广东中山市高二级2009----2010学年度第一学期期末统一考试(数学理)

中山市高二级2009—2010学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第I 卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在△ABC 中，135A =︒，30C =︒，c =20，则边a 的长为
A
． B
． C
． D
2．不等式(9)0x x ->的解集是
A ．(0,9)
B ．(9,)+∞
C ．(,9)-∞
D ．(,0)
(9,)-∞+∞
3．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)n n a a n -=->，则5a = A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3 4．设函数f (x )的图象如右图所示，则导函数f '(x )的图象可能为
)
'(
)f x
5．四个不相等的正数a 、b 、c 、d 成等差数列，则下列关系式一定成立的是
A
．
2a d +< B
．2a d +> C
．2a d + D
．2
a c
+> 6．命题“0x ∃∈R ，20010x x -+≤”的真假判断及该命题的否定为
A ．真； 0x ∃∈R ，20010x x -+>
B ．假； 0x ∃∈R ，20010x x -+>
C ．真； x ∀∈R ，210x x -+>
D ．假； x ∀∈R ，210x x -+>
7．我市某企业在2009年元月份为战胜国际背景下的金融危机，积极响应国务院提出的产业振兴计划，对每周的自动化生产项目中进行程序优化. 在程序设计中，需要采用一个七进制计数器，所谓七进制即“逢七进一”，如(7)1203表示七进制数，将它转换成十进制形式，是321017270737⨯+⨯+⨯+⨯= 444，那么将七进制数12
666
6
(7)
转换
成十进制形式是
A ．1377-
B ．1277-
C ．1271-
D ．1171-
8．椭圆C ：221259x y +=的焦点为12F F ，，有下列研究问题及结论：
① 曲线22
1(9)259x y k k k
+=<--与椭圆C 的焦点相同；
② 一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点，顶点在原点，则其标准方程为26x y =±；
③ 若点P 为椭圆上一点，且满足120PF PF =，则12PF PF +=8. 则以上研究结论正确的序号依次是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ． ①②③
第II 卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上）
9．如果双曲线22
136100
x y -=上一点P 到焦点1F 的距离等于7，
那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 .
10．已知函数2()(2)x f x x e =+，则'(0)f = .
11．已知向量OA =（2，－1，2），OB =（1，0，3），则cos OAB ∠= .
12．当x y 、满足不等式组02
01x y y x ≤≤⎧⎪
≥⎨⎪≤+⎩
时，目标函数t x y =+的最大值是 .
13．数列{}n a 的前n 项和为2n n S c =+，其中c 为常数，则该数列{}n a 为等比数列的充要条件是 .
14．为迎接2010年至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m ）是
2
() 4.8810h t t t =-++. 则该运动员在2t =秒时的瞬时速度为 /m s ，经过 秒
后该运动员落入水中.
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）已知函数1
()sin ,(0,)2
f x x x x π=-
∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）求函数()f x 的图象在点3
x π
=
处的切线方程.
16．（13分）某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园. 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m 、90 m 、120 m . （1）求该三角形区域最大角的余弦值； （2）求该三角形区域的面积.
17． （13分）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD 是正方形，13,2CC CD ==,且1160C CB C CD ∠=∠=︒.
（1）设1,CD a CB b CC c ===，
， 试用,,a b c 表示1A C ； （2）O 为四棱柱的中心，求CO 的长； （3）求证：1AC BD ⊥.
18．（13分）斜率为
4
3的直线l 经过抛物线22y px =的焦点(1,0)F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.
（1）求该抛物线的标准方程和准线方程； （2）求线段AB 的长；
19． （14分）某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项
目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放.
（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的
曲面，要求它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径
为20 m ，，试求冷却塔的高应当设计为多少？
（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元. 投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元. 为使年平均节能减排收益达
到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？
20. （14分）已知函数213
()324
f x x x =
--. 定义函数()f x 与实数m 的一种符号运算为()()[()()]m f x f x f x m f x ⊗=+-.
（1）求使函数值()f x 大于0的x 的取值范围； （2）若2
7()4()2
g x f x x =⊗+
，求()g x 在区间[0,4]上的最大值与最小值； （3）是否存在一个数列{}n a ，使得其前n 项和274()2
n S f n n =⊗+. 若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由.
中山市2009—2010学年度第一学期期末统一考试
高二数学试卷（理科）答案
一、选择题：BABC BDCC
二、填空题：9. 19； 10. 5； 11. ； 12. 5； 13. 1c =-； 14. 11.2-，2.5 . 三、解答题： 15. 解：1
'()cos 2
f x x =-
. ……（2分） （1）由(0,)x π∈及1'()cos 02f x x =->，解得(0,)3
x π
∈.
∴ 函数()f x 的单调递增区间为(0,)3
π
.
……（6分）
（2）1()sin 33236
f ππππ
=-⨯=-.
……（8分） 切线的斜率1
'()cos
03
3
2
k f ππ
==-
=. ……（10分）
∴ 所求切线方程为：6
y π
.
……（13分）
16. 解：（1）设a =70 m ，b =90 m ，c =120 m ，则最大角为角C . ……（2分） 根据余弦定理的推论，得
222222
7090120cos 227090a b c C ab +-+-==
⨯⨯ ……（5分） 1
9
=-.
