湘教版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数的概念与性质 3.1.3 简单的分段函数

3.1.3 简单的分段函数
A 级必备知识基础练
1.若f(x)={x -3,x ≥10,
f (f (x +6)),x <10,则f(5)的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.11
2.已知f(x)=|x|,g(x)=x 2
,设h(x)={f (x ),f (x )≤g (x ),
g (x ),f (x )>g (x ),则函数h(x)的大致
图象是( )
3.函数f(x)={2x ,0≤x ≤1,
2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )
A.R
B.[0,2]∪{3}
C.[0,+∞)
D.[0,3]
4.已知函数y={x 2+1,x ≤0,
2x ,x >0,若f(a)=10,则a 的值是( )
A.3或-3
B.-3或5
C.-3
D.3或-3或5
5.[甘肃天水第一中学高一校考期末]已知函数f(x)={-x 2+2,x ≤1,
x +1
x
-1,x >1,
则使得f(x)≥1的x 的取值范围为( ) A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-1,+∞)
D.[-1,+∞)
6.设函数f(x)={(x +1)2
,x <1,
4x
,x ≥1,
则f(f(8))= ,使得f(a)≥4a
的实数a 的取值范围是 .
7.[甘肃白银高一校考期中]已知函数f(x)={x 2,x ≥0,
1,x <0.
(1)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求f(-5)+f(2)的值;
(3)根据函数图象写出函数的定义域和值域.
8.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x 小时的收费为g(x)元.
(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式. (2)选择哪家比较合算?请说明理由.
B 级关键能力提升练
9.设函数f(x)={1
2x -1,x ≥0,
1
x
,x <0,
若f(a)=a,则实数a 的值为( )
A.±1
B.-1
C.-2或-1
D.±1或-2
10.已知函数f(x)={x 2,x ≤1,
x +4
x
-3,x >1,
则f(x)的值域是( ) A.[1,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞)
D.[0,1)∪(1,+∞)
11.(多选题)已知f(x)=x,g(x)=x 2-2x,且F(x)={g (x ),f (x )≥g (x ),
f (x ),f (x )<
g (x ),则F(x)
的最值情况是( ) A.有最大值3 B.有最小值-1 C.无最小值
D.无最大值
12.设集合A=[0,12),B=[12
,1],函数f(x)={x +1
2,x ∈A ,2-2x ,x ∈B ,已知m ∈A,且f(f(m))
∈A,则实数m 的取值范围是 .
13.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税,超过5 000元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
(1)已知张先生的月工资、薪金所得合计为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?
(2)设王先生的月工资、薪金所得合计为x 元,当月应缴纳个人所得税为y 元,写出y 与x 的函数关系式.
(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得合计为多少? 答案：
1.A 由题意知,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.
2.D 当f(x)≤g(x),即|x|≤x 2时,解得x≤-1或x≥1或x=0,故h(x)={|x |,x ≤-1或x ≥1或x =0,x 2
,-1<x <1且x ≠0,
故h(x)的大致图象为D.
3.B 当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.
综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}.
4.B 若a≤0,则f(a)=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=
5.
综上可得,a=5或a=-3,故选B.
5.D 当x≤1时,由f(x)≥1可得,-x 2+2≥1,x 2≤1, 解得-1≤x≤1.
当x>1时,由f(x)≥1可得,x+1
x -1≥1,
即x 2-2x+1=(x-1)2≥0恒成立,所以x>1.
综上可得,使得f(x)≥1的x 的取值范围为[-1,+∞). 故选D.
6.94 (-∞,1] 因为f(x)={(x +1)2
,x <1,4x
,x ≥1,
所以f(8)=48=1
2,因此f(f(8))=f(12
)=(12
+1)2=9
4
.
当a<1时,f(a)≥4a 可化为(a+1)2≥4a,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1;
当a≥1时,f(a)=4
a ≥4a,解得a=1.
综上,a 的取值范围为(-∞,1].
7.解(1)利用二次函数的图象与常数函数的图象的特征即可画出分段函数f(x)={x 2,x ≥0,1,x <0
的图象,如图所示.
(2)因为f(x)={x 2,x ≥0,
1,x <0,
所以f(-5)=1,f(2)=22=4, 所以f(-5)+f(2)=5.
(3)由条件知,函数f(x)的定义域为R. 由函数的图象知,
当x≥0时,f(x)=x 2的值域为[0,+∞); 当x<0时,f(x)=1.
所以f(x)的值域为[0,+∞).
8.解(1)由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40, g(x)={90,15≤x ≤30,30+2x ,30<x ≤40.
(2)由5x=90,解得x=18, 即当15≤x<18时,f(x)<g(x); 当x=18时,f(x)=g(x); 当18<x≤40时,f(x)>g(x).
所以当15≤x<18时,选甲家比较合算; 当x=18时,两家一样合算; 当18<x≤40时,选乙家比较合算.
9.B 当a≥0时,有1
2
a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有1
a
=a,
解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.所以实数a 的值是-1.故选B.
10.B 由f(x)={x 2,x ≤1,
x +4
x
-3,x >1,
知当x≤1时,x 2≥0; 当x>1时,x+4x
-3≥2√x ·4x
-3=4-3=1,当且仅当x=4
x
,即x=2时等号成立.
综上,f(x)的值域是[0,+∞).故选B.
11.CD 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3;由f(x)<g(x),得x<0或x>3,所以F(x)={x 2-2x ,x ∈[0,3],x ,x ∈(-∞,0)⋃(3,+∞).作出函数F(x)的图象如图,可得F(∈A,
∴0≤m<1
2
,f(m)=m+1
2
∈[1
2
,1).∴f(f(m))=2-2(m+1
2
)=1-2m.
∵f(f(m))∈A,∴0≤1-2m<12
,则14
<m≤1
2
.
∵0≤m<12
,∴14
<m<1
2
.
∴m 的取值范围是(14,1
2
).
13.解(1)赵先生应交税为1500×3%+3000×10%+500×20%=445(元). (2)y 与x 的函数关系式为
y={0,0≤x ≤5000,
(x -5000)×3%,5000<x ≤6500,45+(x -6500)×10%,6500<x ≤9500,345+(x -9500)×20%,9500<x ≤14000.
(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有6500<x≤9500,从而303=45+(x-6500)×10%,解得x=9080.所以王先生当月的工资、薪金所得为9080元.。