
2243a b ∴+=
2249a b ∴+=
222222222211115454()+1999a 9994a b b a b a b a b ∴+=+⨯=+≥+=+ 当且仅当2222
49a 9a b b =时，等号成立， 2
211
1a b
∴
+= 应选：B
【点睛】此题考察两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的HY 方程的特性，根本不等式的运用，此题中得到两圆相外切，再利用其性质得到2249a b +=是解题的关键点和难点。

对于正实数a 、b ，存在2a b ab +≥，当且仅当a b =时，取等号。

8.函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭的局部图象如下图，那么512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值
是〔 〕
A. B. 12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用图像可得A 值，由周期性可得ω，代点(,2)6
π
--可得ϕ值，可得函数解析式，代值计
算可求5(
)12
πf 。

【详解】解：由题意和图像可得，2A =，
22(())36
π
ππ
ω=⨯--，解得2ω= ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点(,2)6
π
-
-可得2sin[2()]26π
ϕ⨯-+=-
结合||2ϕπ<
可得6
π
ϕ=-， 故函数的解析式为()2sin(2)6
f x x π
=-
552
(
)2sin(2)2sin()2121263f ππππ∴=⨯-=== 应选：C
【点睛】此题主要考察了由()sin()f x A x ωϕ=+的局部图像确定其解析式，考察了正弦函数的图像和性质，考察了数形结合思想。

9.我国古代的?洛书?中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数
21,2,3,
,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个
正方形叫做n n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值是〔 〕
A. 369
B. 321
C. 45
D. 41
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线上的两个数相加正好等于21n +，进而根据等差数列的求和公式得出答案。

【详解】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列 根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于21n +
根据等差数列的求和公式：2(1)2n n S +=
299(19)3692
N ⨯+==
应选：A
【点睛】此题主要考察了等差数列的性质和前n 项和公式，此题解题的关键是应用等差数列的性质进展解题。

10.将3名老师和3名学生一共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会理论活动，那么每个小组恰好有1名老师和1名学生的概率为〔 〕 A.
1
3
B.
25
C.
12
D.
35
【答案】B 【解析】
【分析】
此题可以先计算出6人平均分成3个小组一一共有多少种可能，在计算出每个小组恰好有1名老师和1名学生有多少种可能，然后得出结果。

【详解】将3名老师和3名学生一共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会
理论活动，根本领件总数222
642n 90C C C ==，每个小组恰好有1名老师和1名学生包含的根本领件个数111111
332211m 36C C C C C C ==，所以每个小组恰好有1名老师和1名学生的概率为
362905
m p n =
==，应选B 。

【点睛】在计算概率题的时候，可以先算出一一共有多少种可能性，再算出满足题目所给条件的有多少种可能性，两数相除，即可得出结果。

11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且当[2,0]x ∈-时，()x
f x xe =〔其
中 2.71828
e =是自然对数的底数〕.假设关于x 的方程()0
f x a -=在[0,4]上恰有四个
解，那么实数a 的取值范围〔 〕
A. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 22,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
C. 21
2,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D.
212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意(4)()f x f x -=，可以得到()f x 是一个周期为4的偶函数，将()0f x a -=在
[0,4]上恰有四个解，转化为函数()f x 与直线y a =的图像恰有4个交点，结合函数的单调
性，即可求得实数a 的取值范围。

【详解】解：由()f x 是定义在R 上的偶函数,且(4)()f x f x -=可得
()(4)()f x f x f x -=+=，
()f x ∴为周期为4的函数
当[2,0]x ∈-时，()x f x xe =
'()(1)x x x f x e xe x e ∴=+=+
∴当21x 时，'()0f x < , ()f x 单调递减
当10x ≤<时，'()0f x > , ()f x 单调递增
∴当1x =时，()f x 获得最小值1
(1)e
f -=-
当2x =-时， 2
2(2)f e -=- 当0x =时， (0)0f =
()f x 是偶函数，关于x 的方程()0f x a -=在[0,4]上恰有四个解
可以看成是()f x a =在[0,4]上恰有四个解
21()2
g x x =+
的取值范围是212(,)e e --
应选：C
【点睛】此题是一道关于函数的题目，总体方法是利用函数的奇偶性和周期性进展求解，也考察了学生转化与化归思想，将零点问题转化两图像的交点问题。