……（7分）
（2）sin C ==，
……（9分）
11s i n 700522S a b C ∆=
=⨯⨯= ……（12分）
所以该三角形区域的面积是2m .
……（13分）
17. 解：（1）由1,CD a CB b CC c ===，
，得1CA a b c =++. ……（2分） 所以，1A C a b c =---.
……（3分） （2）O 为四棱柱的中心，即O 为线段1A C 的中点.
……（4分）
由已知条件，得
||||2a b ==，||3c =，0a b =，,60a c <>=︒，,60b c <>=︒. ……（5分）
根据向量加减法得BD a b =-，1CA a b c =++.
2222
2211||()222CA CA a b c a b c a b b c a c ==++=+++++
2222230232cos60232cos6029=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=. ……（8分） ∴ 1A C
所以CO =
……（9分）
（3）∵ 2
2
1()()CA BD a b c a b a a c b b c =++-=+--
22223cos60223cos600=+⨯⨯︒--⨯⨯︒=，
……（12分） ∴ 1CA BD ⊥.
……（13分）
18. 解：（1）由焦点(1,0)F ，得
12
p
=，解得2p =. ……（2分） 所以抛物线的方程为24y x =，其准线方程为1x =-，
……（4分）
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y .
直线l 的方程为4
(1)3
y x =
-.
……（5分）
与抛物线方程联立，得24(1)
3
4y x y x ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
， ……（7分） 消去y ，整理得2
41740x x -+=， ……（9分） 由抛物线的定义可知，121725
244
AB x x p =++=
+=
. 所以，线段AB 的长为25
4
.
……（13分）
19. 解：（1）如图，建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>.
由题意可知，12a =
，12c c e a =
=
，解得c =…（2分）
从而22222)12400b c a =-=-=.
……（3分） ∴ 双曲线方程为22
1144400
x y -=.
……（4分）
A B
将13x =代入，解得25||3y =
；20x = 代入，解得80||3
y =. ……（6分） 所以，冷却塔的高为
2580105()333
m +=. ……（7分） （2）n 年后的年平均减排收益为
2(1)
600[3020]4000
1058040002n n n n n n n n
--+
⨯--+-= ……（9分）
40010()58010580180n n n n
=-+
+≤-⨯+=.
……（11分）
当且仅当400
n n
=
即20n =时等号成立. ……（12分） 所以，20年后报废该套冷却塔系统比较适合.
……（13分）
20. 解：（1）由()0f x >，得
213
3024
x x -->，
……（1分）
即221230x x -
->，解得3x <
或3x >+. 所以，x 的取值范围为 42(,3(3)-∞++∞.
……（3分）
（2）2
7()4()2g x f x x =⊗+
22221313137(3){[(4)3(4)](3)}24
2
4
2
4
2
x x x x x x x =--+-+----+ 2213117(3)(81634)24222
x x x x =--⨯+⨯-⨯+ 22137(3)(44)242
x x x x =---+
32
212932
x x x =-
++.
……（5分）
对()g x 求导，得2'()62193(3)(21)g x x x x x =-+=--.
令'()0g x =，解得1
2
x =
或3x =. ……（6分）
当x 变化时，'()g x 、()g x 的变化情况如下表：
所以，()g x 在区间[0,4]上的最大值为418，最小值为21
2
-. ……（10分） （3）存在.
由（2）得27
4()2n S f n n =⊗+32
212932
n n n =-++. ……（11分）
当2n ≥时，
323212121
(293)[2(1)(1)9(1)3]22
n n n a S S n n n n n n -=-=-++----+-+ 2221432(331)(21)962722
n n n n n =-++
-++=-+ 当1n =时，3211217
21191322
a S ==⨯-
⨯+⨯+=.
……（13分）
所以，27
(1)2
43627(2)2n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩
.
……（14分）
1题：教材必修⑤P10 1（1）改编，考查正弦定理.
2题：教材必修⑤P80习题A组第1（4）题，考查一元二次不等式.
3题：教材必修⑤P31练习第2题，考查递推数列.
4题：教材选修1-1 P91例1改编，考查导数与函数单调性.
6题：教材选修1-1 P27 习题A组第3（3）题，考查特称命题的否定及一元二次不等式. 8题：教材选修1-1 P68 习题A组第3题改编，考查椭圆几何性质、抛物线标准方程、向量运算.
9题：教材选修2-1 P42 练习第1题改编，考查双曲线定义.
11题：教材选修2-1 P98 习题3.1 A组7题改编，考查空间向量的运算.
14题：教材选修1-1 P79 习题3.1 A组第2题改编，考查导数的物理意义、一元二次不等式的应用问题.
15题：教材选修1-1 P91 例2（3）改编，考查导数的几何意义、利用导数研究函数单调性.
16题：教材必修⑤P17 例8改编，考查余弦定理、三角形面积计算.
17题：教材选修2-1 P105 例1改编，考查向量法.
18题：教材选修1-1 P61 例4改编，考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物线相交的弦长计算.
19题：教材选修1-1 P51 例4改编，考查双曲线标准方程及几何性质、等差数列、基本不等式的应用.
20题：教材必修⑤P81 习题3.2 B组第3题改编，考查一元二次不等式、利用导数研究最大（小）值.。