江苏省高邮中学2019届高三数学下学期开学考试试题

江苏省高邮中学2019届高三开学
数学I 试题
注意事项：
1．本试卷共160分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案
填写在答题卷相应的位置上．）
1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ． 2.己知复数i
z -=
12
，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．
4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．
5． 函数2
2log (32)y x x =--的定义域为 ．
6.己知 53)sin(=
+απ，且 α2sin 2<0，则 )4
tan(π
α+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .
9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(122
22a b
y a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直
线B0与双曲线C 的右支交于点M 。

若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为 ．
10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L
1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值
为 ．
11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．
12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ．
13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 14.设函数g (x )＝e x
＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：
f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，
若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得
g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请
在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面
⊥
C C AA 11平面,A B C
D 且3===CA BC AB ,1==CD AD .
(1)求证：;1AA BD ⊥
(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .
16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点． （1）若3
4
x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； （2）若x ∈[0，
2
π
]，向量BC m =，n =(1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．
17. 如图，一楼房高AB 为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为
拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；
（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．
18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2= 60°，
124EF EF ⋅=u u u v u u u v
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。

问：是否存在定点M ，使当直线
l 绕点M 任意转动时，
22
11
+||||AM BM 为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，说
明理由。

19. 设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。

如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2
+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2
ln (1)1
b x x x +=+
>+，其中b 为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，
21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，
若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

20.已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列. 数列{a n }的前n 和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+. （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）在数列{a n }中，若12,,m m m a a a ++成等差数列，求整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得221
m
m S S -恰好是{a n }的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在说明理由.
数学II 试题（附加题）
1.求曲线1x y +=在矩阵M ＝1 010 3⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．
2.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直
线l
的参数方程为12 (x t t y =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩
为参数）
，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；
（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，设点()1,0P
，求1
1
PA PB
+的值．
3.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量
优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；
4.记函数2()1,1,22!!n
n x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅
（1）证明：4()0f x >；
（2）证明：当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根；当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根.
江苏省高邮中学2019届高三开学
1．{1，2，4，5} 2.1 3．64 4. 16 5． ()3,1- 6. 71
7. 27 8.
34
π
9．2 10. 10m =． 11. 10 解析：由已知BD ＝2，AD ＝1，设DC ＝x ，∠BDC ＝θ，则DB →·DC →
＝2xcos θ＝3.又4＝4＋x 2
－4xcos θ，可得x ＝6，cos θ＝64
，则在△ADC 中，AC 2＝12＋(6)2
－2×1×6
×⎝
⎛⎭⎪⎫－
64＝10，故AC ＝10. 12. 4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 13． 83⎛ ⎝ 14.解析 设F (x )＝f (x )－x 2
2，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，
故函数F (x )＝f (x )－x 2
2
是(－∞，0)上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2
可知，
F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22
＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 2
2
是奇函数，
所以函数F (x )＝f (x )－x 2
2是(－∞，＋∞)上的单调递减函数.
由题设中f (x )＋2≥f (2－x )＋2x 可得F (x )≥F (2－x )，解得x ≤1，
由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x
＋3x －a 在(－∞，1]上有解， 即a ＝e x
＋2x 在(－∞，1]上有解，
令h (x )＝e x
＋2x ，x ∈(－∞，1]，则h ′(x )＝e x
＋2>0，
故h (x )＝e x ＋2x 在(－∞，1]上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2。

15证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，
又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C
平面ABCD AC =，
BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AAC C ，
又因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以1BD AA ⊥．
⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，
又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ===1DA DC ==， 所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，
因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE
平面11D DCC ．
16. 解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤）
，又
(,22C -
所以
(OC OD t +=-
+
所以
22211
||122OC OD t t +=
++=+……………3分
21
((01)2t t =-
+≤≤
所以当
2t =
时，||OC OD +
最小值为2
………………6分
（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则2
2
1cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--
1)
4
x π
=+
……………9分
因为
[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤
……………10分
所以当
24
2x π
π
+
=
，即
8x π
=
时，sin(2)4x π
+取得最大值
1
所以
8x π
=
时
，1s i n (2)
4m n x π
⋅=+取得最小
值
1所以
m n
⋅的最小值
为1，此时
8x π
=
…………………………14分
17. 解析：（1）作CG AE ⊥于G ，作FH AB ⊥于H ，交CG 于M ，
作BN CG ⊥于N ，则CFM BFH θ=∠-∠； 在直角BCN ∆中，4BC =，60CBN ∠=︒， 则2BN =
，CN =； 在直角CFM ∆中，
有tan CM CN NM CFM MF AE BN +∠=
==
-
；
在直角BFH ∆中，
有tan BH BFH HF ∠=
=
∴tan tan tan tan()1tan tan CFM BFH
CFM BFH CFM BFH
θ∠-∠=∠-∠=
+∠⋅∠
== 再由题意可知：监理人员只能在G 点右侧，即(2, )x ∈+∞．……………………… 7分 （2）由（1
）得：218
tan 21080
x x x θ+=-+； 令18t x =+，则(20, )t ∈+∞；
∴22
1tan 1440(18)2(18)108038144038t t t t t t t t
θ===≤---+-++- 当且仅当1440
t t
=
即t =
18x =； 又易知：θ是锐角，即(0, )2
πθ∈，而tan y θ=在(0, )2
π
θ∈是增函数；
∴当18x =时，θ取最大值．■ ………………………… 14分
18.
19. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

