2019年中考数学复习1.3因动点产生的直角三角形问题

§1．3 因动点产生的直角三角形问题
课前导学
我们先看三个问题：
1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．
图1 图2 图3
如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA 为边画两个正方形，除了O 、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B ，共6个．
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC 的顶点C 在y
轴上，求点C 的坐标．
我们可以用几何的方法，作AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C ．
如果作BD ⊥y 轴于D ，那么△AOC ∽△CDB ． 设OC ＝m ，那么
341
m
m -=． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y
轴的两个交
点． 图4
例 19 2019年湖南省益阳市中考第21题
如图1，已知抛物线E 1：y ＝x 2
经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E 2经过点B(2,2)，点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点A′、B′．
（1）求m 的值及抛物线E 2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P 在抛物线E 1上运动，可以体验到，点P 始终是线段OP ′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个． 思路点拨
1．判断点P 是线段OP ′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P 、P ′的坐标． 2．分别求线段AA′∶BB′，点P 到AA′的距离∶点P ′到BB ′的距离，就可以比较△PAA′与△P′BB′的面积之比． 图文解析
（1）当x ＝1时，y ＝x 2
＝1，所以A(1, 1)，m ＝1． 设抛物线E 2的表达式为y ＝ax 2
，代入点B(2,2)，可得a ＝
12．所以y ＝12
x 2
． （2）点Q 在第一象限内的抛物线E 1上，直角三角形QBB′存在两种情况：
图3 图4
①如图3，过点B 作BB ′的垂线交抛物线E 1于Q ，那么Q(2, 4)． ②如图4，以BB ′为直径的圆D 与抛物线E 1交于点Q ，那么QD ＝
1
2
BB '＝2． 设Q(x, x 2
)，因为D(0, 2)，根据QD 2
＝4列方程x 2
＋(x 2
－2)2
＝4．
解得x ＝Q ．
（3）如图5，因为点P 、P ′分别在抛物线E 1、E 2上，设P(b, b 2
)，P ′(c, 212
c )．
因为O 、P 、P ′三点在同一条直线上，所以P PM N OM ON ='，即22
12c
b
b c
=．
所以c ＝2b ．所以P ′(2b, 2b 2
)．
如图6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA ′＝2，BB ′＝4．
由A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P到直线AA′的距离PM ′＝b2－1．
由B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得点P′到直线BB′的距离P′N′＝2b2－2．
所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4．
图5 图6
考点延伸
第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法：
方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．
所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．
方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．
所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)．
例 20 2019年湖南省湘潭市中考第26题
如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结
BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，△BPQ有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上．
思路点拨
1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ．
2．如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQ＝NP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．．
图文解析
（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以
y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．
（2）由A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45°．
在△BPQ中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ t．
直角三角形BPQ存在两种情况：
①当∠BPQ＝90°时，BQ BP t(4－t)，得t＝2（如图3）．
②当∠BQP＝90°时，BP BQ．解方程4－t＝2t，得t＝4
3
（如图4）．
图3 图4 图5 （3）如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQ＝NP．
作QE⊥y轴于E，作NF⊥x轴于F，作QH⊥x轴于H，那么△MQE≌△NPF．由已知条件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．
由QE＝PF，可得x Q＝x N－x P，即3－t＝x N－(t－1)．解得x N＝2．
将x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．
由QH//NF，得QH PH
NF PF
=，即
(3)(1)
32(1)
t t t
t
---
=
--
．
整理，得t 2
－9t ＋12＝0．解得92
t ±=
．
因为t ＜2，所以取t =． 考点伸展
第（3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)
12
2
P Q
G x x t t x +-+-==