12.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1
l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，假设||OA ，||AB ，OB 成等差数列，且
(0)FA FB λλ=<，那么该双曲线的离心率为〔 〕
D.
52
【答案】A
【解析】 【分析】
由双曲线的性质可得：|AF|＝b ，|OA|＝a ，∴tan∠AOF＝
b
a
，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝222222tan 2=1tan 1b
AOF ab a AOF a b b a ∠==-∠-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，在直角三角形OAB 中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得 a ＝2b ，可得离心率．
【详解】由双曲线的性质可得：|AF|＝b ，|OA|＝a ，tan∠AOF＝
b a
， ∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝222222tan 2=1tan 1b
AOF ab a AOF a b b a ∠==-∠-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在Rt△OAB 中，tan∠AOB＝22222|AB ||AB ||AB |2ab 2a b
,,|AB ||0A |a a a b a b
==∴=∴=--
，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴2|AB|＝|OA|+|OB|，
∴222
4a b a a b =-2a 2﹣3ab ﹣2b 2＝0，即〔2a+b 〕〔a ﹣2b 〕＝0， ∴a﹣2b ＝0，即a ＝2b ，∴a 2
＝4b 2
＝4〔c 2
﹣a 2
〕，5a 2
＝4c 2
，∴e 2
＝225,4c e a =∴=．
应选：A ．
【点睛】此题考察了双曲线离心率的求法，考察等差数列的性质，此题得出b和a的数量关系是关键,属于中档题.
第二卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
13.实数,x y满足
260
1
x y
x y
x
-≤
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥-
⎩
，那么
1
3
y
x
-
+
的取值范围为__________．
【答案】
7 1,
2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到
1
3
y
x
-
+
的取值范围.
【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图，
联立直线方程1
,(1,1).x A x y =-⎧∴--⎨
=⎩
联立直线方程1
,(1,8).2+60x B x y =-⎧∴-⎨
-=⎩
1
3
y x -+表示可行域内的点〔x,y 〕和点P(-3,1)连线的斜率， 由图得，当动点在点A 时，13y x -+最小为
11
113
--=--+， 当动点在点B 时，13y x -+最大为
817
132
-=-+. 故答案为：71,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【点睛】此题主要考察线性规划求最值，考察直线斜率的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
14.假设()2
2
3x dx n =⎰，那么()3112n
x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中4x -的系数为__________．
【答案】1104 【解析】 【分析】
根据()2
2
3x dx n =⎰求出n 的值，写出二项展开式的通项，求出()3
112n
x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭中含有4
x -的系数，即可得出答案。

【详解】解：由
()2
2
3x dx n =⎰
()2
2
32
3|
8x dx x ==⎰
可得 8n =
()()338
111212n x x x x =⎛⎫⎛
⎫∴+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
二项展开式含有4
x -，那么8
12x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中含有4x -和7x -
那么二次项展开式分别为4
4
48
12()C x ⋅-和7
71812C x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭
∴含有4x -的系数为447188221104C C -=
故答案为：1104
【点睛】此题考察的是定积分和二项式定理的运用，此题中根据定积分求出n 的值是关键。

此题应注意展开式中含有4x -的式子有两种情况，属于简单题.
15.ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B b a +=，将函数
1()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭的图像向右平移3π
个单位后得到函数()g x 的图像，那么()g C 的
值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】
根据正弦定理求得C 的值，再根据()f x 函数图像的平移求出()g x 的表达式，从而求出
()g C 。

【详解】解：根据正弦定理可得：
2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin C B B A B C B C B C +==+=+
sin 2sin cos B B C ∴=
由(0,)B π∈，那么sin 0B ≠ 1cos 2
C ∴=
由(0,)C π∈
3
C π
∴=
()f x 平移
3
π
个单位以后得到的函数 111()sin 2()sin(2)cos(2)362222g x x x x πππ⎛
⎫=-++=-+=-+ ⎪⎝
⎭
21
()()cos()1332
g C g ππ==-+=
【点睛】此题考察正弦定理和函数图像的平移规律：“左加右减“。

此题难点在于根据正弦定理转化求出C 的值，易错点在于图像的平移得出函数的表达式。

16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体外接球的外表积为__________．
【答案】
414
π
【解析】 【分析】
根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的三棱锥，正方体的棱长为2，利用球的几何性质求解即可。

