5.3 函数的应用(第2课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第一册)

【学透用活】 [典例2] (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
A
x B
若所画曲线能表示为函数，设A点横坐标为a, B点横坐标为b。
思考：如图所示，这些函数图象有零点吗？ 思考：这些函数图象与 x 轴有什么关系？ 思考：怎样用数学符号表示零点存在的条件？
yA
Oa
端点函数值异号 即f(a)·fLeabharlann b) ＜ 0b xB
思考：如果f(a)·f(b) ＜ 0，但图象是不连续的,函数f(x)一定有零点?
x1=x2=1 (1,0)
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 O 1 2 3 x
无实数根
无交点
判别式Δ= b2－4ac
方程ax2+bx+c =0(a＞0)的根
函数 y=ax²+bx +c(a＞0)的 图象
Δ＞0
Δ=0
两个不相等 有两个相等的
的实数根x1、 x2
实数根x1=x2
2．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数． 解：法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(1)＝2＋lg 2－2>0， 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数， ∴f(x)在(0,1)上必定存在零点． 故函数f(x)有且只有一个零点． 法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图． 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个 交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
答案：B
2．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0， ∴f(x)仅在(2,3)内有零点，∴k＝2. 答案：2
题型三 零点个数及应用
[方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是 解方程法
否落在给定区间上 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看 函数零点 是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 存在定理 有零点 数形 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 结合法
题型四 二次函数零点分布问题 【学透用活】
二次函数零点的分布，一般有两种题型 (1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面 考虑： ①对应一元二次方程根的判别式； ②区间端点函数值的正负； ③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴 x＝－2ba在区间内． (2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负．
解：(1)解方程 f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得 x＝－1 或 x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得 x＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程 f(x)＝2x－1－3＝0，得 x＝log26，所以函数的零点是 log26. (4)解方程 f(x)＝x2＋x4－x－2 12＝0，得 x＝－6，所以函数的零点是－6.
[方法技巧]
判断函数存在零点的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断 函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x) 和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． (3)定理法 ：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线 ，由 f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x) 在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
【对点练清】
1．函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为
A．(0,1)
B．(1,2)
()
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：由题意，可得函数在定义域上为增函数，f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0， f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，所以f(1)f(2)＜0，根据零点存在定理， f(x)的零点所在区间为(1,2)．故选B.
解得 2≤a＜52，
故实数 a 的取值范围是2，52.
(2)由已知并结合二次函数的图象得 f(1)＝5－2a＜0， 解得 a＞52，因此实数 a 的取值范围是52，＋∞. (3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在定理，
f0＝4＞0， f1＝5－2a＜0， 得f6＝40－12a＜0， f8＝68－16a＞0，
题型二 判断零点所在的区间
[探究发现] (1)什么是函数的零点？ 提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标． (2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)f(b)＞0时 函数在区间上一定没有零点吗？ 提示：f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的充分不必要条件．f(a)f(b) ＞0时函数在区间(a，b)上不一定没有零点．
[典例4] 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实 数a的取值范围： (1)两个零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
[解] (1)由已知并结合二次函数的图象，
Δ＝－2a2－16≥0， 得－f1－＝22a5＞－12.a＞0，
函数y=f(x),x∈D的零点，就是方程f(x)=0在集合D中的解， 也是该函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.这就将方程 f(x)=0的求解与求函数y=f(x)的零点联系起来.
思考：那怎样判断函数是否存在零点呢？
探究：如图所示，有位同学想过河，渡过河流的路线有 哪些？请动手画一画。
若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为A、B两点，请大家用连 续不断的曲线画出她的可能路径.
注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点.
题型归纳
题型一 求函数的零点
【学透用活】
[典例 1] (1)已知函数 f(x)＝21x＋－lo1g，2xx，≤x1＞，1， 则函数 f(x)的零点为
()
A.12，0
B．－2,0
1 C.2
D．0
(2)已知函数 f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为 3，求函数 g(x)＝bx2＋ax 的零点．
• [方法技巧] • 函数零点的求法 • (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． • (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的 图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【对点练清】 判断下列函数是否存在零点．如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝x2＋x4－x－2 12.
y
y
x1 0 x2 x
0 x1 x
Δ＜0 没有实数根
y
0x
函数的图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0)
(x1,0)
没有交点
一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
即方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
定义 对于函数y=f(x),x∈D,如果存在实数 c∈D,当 x=c时，f(c)=0,就把x=c叫做函数y=f(x), x∈D的零点.
[解析] (1)当 x≤1 时，令 2x－1＝0，得 x＝0；当 x＞1 时，令 1＋log2x＝ 0，得 x＝12，此时无解．综上所述，函数 f(x)的零点为 0.故选 D.
答案：D (2)由已知得 f(3)＝0，即 3a－b＝0，即 b＝3a. 故 g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令 g(x)＝0，即 ax(3x＋1)＝0，解得 x＝0 或 x＝－13. 所以函数 g(x)的零点为 0 和－13.
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
() ()
[解析] (1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1) ＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在 (－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A. (2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(x)在(0,1)内有零点． 法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为 函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图 象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)． [答案] (1)A (2)C
解得130＜a＜147，
因此实数 a 的取值范围是130，147.
[方法技巧] 解决根的分布问题的注意事项及方法
(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点： ①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． ②结合草图考虑四个方面：a.Δ与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端 点的函数值与零的关系；d.开口方向． ③写出由题意得到的不等式(组)并检验条件的完备性． (2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间 端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时， 要注意分类讨论．
你知道方程对应的函数 是怎么找的吗？
方程
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
函数
函 数 的 图 象
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y
y
.2
.
.
.
1
2
. . x －1 0 －11 2 3
1. .
－2 －3
. －4
.
－1 O 1 2
x
方程的实 数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=-1,x2=3
(-1,0)、(3,0)
第五章 函数的概念、性质及应用
5.3 函数的应用（第2课时） 5.3.2 -5.3.3
思考：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次 函数的图象，观察二者有何联系？ (1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 (2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 (3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
【对点练清】 1．已知函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝________.
解析：令函数f(x)＝|x2－4x|－a＝0，可得|x2－4x|＝a，由于函数 f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y＝|x2－4x|的图象和直 线y＝a有3个交点，如图所示． 由图可知a＝4. 答案：4
y
a•
•0 b
x
端点函数值异号 f(a)·f(b) ＜ 0
y
•
a
0
bx
•
函数图象 是连续
函数有零点
函数零点存在定理
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解．
【学透用活】
[典例 3] (1)f(x)＝－x2＋2＋2xln－x3，，xx>≤0 0， 的零点个数为
()
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)若函数 f(x)＝x－13x＋a 的零点在区间(1，＋∞)上，则实数 a 的取值范 围为________．
[解析] (1)当 x≤0 时， 由 f(x)＝x2＋2x－3＝0 得 x1＝－3，x2＝1(舍去)； 当 x>0 时，由 f(x)＝－2＋ln x＝0 得 x＝e2. ∴函数的零点个数为 2. (2)易知函数 f(x)＝x－13x＋a 在定义域上单调递增，又∵函数 f(x)＝x－13x ＋a 的零点在区间(1，＋∞)上，∴f(1)＝23＋a<0，∴a<－23. [答案] (1)B (2)－∞，－23