河北省沧州市2020年高二下数学期末联考试题含解析

河北省沧州市2020年高二(下)数学期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若X ～B(n ，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2
B ．2－4
C ．3×2－10
D ．2－8
2．在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是1．这两个班参赛的学生人数是（ ）
A ．80
B ．90
C ．100
D ．120
3．以()1,0F 为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =
B ．22y x =
C ．24x y =-
D ．22x y =
4．已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤
=+∈-
⎢⎥⎣⎦
的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ）
A 3
B 2
C ．1
D ．0
5．执行如图程序框图，若输入的a ，b 分别为12，20，则输出的a =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．已知函数2y x 的图象在点2
00
(,)x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，(0,1)x ∈的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．01
02
x <<
B ．
01
12
x << C ．
02
22
x << D ．023x <<
7．设函数()()12x
f x e x =-，()
g x ax a =-，1a >-若存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->，则
a 的取值范围是（ ）
A ．31,
2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦
B ．2,13e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．31,2e ⎛⎤--
⎥⎝⎦
D ．21,32e ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
8．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 22sin 02b A a B b c +==，，则c
a
的
值为（ ） A ．1
B ．
33
C ．
55
D ．
77
9．设M 为曲线
上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为
，则点M
横坐标的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ） A ．30
B ．36
C ．48
D ．54
11．下面是高考第一批录取的一份志愿表： 志愿
学校
专业
第一志愿 1 第1专业 第2专业 第3专业 第二志愿
2
第1专业
第2专业
第3专业
现有5所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复；你将有不同的填写方法的种数是（ ） A ．900
B ．225
C ．180
D ．720
12．推理“①圆内接四边形的对角和为180；②等腰梯形ABCD 是圆内接四边形；③180A C ︒+=”中的小前提是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点， A ， B 为抛物线上的点，若OAB 为等边三角形，且面积为483，则p 的值为__________．
14．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示： 时间t （分钟） 30 40 70
90 120 数学成绩y
35
48
m
82
92
通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆy
t =+，则表格中的m 的值是___．
15．北纬45︒圈上有A ，B 两点，该纬度圈上劣弧AB 长为2
4
R π（R 为地球半径）
，则A ，B 两点的球面距离为________. 16．已知函数，其中为实数，
为
的导函数，若
，则的值为
_________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为45
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率. 18．已知2()lg (1)2ax
f x a x
+=≠--是奇函数. （1）求a 的值；
（2）若4()()14x
g x f x =+
+，求1122g g ⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值 19．（6分）已知直线l 的极坐标方程是sin 26πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平
面直角坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的参数方程为4cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ是参数）.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值.
20．（6分）某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：
（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；
（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．
21．（6分）某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为0，其它情况下，选手每答对一题得1分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加1分，若4次全答对，则额外加2分.已知某选手每次答题的正确率都是2
3
，且每次答题结果互不影响.
()1求该选手恰答对3道题的概率；
()2记X 为该选手参加比赛的最终得分，求X 的分布列与数学期望.
22．（8分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-= 相切． （1）求圆的标准方程；
（2）设直线()500ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()2, 4p -．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】
E(X)＝np ＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P(X ＝1)＝1
12C ·
(12)1·(12
)11＝3×2－10. 2．C 【解析】 【分析】
根据条件可求第二组的频率，根据第二组的频数即可计算两个班的学生人数. 【详解】
第二小组的频率是：10.300.150.100.050.40----=，则两个班人数为：40
1000.04
=人. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中，频率、频数与总数的关系，难度较易. 3．A 【解析】 【分析】
由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p 的值，即可写出抛物线的标准方程． 【详解】
因为抛物线的焦点坐标是()1,0F ， 所以抛物线开口向右，且p =2， 则抛物线的标准方程2
4y x =. 故选：A ． 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题． 4．C 【解析】 由题意得，3224312πππω⎛⎫
⋅
=-- ⎪⎝⎭
，则2ω=，又012f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，即2sin 2012πϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，解得6π=ϕ，
所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，令()2f x =，即2sin 226x π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，262
x ππ
+=，解得该函数的对称轴
为6
x π
=，则
1226x x π+=，即123x x π+=，所以()122sin 21336f x x f πππ⎛⎫⎛⎫
+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故选C.
5．C
【解析】 【分析】
由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前,a b 的值，即可得出结论． 【详解】
解：由12,20,a b a b ==<，则20128b =-=. 由a b >，则1284a =-=. 由b a >，则844b
.
由4a b ==，则输出4a =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题． 6．D 【解析】 【分析】 【详解】 函数2y
x 的导数为2y'x =，图像在点200(,)x x 处的切线的斜率为02k x =，切线方程为
20002()y x x x x -=-，即2
002y x x x =-，设切线与ln y x =相切的切点为(,ln )m m ，01m <<，由
ln y x =的导数为1'y x =
，切线方程为1ln ()y m x m m -=-，即11ln y x m m
=-+，∴01
2x m =，
201ln x m =-．
由01m <<，可得012
x >
，且2
01x >，解得01x >，消去m ，可得200ln(2)10x x --=， 令2
()ln(2)1,1f x x x x =-->，1'()20f x x x
=->，
()f x 在()1,+∞上单调递增，且2ln 10f =-<，3ln 10f =->，所以有
200ln(2)10x x --=的根0x ∈，故选D.