满分16分。

（1）(i)'()f x 222121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=
-=-+++ ∵1x >时，2
1
()0(1)h x x x =
>+恒成立，
∴函数)(x f 具有性质)(b P ；
(ii)（方法一）设2
2
2()1()124
b b x x bx x ϕ=-+=-+-，()x ϕ与)('x f 的符号相同。

当2
10,224
b b ->-<<时，()x ϕ0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；
当2b =±时，对于1x >，有)('x f 0>，所以此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b <-时，()x ϕ图像开口向上，对称轴12
b
x =
<-，而(0)1ϕ=， 对于1x >，总有()x ϕ0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； （方法二）当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ϕ=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b >时，()x ϕ图像开口向上，对称轴12
b
x =
>，方程()0x ϕ=的两根为：
,
22b b -，而
1,(0,1)22b b >=
当x ∈时，()x ϕ0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间
上递减；同理得：)(x f 在区间)+∞上递增。

综上所述，当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增；
当2b >时，)(x f 在上递减；)(x f 在)+∞上递增。

(2)（方法一）由题意，得：22
'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，
所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增。

又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--。

当1
,12
m m >
≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-，
综合以上讨论，得：所求m 的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，()g x 的导函数2
'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立。

所以，当1x >时，2
'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增。

①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由
()g x 的单调性知()g α、()g β12((),())g x g x ∈，
从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设。

②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知
12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。

③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的m 的取值范围是（0，1）。

20
2）在数列{a n }中，若a m =a 2k ，则由a m +a m+2=2a m+1，得2×3k-1
+2×3k
=2（2k+1）．化简得4•3k-1
=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．
若a m =a 2k-1，则由a m +a m+2=2a m+1，得（2k-1）+（2k+1）=2×2×3k-1
化简得k=3k-1
，令T k ＝
13k k -（k∈N *
），则T k +1−T k ＝11120333k k k
k k k -+--=< 因此，1=T 1＞T 2＞T 3＞…，故只有T 1=1，此时K=1，m=2×1-1=1．正整数m 的值为1．
2221(1)112230333
m m m m
m m m m T -+---++=-=<，因此2341T T T =>>>⋅⋅⋅ 所以只有2T 满足，此时22,2m L a === 综上，存在正整数1m =和2m =，使得
221
m
m S S -恰好分别是{a n }的3a 和2a 数学II 试题（附加题）
1.解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103x
x y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分
所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=，……8分 所围成的图形为菱形，其面积为12222
33⨯⨯=
.……10分 2.（1）:10l x y +-=，曲线22
:40C x y x +-=；
（2
）将12 x t y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程，得2
3=0t -，
12t t ∴-=
=
，1212113
t t PA PB t t -∴
+==
． 3．解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i =1，2，…，13）． 根据题意，1()13i P A =，且()i j A A i j =∅≠I …………………………2分
（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则5
8B A A =．
∴5
8582()()()()13
P B P A A P A P A ==+=…………………………4分）
（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 3
6711367114(1)()()()()()13P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=，
1
2
12
131212134(2)()()()()()13
P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=
5(0)1(1)(2)13P X P X P X ==-=-==
∴X 的分布列为：
故X 的数学期望5441201213131313
EX =⨯+⨯+⨯= (10)
4. 解：（1）'
43()()f x f x =,2'
2311()1(1)0222
x f x x x =++=++>，3()f x 是R 上的的单调增函数。

33(0)10,(3)20f f =>-=-<Q ,可设30()0f x =
4()f x 在()0,x -∞递减，在()0,x +∞递增，0
2
4030()()04!
x f x f x =+>，4,()0x R f x ∴∈>
（2）证明：用数学归纳法证明0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解。

①当n=1时，此时x x f +=1)(1有唯一解11-=x ，且严格单调递增，而2
1)(2
2x x x f ++=无
实数解，
②现在假设0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解，
2122()(),()=0n n n f x f x f x +'=无实数解，所以2()0n f x >恒成立，所以21()n f x +单调增
因为21(0)10n f +=>，当，21,x n =--23221
10,0,,0
2!3!(2)!(21)!n n x x x x x n n ++≤+≤⋅⋅⋅+≤+，
所以
21(21)0
n f n +--≤
所以有唯一解，
………………8分
综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时无解，当ｎ为奇数有唯一解。