=．
所以x N ＝2x G ＝2．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，▱ABCD 中，点A 在反比例函数y=(0)k
k x
≠的图像上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若▱ABCD 的面积为10，则k 的值是（ ）
A ．5
B ．5-
C ．10
D ．10-
2．如图，D 是BC 上的一点，DE AB DA CE ∥，∥，若65ADE ∠=︒，则B C ∠∠，的度数分别可能是（ ）
A ．46,68︒︒
B ．45,71︒︒
C ．46,70︒︒
D ．47,68︒︒
3．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2
﹣2x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．0 B ．﹣1
C ．1
D ．2
4．实数
在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
5，那么这个矩形就称为黄金矩形．如图，已知A 、B 两点都在反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0）位于第一象限内的图像上，过A 、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C 、D 和E 、F ，设AC 与BF 交于点G ，已知四边形OCAD 和CEBG 都是正方形．设FG 、OC 的中点分别为P 、Q ，连接PQ ．给出以下结论：①四边形ADFG 为黄金矩形；②四边形OCGF 为黄金矩形；③四边形OQPF 为黄金矩形．以上结论中，正确的是 （ ）
A ．①
B ．②
C ．②③
D ．①②③
6．如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3，-2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（ ）
A ．（-3，0）
B ．（-2，0）
C ．（-4，0）或（-2，0）
D ．（-4，0）
7．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A ．3
tan 4
A =
B ．4tan 3
B =
C ．3sin 5
A =
D ．3cos 5
A =
8．如图，在菱形中，
，
，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为
顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
9．若a =b 6=-，c =则下列关系正确的为( ) A.a b c >>
B.c b a >>
C.b a c >>
D.b c a >>
10．如图，四边形ABCD 中，AC 平∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，若AD ＝4，AB ＝6，则AC AF
的值为（ ）
A ．2
B ．
74
C ．
32
D
11．如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、Q 从点B 同时出发，点P 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，点Q 以1cm/s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y(cm 2
)，运动时间
为x(s)，则y 与x 之间的函数关系图象如图二所示，则BC 长为( )
A ．4cm
B ．8cm
C ．
D ．12．如图,若等边△ABC 的内切圆⊙0的半径是2,则△ABC 的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．二、填空题
13．某天最低气温是-5℃，最高气温比最低气温高9℃，则这天的最高气温是______℃．
14．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入________小球时有水溢出．
15．有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）.现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为____.
16．如图，已知△ACF ≌△DBE ，∠E=∠F ，AD=9cm ，BC=5cm ，AB 的长为_____cm ．
17．如图所示，一动点从半径为2的
O 上的0A 点出发，沿着射线0A O 方向运动到O 上的点1A 处，再
向左沿着与射线1A O 夹角为60︒的方向运动到O 上的点2A 处；接着又从2A 点出发，沿着射线2A O 方向
运动到
O 上的点3A 处，再向左沿着与射线3A O 夹角为60︒的方向运动到O 上的点4A 处；40A A 间的
距离是________；…按此规律运动到点2019A 处，则点2019A 与点0A 间的距离是________.
a a⋅=__________．
18．计算：23
三、解答题
19．把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．
20．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．
求证：AB＝BC．
21．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
22．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C=90°，连接AF．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线．
（2）若BD=1，OB=2，求tan∠AFC的值．
23．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？
25．某种机器在加工零件的过程中，机器的温度会不断变化.当机器温度升高至40C ︒时，机器会自动启动冷却装置控制温度上升的速度；当温度升到100C ︒时，机器自动停止加工零件，冷却装置继续工作进行降温；当温度恢复至40C ︒时，机器自动开始继续加工零件，如此往复，机器从20C ︒时开始，机器的温度y （C ︒）随时间t （分）变化的函数图象如图所示.
（1）当机器的温度第一次从40C ︒升至100C ︒时，求y 与t 之间的函数关系式； （2）冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要多少分钟？
（3）机器的温度在98C ︒以上（含98C ︒）时，机器会自动发出鸣叫进行报警.当0154t ≤≤时，直接写出机器的鸣叫时间.
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题13．4 14．10
15．1 2
16．2
17． 2. 18．a5
三、解答题
19．见解析，4
9
.