【详解】解：根据几何体的三视图得出：该空间几何体是镶嵌在正方体中的三棱锥，正方体的棱长为2，三棱锥的底面是等腰三角形，设球心投影到底面的点到底面三角形顶点的间隔
为x ,那么有22
(2)1x x --=，解得54x =
，那么外接球的半径22541()144
R =+= ∴该外接球的外表积为24144
R ππ=
【点睛】此题综合考察了空间几何体的性质，空间思维才能，构造思想，此题的关键是镶嵌在常用的几何体中解决，找出线段之间的关系求得即可。

三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：60分
17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设(
)
*
22n n a S n -=∈N . 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】〔1〕2n
n a =；〔2〕1(2)24n n T n +=+-.
【解析】 【分析】
〔1〕通过22n n a S -=与112n n a S ---做差可得12n n a a -=，进而得出数列{}n a 的通项公式。

〔2〕通过〔1〕可知(3)2n
n b n =+⋅，进而利用错位相减法计算即可得结论。

【详解】〔1〕因为(
)
*
22n n a S n -=∈N ，①
当1n =时，1111222a S a a -=-=，所以12a =. 当2n ≥时，1122n n a S ---=，②
①-②得()11220n n n n a S a S -----=，即12n n a a -=. 因为120a =≠，所以0n a ≠，所以
1
2n
n a a -=〔*n ∈N ，且2n ≥〕， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以1222n n
n a -=⨯=.
〔2〕由〔1〕得，(3)2n
n b n =+，
所以123425262(3)2n
n T n =⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，③
23124252(2)2(3)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯++⨯++⨯，④
③-④得，(
)1
23
142222(3)2n n n T n +-=⨯+++
+-+⨯
()123162222(3)2n n n +=+++++-+⨯
()12216(3)221
n n n +-=+
-+⨯-
111622(3)24(2)2n n n n n +-+=+--+⨯=-+，
所以1
(2)24n n T n +=+-.
【点睛】此题考察数列的通项和前n 项和，考察错位相减法。

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

18.如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，
CB 2GF,BF CF ==.
〔1〕求证：AB CG ⊥；
〔2〕假设BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值.
【答案】〔Ⅰ〕见证明；〔Ⅱ〕
6
4
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到CG AB ⊥；〔Ⅱ〕易证DB ，DF ，DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA
分别为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =，设AE 与平面BEG 所成角为θ，那么sin cos ,AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=
⋅，
即可得到答案。

【详解】解：〔Ⅰ〕取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，
∴CG AB ⊥. 〔Ⅱ〕连结AD
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，那么AD BC ⊥. 由〔Ⅰ〕知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =，那么(A ，122E ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭，()1,0,0B ，()
G -，
∴12AE ⎛=-
⎝⎭，()
BG =-，32BE ⎛=- ⎝⎭
.
设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =.
由0{0BG n BE n ⋅=⋅=可得，230
{3330
22
x y x y z -+=-++=. 令3x =，那么2y =，1z =-，∴(
)
3,2,1n =
-.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，那么6
sin cos ,4
AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=
=⋅.
【点睛】此题考察了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考察了学生的逻辑推理才能与计算求解才能，属于中档题。

19.椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过
椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F 为圆心，22C 相切. 〔1〕求椭圆1C 的HY 方程；
〔2〕线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.
【答案】〔1〕22
143
x y +=；
〔2〕3，1. 【解析】 【分析】
〔1〕由圆与直线相切可得圆心到直线的间隔 等于半径，求出1c =，根据椭圆离心率
1
2
c e a =
=，求出a ，进而求出b ，得到椭圆得方程。

〔2〕分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN 与x 轴垂直时1MF N ∆的面积最大。

【详解】〔1〕设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >， 那么直线l 的方程为：y x c =+，即0x y c -+=.
∵直线l 与圆
2C 相切，∴圆心2F 到直线l 的间隔 为d ==1c =. ∵椭圆1C 的离心率为
12
，即11
2a =，所以2a =，所以222413b a c =-=-=，
∴椭圆1C 的方程为22
143
x y +=.
〔2〕由〔1〕得1(1,0)F -，2(1,0)F ，
由题意得直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为：1()x ty t =+∈R ，
代入椭圆方程22143
x y +=化简可得()22
43690t y ty ++-=，
()223636430t t ∆=++>恒成立，
设()11,M x y ，()22,N x y ，那么1y ，2y 是上述方程的两个不等根，
∴122
643t y y t -+=
+，12
29
43y y t -=+. ∴1MF N 的面积1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-=12121
22
y y y y ⨯⨯-=-
=
==
m =，那么m 1≥，221t m =-，那么223431t m +=+，121231
MF N
m
S
m =⨯
+.
令2
()(1)31m f m m m =≥+，那么()
22213()031m f m m '-=<+恒成立，
那么函数()f m 在[1,)+∞上为减函数，故()f m 的最大值为1
(1)4
f =，
所以1MF N 的面积的最大值为1
1234
⨯=，当且仅当1m =，即0t =时取最大值，
此时直线MN 的方程为1x =，即直线MN 垂直于x 轴，此时22MF F N =，即1λ=. 【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程、直线与圆的位置关系，考察分类讨论的思想。

圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进展判断。

20.某高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规那么如下表： 每分钟跳
绳个数 [145,155)
[155,165) [165,175) [175,185) [185,)+∞
得分 16
17 18 19 20
年级组为理解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.
〔1〕现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；〔用最简分数表示〕
〔2〕假设该校高二年级一共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态
分布(
)2
,N μσ
，其中2
225σ
≈，μ为样本平均数的估计值〔同一组中数据以这组数据所
在区间中点值作代表〕.利用所得的正态分布模型，解决以下问题： 〔i 〕估计每分钟跳绳164个以上的人数〔结果四舍五入到整数〕；
〔ii 〕假设在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差. 附：假设随机变量X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，那么()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9554P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=.
【答案】〔1〕29
550
；〔2〕〔i 〕1683；〔ii 〕33,24.
【解析】 【分析】
〔1〕根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解。

〔2〕根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进展求解。

【详解】〔1〕设“两人得分之和小于35分〞为事件A ，那么事件A 包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.
由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，
那么由古典概型的概率计算公式可得221111
6126126182
10029
()550
C C C C C C P A C +++==. 所以两人得分之和小于35的概率为
29550
. 〔2〕由频率分布直方图可得样本数据的平均数X 的估计值为：
(0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200
⨯+⨯+⨯
0.006210)10179+⨯⨯=〔个〕.
又由2225σ≈，得HY 差15σ≈，
所以高二年级全体学生的跳绳个数X 近似服从正态分布(
)2
179,15N .
〔i 〕因为17915164μσ-=-=，所以10.6826
(164)10.84132
P X ->=-=， 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为
20000.84131682.61683⨯=≈〔人〕.
〔ii 〕由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12
， 所以1~3,
2B ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3. 所以0
3
03
111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
1
3113(1)1228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
2
123
113
(2)C 1228
P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
3330
111(3)1228
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
故ξ的分布列为：
所以13
()322
E ξ=⨯
=，113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.
【点睛】此题考察了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考察了离散型随
机变量的分布列与期望的计算问题。

21.函数2
1()(2)ln ()2
f x x ax a x a =-
+--∈R . 〔1〕证明：当1a =时，不等式2
1()212
f x x x ≤-+-恒成立；
〔2〕当2a ≤时，假设方程()f x x =有两个不等实根，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕44()(1)1c c
y x e e c c
=
-+++.
【解析】 【分析】
〔1〕将1a =代入得到()f x 的表达式，根据不等式两边的式子，通过构造新函数，对新函数进展求导得到单调区间，进而得出结论。

〔2〕方程()f x x =有两个不等实根，等价于2
1(1)(2)ln 02
x a x a x -
+---=有两个不等实根，结合导数研究函数单调性的知识，从而求出a 的取值范围。