7．C 【解析】 【分析】
先确定0x =是唯一整数解,再通过图像计算(1)(1)g f -≥-得到范围. 【详解】
()()()()12'1+2x x f x e x f x e x =-⇒=
12x >- 是函数单调递减；2
1
x <-函数单调递增.
存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->
取0x =，1a >-，()()0010f g a -=+>满足，则0是唯一整数.
()g x ax a =-恒过定点(1,0)
如图所示：
(1)(1)g f -≥-即3322a a e e
≤-⇒≤-
综上所诉：31,2a e ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦
故答案选C 【点睛】
本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键. 8．C 【解析】 【分析】
在sin 22sin 0b A a B +=中利用正弦定理和二倍角公式能求出角A ，再依据余弦定理列出关于角A 的关系式，化简即得． 【详解】
∵sin 22sin 0b A a B +=，
∴由正弦定理可得sin sin 22sin sin 0B A A B +=，即2sin sin cos 2sin sin 0B A A A B +=. 由于sin sin 0B A ≠，∴2
cos 2
A =-.∵0A π<<， ∴34
A π
=
.又2b c =， 由余弦定理可得22222222cos 225a b c bc A c c c c =+-=++=，∴5
5
c a =
.故选C. 【点睛】
本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换． 9．D 【解析】 【分析】
求出导函数，倾斜角的范围可转化为斜率的范围，斜率就是导数值，由可得的不等式，解之可得． 【详解】 由题意
，
切线倾斜角的范围是
，则切线的斜率的范围是
，
∴，解得．
故选D ． 【点睛】
本题考查导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是其图象在该点处的切线的斜率．解题时要注意直线倾斜角与直线斜率之间的关系，特别是正切函数的性质． 10．D 【解析】
分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.
详解：先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有3
3A 种
因此共有3
33354A ⨯⨯=，
选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制
的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”. 11．D 【解析】 【分析】
先排学校，再排专业，根据分步计数原理，即可得出答案。

【详解】
由题意知本题是一个分步计数问题
首先从5所重点院校选出两所的排列：2
520A =种
3个专业的全排列：3
3=6A 种
根据分步计数原理共有33
3320720A A ⨯⨯=种
故选D 【点睛】
本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，解题的关键在于读懂题意，属于基础题。

12．B 【解析】 【分析】
由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论． 【详解】
由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论，故选B ． 【点睛】
本题主要考查演绎推理的一般模式．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2 【解析】
设11(,)B x y ，22(,)A x y ， ∵||||OA OB =，
∴2222
1122x y x y +=+．
又2
112y px =，2
222y px =，
∴22
21212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．
又1x 、2x 与p 同号，
∴1220x x p +=≠． ∴210x x -=，即12x x =．
根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称， 由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB
的方程为3
y x =
，
由22y x y px ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，解得(6,)B p ，
∴OB ==． ∵OAB
的面积为
2)= 解得2
4p =，∴2p =．
答案：2
点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B 关于x 轴对称，然后在此基础上得到直线直线OB （或OA ）的方程，通过解方程组得到点B （或A ）的坐标，求得等边三角形OAB 的边长后，根据面积可得2p =． 14．63 【解析】
30407090120
705
x ++++=
=
回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=， 即：
35488292
645
m ++++=，
解得：63m =.
点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ． 15．
3
R
π 【解析】 【分析】
先求出北纬45︒圈所在圆的半径，是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角，得到线段AB 的长，设地球的中心为O ，解三角形求出AOB ∠的大小，利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．
【详解】
解：北纬45︒圈所在圆的半径为
22
R ，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于2
(4R R π为地球半径）
， ∴22(4
2
R R πθθ=⨯是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角），
故2
π
θ=
，∴线段AB R =，
3
AOB π
∴∠=
，
A ∴、
B 这两地的球面距离是
3
R
π， 故答案为：3
R
π． 【点睛】
本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题． 16．3 【解析】 试题分析：
，所以．
考点：导数的运算．
【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误． ②不能正确运用求导公式和求导法则． (2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量． ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（Ⅰ）22154x y +=（Ⅱ）305或30
5
-.
【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c 的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. 【详解】
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，依题意，5
24,
c b a ==
，又222a b c =+，可得5a =b=2，c=1.