【解析】
【分析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4，
所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率＝4
9
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．见解析
【解析】
【分析】
连接AC，利用等腰三角形的性质及角的和差证明∠BAC=∠BCA即可．
【详解】
解：连接AC，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴BA＝BC．
【点睛】
考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用角相等证明线段相等．
21．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤90时，y＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】
【分析】
（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．
【详解】
（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．
由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝90．
答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：
当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，
当10＜x≤90时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，
当x＞90时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；
（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，
函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，
而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．
由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，
最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，
答：公司应将最低销售单价调整为2875元．
【点睛】
本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
22．（1）详见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）连结OF，BE，根得到BE∥CD，根据平行线的性质得到∠OFD=90°，根据切线的判定定理证明；（2）由OF∥AC可得比例线段求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，tan∠AFC的值可求．
【详解】
（1）证明：连结OF，BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AEB=∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠C=∠OFD=90°，∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴OF OD AC AD
=，
∵BD=1，OB=2，∴OD=3，AD=5，
∴
2510
33 AC
⨯
==，
∴
，
∵CF CD OA AD
=，
∴
CD OA CF
AD
⨯
=
∴tan∠
AFC=
10 AC
CF
==
【点睛】
本题考查的是切线的判定、三角函数的计算，掌握切线的判定定理是解题的关键．
23．（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
【解析】
【分析】
（1）设每千克水果涨了x 元，那么就少卖了20x 千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解；
（2）利用总利润y ＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．
【详解】
（1）设每千克应涨价x 元，则（10+x ）（500﹣20x ）＝6 000
解得x ＝5或x ＝10，
为了使顾客得到实惠，所以x ＝5．
（2）设涨价z 元时总利润为y ，
则y ＝（10+z ）（500﹣20z ）
＝﹣20z 2
+300z+5 000
＝﹣20（z 2﹣15z ）+5000 ＝22252252015500044z z ⎛⎫--+-+ ⎪⎝
⎭＝﹣20（z ﹣7.5）2+6125 当z ＝7.5时，y 取得最大值，最大值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
【点睛】
考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.
24．（1）915(05)300(5)x x y x x
+≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩；（2）20分钟；（3）8518分钟 【解析】
【分析】
（1）分成0≤x≤5和x ＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；
（2）在当x ＞5时的函数解析式中，求得y ＝15时对应的自变量x 的取值即可；
（3）在两个函数解析式中求得y ＝40时对应的自变量的值，求差即可．
【详解】
（1）当0≤x≤5时，
设函数的解析式是y ＝kx+b ，则15560
b k b =⎧⎨
+=⎩ ， 解得：159b k =⎧⎨=⎩ 则函数的解析式是：y ＝9x+15；
3005x y x
=当＞时， ； 综上所述，915(05)300(5)x x y x x
+≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
（2）把y ＝15代入300y x =，得30015=x
，x ＝20； 经检验：x ＝20是原方程的解．
则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；
（3）把y ＝40代入y ＝9x+15得x ＝
259
；把y ＝40代入300y x =得x ＝7.5， 所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为7.5﹣259＝8518 分钟． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
25．（1）36y t =+；（2）冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要15分钟；（3）机器工作154分钟会鸣叫5分钟.
【解析】
【分析】
（1）先设函数关系式，再从图中找到时间和温度的对应值，求出自变量，可得机器温度T （℃）与运行时间t （h ）的函数关系式；
（2）从函数图象可知机器开始第二次工作时的函数值为40，将y 100=代入函数关系式可求出第一次停机后多少小时机器开始第二次加工；
（3）机器温度第一次由100C ︒降至40C ︒的过程中，先求y 与t 之间的函数关系式．根据y 值求t 值可得.
【详解】
（1）根据图象可设11y k t b =+.由点(
)4,40和点()44,80在函数图象上，可得11114k b 40,44k b 80,+=⎧⎨+=⎩
解得11k 1,b 36,
=⎧⎨=⎩∴y 与t 之间的函数关系式为y t 36=+. （2）由（1）可得，当y 100=时，100t 36=+，得t 64=，所以冷却装置将机器温度第一次从100C ︒降至40C ︒时，需要796415-=（分钟）.
（3）设机器温度第一次由100C ︒降至40C ︒的过程中，y 与t 之间的函数关系式为22y k t b =+.由点
()64,100和点()79,40在函数图象上，可得222264k b 100,79k b 40,+=⎧⎨+=⎩解得22
k 4,b 356,=-⎧⎨=⎩∴y 4t 356=-+.当机器
的工作温度为98C ︒时，由y t 36=+，得1t 62=；由y 4t 356=-+，得2t 64.5=，21t t 2.5-=（分）.∵()()15447942-÷-=，∴2 2.55⨯=（分），∴机器工作154分钟会鸣叫5分钟.