【详解】〔1〕()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =时，2
1()ln 2
f x x x x =-
++， 21
()212
f x x x ≤-+-等价于ln 1x x ≤-.
设()ln 1g x x x =-+，11()1x
g x x x
-'=-=，
令()0g x '>，得01x <<，()g x 在(0,1)上单调递增， 令()0g x '<，得1x >，()g x 在(1,)+∞上单调递减，
所以()(1)0g x g ≤=，即ln 1x x ≤-〔当且仅当1x =时取等号〕
所以当1a =时，不等式2
1()212
f x x x ≤-+-恒成立. 〔2〕方程()f x x =有两个不等实根，即方程2
1(1)(2)ln 02
x a x a x -+---=有两个不等
实根，
令2
1()(1)(2)ln (0)2
F x x a x a x x =-
+--->， 那么2(1)[(2)]()(1)a x x a F x x a x x '
----=-+--=-. ①假设2a =，2
1()2
F x x x =-+，
那么()0F x =在(0,)+∞上有且只有一个零点2x =，不符合题意； ②假设2a <，由0x >可得(2)0x a -->.
令()0F x '<，得1x >，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减， 令()0F x '>，得01x <<，所以()F x 在(0,1)上单调递增. 所以3()(1)2
F x F a ≤=-. 〔i 〕假设3
02
a -
<，即32a <时，()F x 无零点，不符合题意；
〔ii 〕假设302
a -=，即3
2a =时，()F x 有且只有一个零点，不符合题意；
〔iii 〕假设3
02
a ->，即v v v 甲乙丙>>时，(1)0F >，又(2)(2)(2ln 2)0F a =--<，
所以()F x 在(1,2)上有一个零点. 当01x <<时，由〔1〕得ln 1x x <-， 所以2
1()(1)(2)ln 2
F x x a x a x =-
+--- 21(1)(2)ln 2x a x a x =-+-+-<21
(1)(2)(1)2x a x a x -+-+--
21
(2)(2)2
x x a x a =-+--<--，
令(2)0x a --<，得2x a <-，取02x a =-，因为v v v 甲乙丙>>，所以0
10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 且()00F x <，所以，()F x 在()0,1x 上有一个零点. 即()F x 在(0,)+∞上有两个不同的零点. 所以实数a 的取值范围为44()(1)1c c
y x e e c c
=
-+++.
【点睛】这是一道关于函数恒成立和零点的题目，需要结合导数研究函数的知识以及函数零
点的相关知识进展求解。

〔二〕选考题：一共10分.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
22cos 3sin 12ρθρθ+=，点P 的极坐标为(2,)π，倾斜角为α的直线l
经过点P .
〔1〕写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； 〔2〕设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求
11PA PB
+的取值范围.
【答案】〔1〕22
1124x y +=,2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕；〔2〕22⎣⎦
. 【解析】 【分析】
〔1〕直接利用极坐标公式化曲线C 的方程为直角坐标方程，再求出点P 的坐标，再写出直
线的参数方程；〔2〕将直线l 的参数方程代入22
312
+=x y ，再利用直线参数方程t 的几何意义求出11
PA PB
+的表达式，再利用三角函数求出取值范围. 【详解】〔1〕由2
2
2
2
cos 3sin 12ρθρθ+=可得，2
2
312+=x y ，即22
1124
x y +=.
设点(,)P x y ，那么2cos 2x π=⨯=-，2sin 0y π=⨯=，即点(2,0)P -，
∴直线l 的参数方程为2cos sin x t y t α
α
=-+⎧⎨
=⎩〔t 为参数〕
〔2〕将直线l 的参数方程代入22
312
+=x y 得，(
)2
212sin 4cos 80t t αα+--=，
24848sin 0α∆=+>恒成立，
设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t ， 那么1224cos 12sin t t αα+=
+，122
8
012sin t t α
-=<+， 那么1212121212
1111||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==
222=
=⎢⎣⎦
.
【点睛】此题主要考察极坐标、参数方程和直角坐标的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
选修4-5：不等式选讲
23.函数()|21||3|f x x x =-++，()|1|||g x a a x =--. 〔1〕求函数()f x 的值域M ； 〔2〕假设函数()g x 的值域为N ，且M
N ≠∅，务实数a 的取值范围.
【答案】〔1〕7,2M ⎡⎫
=+∞⎪⎢⎣⎭；〔2〕9
(,0),2⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.
【解析】 【分析】
〔1〕先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；〔2〕对a 分类讨论，根据
M N ≠∅得到实数a 的取值范围.
【详解】〔1〕函数()f x 可化简为32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧
⎪--≤-⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
可得当3x ≤-时，()327f x x =--≥. 当132x -<≤时，7()4,72f x x ⎡⎫
=-+∈⎪⎢⎣⎭
. 当12x >
时，7()322
f x x =+>. 故()f x 的值域7
,2M ⎡⎫
=+∞⎪⎢⎣⎭
.
〔2〕当0a =时，()1g x =，{1}N =，M N ⋂=∅，所以0a =不符合题意. 当0a >时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域(,|1|]N a =-∞-， 假设M N ⋂=∅，那么7|1|2
a -≥
，解得52a ≤-或者92a ≥，从而9
2a ≥符合题意.
当0a <时，因为0x ≥，所以函数()g x 的值域[|1|,)N a =-+∞， 此时一定满足M N ⋂=∅，从而0a <符合题意. 综上，实数a 的取值范围为9
(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】此题主要考察绝对值函数的值域的求法，考察集合之间的关系和参数范围的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。