所以，椭圆方程为22
154
x y +
=. (Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，
又()02,B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222
15
4y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
整理得(
)2
2
45200k
x
kx ++=，可得2
2045P k
x k
=-
+， 代入2y kx =+得2
2
81045P k y k
-=+， 进而直线OP 的斜率2
4510P P y k x k
-=-， 在2y kx =+中，令0y =，得2
M x k
=-
. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2
k -
. 由OP MN ⊥，得
2451102k k k -⎛⎫
⋅-=- ⎪-⎝⎭
， 化简得2
245k =
，从而k =所以，直线PB
或. 【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 18．（1）1a =；（2）4 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数的定义()()0f x f x +-=，代入化简得22244a x x -=-，进而可得a 的值；（2）设
4
()14x
h x =
+，可得()()4h x h x -+=，根据奇函数的性质得11022f f ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，进而可得结果. 【详解】
解：（1）因为2()lg 2ax
f x x
+=-是奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即22lg
lg 022ax ax
x x
+-+=-+，整理得22244a x x -=-，又1a ≠-，所以1a =
（2）设4()14x h x =+，因为44
()()41414
x x
h x h x --+=+=++， 所以11422h h ⎛⎫⎛⎫-
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为()f x 是奇函数，所以11022f f ⎛⎫
⎛⎫
+-=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以1104422g g ⎛⎫⎛⎫
+-=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了已知函数的奇偶性求参数的值，根据函数的奇偶性求函数的值，属于中档题.
19．
(1) 40x -=,22
1163
x y +=(2) 0.
【解析】 【分析】
(1) 展开两角和的正弦,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程,
把4cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ是参
数）消去参数θ，可得曲线C 的直角坐标方程;
(2) 设曲线C
上的点(4cos )P θθ写出点到直线的距离公式,利用三角函数求最值. 【详解】 由sin 26πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
1
sin cos 22
θρθ+= ∴直线l
的普通方程为40x +-=
由4cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ是参数）,消去参数θ,可得曲线C 的直角坐标方程为22
1163x y +=.
(2) 设曲线C
上的点(4cos )P θθ,则P 到直线l 的距离
|4cos 3sin 4||5sin()4|
22
d θθθϕ+-+-=
=,
当5sin()4=0θϕ+-时,即4
sin()=5θϕ+时min 0d =.
min 0d ∴=.
【点睛】
本题考查极坐标方程,参数方程和普通方程的互化,考查参数方程在解决点与直线距离最值中的应用,难度一般.
20．（1）分布列详见解析，数学期望为151.5元；（2）推荐该公司选择乙的方案，理由详见解析.
【解析】 【分析】
（1）首先根据茎叶图得到X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160，并计算其概率，再列出分布列求数学期望即可.（2）根据题意求出乙的日均工资额，再比较甲乙的日工资额即可. 【详解】
（1）设甲日送件量为a ，则
当48a =时，483144X =⨯=，当49a =时，493147X =⨯=， 当50a =时，503150X =⨯=，当51a =时，5035155X =⨯+=， 当52a =时，50352160X =⨯+⨯=，
所以X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160．
1(144)10P X ==
，3(147)10P X ==，1(150)5P X ==， 1(155)5P X ==，1
(160)5
P X ==.
X 的分布列为
()144147150155160151.51010555
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. （2）乙的日均送件量为：480.2490.1500.2510.3520.250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 乙的日均工资额为：5050.221504+⨯=⋅（元）， 而甲的日均工资额为：151.5元， 150.4元151.5<元， 因此，推荐该公司选择乙的方案． 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用，属于中档题. 21．()
132
81
；()220881. 【解析】 【分析】
(1)通过二项分布公式即可得到概率；
（2）X 可能的取值为0,3,4,6，分别求出所求概率，于是得到分布列和数学期望. 【详解】
()
1该选手每次答题的正确率都是
23
，四道题答对3的情况有3
4C 种 ∴恰答对3道题的概率3
34
21323381
P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ ()2由题X 可能的取值为0,3,4,6
()3
2116323381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()3
2116
423381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()4
2166,381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
()()()()11
0134627
P X P X P X P X ==-=-=-==
X ∴的分布列如下
11161616208
03462781818181
EX =⋅
+⋅+⋅+⋅=
. 【点睛】
本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.
22．（Ⅰ）22
(1)25-+=x y （Ⅱ）512a >
（Ⅲ）存在实数3
4
a = 【解析】 【分析】 【详解】
本试题主要考查圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用．
解：（Ⅰ）设圆心为(, 0)M m （m ∈Z ）．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以
42955
m -=，即42925m -=．因为m 为整数，故1m =．
故所求圆的方程为2
2
(1)25-+=x y ． …………………………………4分 （2）把直线ax-y+5=0，即y=ax+5代入圆的方程，消去y 整理，的
222(1)2(51)10
+5=0,A,B 5=12a -5a>0a>0,a>
12
5
+912
a x a x ax y a ++-+=-∆∞由于直线交圆与两点，故解得所以实数的范围是（，）
分
（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在，直线l 的斜率为1a
-
l 的方程为1
(2)4y x a
=-++，即240x ay a ++-=
由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =
．由于35,412⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，故存在实数34a =
使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB………………………14分。