【点睛】
本题主要考查一次函数的实际运用，必须学会从一次函数图象中找到对应的已知条件．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
221k k y x
-+=的图象上．若点A 的坐标为（﹣4，﹣4），则k 的值为（ ）
A ．16
B ．﹣3
C ．5
D ．5或﹣3 2．函数k y x
=与y ＝﹣kx 2﹣k （k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ，则△ACE 的面积为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4．有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是( )
A ．2
B ．2.5
C ．3.5
D ．5
5．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1463π-
B ．33π+
C ．3338π-
D ．259
π 6．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝﹣2x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点（﹣1，0）作x 轴的垂线交l 2于点A 1…过点A 1作y 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 1于点A 4，……依次进行下去，则点A 2019的坐标是（ ）
A ．（﹣21008，21009）
B ．（21008，﹣21009）
C ．（21009，﹣21010）
D ．（21009，21010）
7．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )
已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE //BC ，DF//AC ， 求证：ADE ∽DBF ．
证明：①又DF//AC ，DE //BC ②，A BDF ∠∠∴=③，ADE B ∠∠∴=④，ADE ∴∽DBF ．
A.③②④①
B.②④①③
C.③①④②
D.②③④①
8．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A.|a|＞|b|
B.a ＞﹣3
C.a ＞﹣d
D.11c
< 9．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，将△DCB 绕点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．下列结论中正确的有（ ）
①四边形AEGF 是菱形；②△AED ≌△GED ；③∠DFG ＝112.5°；④BC+FG ＝1.5．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，在矩形纸片ABCD 中，3AB =，点E 在BC 上，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上点F 处，且1CF =.则tan CFE ∠的值为（ ）
A ．12
B ．23
C
D 11．下列说法不一定成立的是（ ）
A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c
B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞b
C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
D ．若a ＞b ，则1+a ＞b ﹣1
12．如图是空心圆柱，则空心圆柱在正面的视图，正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．函数的自变量x 的取值范围是_____． 14．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，则劣弧弧MN 的长度为__________．
15．如图，已知▱OABC 的顶点A 、C 分别在直线x=1和x=4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为__．
16．在直角坐标系中，已知直线
15
y x
33
=-+经过点()
M1,m
-和点()
N2,n，抛物线y=ax2-x+2(a≠0)
与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是______．
17．某校为了加强学生的综合体能素质，准备购买些体育用品，已知购买5个篮球和3个足球共需900元，购买3个篮球和5个足球共需860元，则篮球和足球的售价分别是多少元？设篮球的售价是x元，足球的售价是y元，依题意，可列出方程组为_____．
18，则m+n的值为________ ．
三、解答题
19．在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB上，且充分利用原三角形废料．
（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝
2
，点E从A出发沿线段AC运动至点C停止，ED⊥AB，EF⊥AC，将△ADE沿直线EF翻折得到△A′D′E，设DE＝x，△A′D′E与△ABC重合部分的面积为y．（1）当x＝时，D′恰好落在BC上？
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
21．某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A：跑步；B：跳绳；C：做操；D：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，并绘制了不完整的两幅统计图（如图）：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）跳绳B对应扇形的圆心角为多少度？
（3）学校在每班A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率．
22．解不等式组
211,? 331
x
x x
①
②
+-
⎧
⎨
+-
⎩
…
…
请结合题意填空，完成本题的解答。

（I）解不等式①，得________________
（Ⅱ）解不等式②，得：_____________________
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为___________________.
23．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF交BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB＝3，AD＝6，求菱形BFDE的面积．
24．化简分式：
2
22
233
4424
x x x
x x x x
⎛⎫
--
-÷
⎪
-+--
⎝⎭
，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值
代入求值．
25．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝12
x
(x＞0)经过点A(4，m)．
(1)求点A的坐标；
(2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)；
(3)连接OA，一次函数y＝kx+b(k≠0)与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．x≥﹣
12且x≠3 14．25
π 15． 16．a 1≤-或
11a 43∠≤ 17．5390035860x y x y +=⎧⎨+=⎩
18．-1
三、解答题
19．（1）答案见解析;(2)
127
. 【解析】
【分析】
（1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．图中半圆即为所求．
（2）作OH ⊥BC 于H ．首先证明OE=OH ，设OE=OH=r ，利用面积法构建方程求出r 即可．
【详解】
解：（1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．
（2）∵OC平分∠ACB，OE⊥AC，OH⊥BC，∴OE=OH，设OE=OH=r，
∵S△ABC=1
2
•AC•BC=
1
2
•AC•r+
1
2
•BC•r，
∴r=12
7
．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．
20．（1）9
5
；
（2
）
2
2
2
(01)
9
-1
225
9
2
5
x
y
<
⎪
=+-≤
⎨
⎪
⎪
-+≤
⎪⎩
（＜x）
（＜x）
…
.
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出AB的值，然后根据同角的正弦函数值相等表示出AE为3x，当点D′恰好落在
BC上时，再根据等角的三角函数值相等表示出EC为1
3
x，然后求出x的值即可；
（2）由（1）可得AE和AD，当点A'与点C重合时，求出x的值，然后根据三角形的面积公式分三种情况讨论，求出y关于x的函数关系式即可.
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，AB
=，
∴sinA=
1
3 DE BC
AE AB
==,
∵DE=x，
∴AE＝3x，
当D′恰好落在BC上时，如图所示：
ED′＝ED ＝x ，∠DEA ＝∠D′EC，
∴∠ED′C＝∠A ，
∴EC ＝
13
x ， ∵3x+13
x ＝6， ∴x ＝95
， 故答案为：95； （2）由（1）可得，AE=3x ，
∴AD ＝，
当点A'与点C 重合时，AE=EC=
12AC=3， ∴3x ＝3
∴x ＝1．
①当0＜x≤1时，如图1，y=12212222
AD DE x x x ==； ②当1＜x≤95
时，如图2， ∵AE ＝A'E ＝3x ，
∴AA'＝6x ．
∴CA'＝6x ﹣6．
∵tan A'='4
CH BC CA AC ==，
∴1)6)42
x CH x -=-=，
∴y=2
21132(1)1)22(66)22222
x x x x x x ----=-
＝-222
x +-； ③当925
x ＜＜时，如图3，
∵∠EIC+∠IEC ＝∠IEC+∠A'，
∴∠EIC ＝∠A'．
∴tan CE EIC CI == , ∵CE ＝（6﹣3x ），
∴3)CI x =- ∴11(63)22(63)
22
y CE CI
x x ==-
-
＝2
-+
综上所述，22(01)
915925x y <⎪=+-
≤⎨
⎪
⎪-+≤⎪⎩
＜x ）＜x ）….
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、利用三角函数值解直角三角形、一元二次函数及三角形的面积公式等知识点，根据题意作出辅助线，分类讨论是解题的关键.
21．(1) 本次共调查了300名学生；(2) 36︒;(3)
16
【解析】
【分析】
（1）用A 类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数
（2）先算出B 类的总数，再利用B 的总数除以总的调查人数在乘以360°即可得到答案
（3）利用画树状图可知一共有十二种结果，而做操”和“跳绳”的结果数为2，即可得到答案
【详解】
（1）120÷40%＝300（人），
所以本次共调查了300名学生；
（2）喜欢B 类的人数为300﹣120﹣60﹣90＝30（人），
所以跳绳B 对应扇形的圆心角＝360°×
30300 ＝36°； （3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的结果数为2， 所以每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率＝
21126
=． 【点睛】
此题综合考查了扇形统计图，条形统计图，画树状图等，解题关键在于对图形性质的理解
22．详见解析
【解析】
【分析】
（I ）先移项合并，再未知数的系数化为1，即可得到不等式的解集；
（II ）先移项合并，未知数的系数化为1即可得到不等式的解集；
（III ）根据求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上表示出来；
（IV ）取不等式①②的解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）移项得：22x -…
解得：1x -…;
故填1x -….
（Ⅱ）移项得：24x …，
解得：2x …;
故填： 2x ….
（III ） （IV ）由（1）（2）得：不等式的解为：12x -剟
. 故填：12x -剟
. 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及把不等式组的解集画在数轴上，掌握不等式的解法是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）454
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠EDO=∠FBO，由ASA证明△DEO≌△BFO，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，即可推出菱形BEDF；
（2）设AE=x，DE=6-x，得到BE=6-x，根据勾股定理得到DE=6-x=15
4
，根据菱形的面积公式即可得到结
论．
【详解】
（1）解：（1）四边形BEDF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO=DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，
EDO FBO BO DO
EOD FOB ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；（2）设AE=x，DE=6-x，
∴BE=6-x，
∵∠A=90°，
∴AE2+AB2=BE2，
∴x2+32=（6-x）2，
∴x=9 4
∴DE=6-x=15 4
∴菱形BFDE的面积＝ED·AB＝45
4
．
【点睛】
本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
24．x+2，3.
【解析】
【分析】。