2024-2025学年福建省泉州市晋江一中高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.点P(−3,8,−5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A. (3,−8,−5)
B. (−3,8,5)
C. (3,8,5)
D. (−3,−8,5)
2.已知直线l 过点(4,5)，且一个方向向量为(−1,2)，则直线l 的方程为( )A. x +2y−14=0
B. x−2y +6=0
C. 2x +y−13=0
D. 2x−y−3=0
3.已知双曲线C 1过点A(−
15,1)，且与双曲线C 2：x 2−3y 2=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的标准方程为
( )A. x 2
12−
y 2
4
=1 B. y 212
−x 2
4=1 C. x 2
15−
y 2
5
=1 D. y 215
−x 2
5=14.已知直线l 1：3x−4y +7=0与直线l 2：6x−(m +1)y +1−m =0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知三棱柱ABC−A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，∠A 1AB =∠A 1AC =60°，若B 1C 和BC 1相交于点M.则|AM |=( )
A.
3
B. 2
C.
5 D.
6
6.已知椭圆E ：x 2
a 2+
y 2
b 2
=1(a >b >0)的右焦点为F(4,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐
标为(1,−1)，则E 的方程为( )A. x 2
48+
y 2
16
=1 B. x 2
36+
y 2
12
=1 C. x 2
24+
y 2
8
=1 D. x 2
12+
y 2
4
=17.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2
b
2=1(a
>b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为1
2的直
线上，△PF 1F 2为等腰直角三角形，且∠F 1F 2P =90°，则C 的离心率为( )A. 1
3
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
8.已知圆C ：x 2+y 2+6x−4y +9=0关于直线ax +by +3=0对称，过点P(a,b)作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为( )A. 27
64
B. 29
64
C. 19
32
D. 27
32
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量a =(1,1,0),b =(0,1,1),c =(1,2,1)，则下列结论正确的是( )
A. 向量a 与向量b 的夹角为π
6B. c ⊥(a−b )
C. 向量a 在向量b 上的投影向量为(12,0,1
2)D. 向量c 与向量a ，b 共面
10.已知直线l ：kx−y +(1−k)=0，圆C ：(x +1)2+(y−2)2=1，以下正确的是( )A. l 与圆C 不一定存在公共点
B. 圆心C 到l 的最大距离为
5
C. 当l 与圆C 相交时，−3
4<k <0D. 当k
=−1时，圆C 上有三个点到l 的距离为
2− 2
2
11.已知双曲线C ：y 2
a
2−x 2=1(a
>0)的一条渐近线的方程为y =
3x
3
，上、下焦点分别为F 1，F 2，下列判断正确的是( )
A. C 的方程为3y 2−x 2=1
B. C 的离心率为
2 3
3
C. 若点A 为C 的上支上的任意一点，P(2,0)，则|PA|+|AF 2|的最小值为2
3
D. 若点M(2
2, t)为C 的上支上的一点，则△MF 1F 2的内切圆的半径为
22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知A(−2,−5)，B(0,1)两点，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______．
13.过双曲线E 的两个焦点分别作实轴的垂线，交E 于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则E 的离心率为______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，且该圆的圆心在这两定点所在直线上.长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AB =2AD =2AA 1=6，点E 在棱AB 上，BF =2AE ，F 为C 1D 1的中点，动点P 满足BP = 3PE.若P 在底面ABCD 所在平面内运动，则：P 的运动轨迹所围图形的面积是______；三棱锥P−B 1CF 体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知圆M 的圆心在直线y =−2x 上，且圆M 与直线x−y−5=0相切于点P(2,−3)．
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=PD=2，CD=4，点E是棱PC上靠近P端的三等分点，点F是棱PA上一点．
(1)证明：PA//平面BDE；
(2)求点F到平面BDE的距离；
(3)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x−1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长是，求|AB|．
18.(本小题17分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k−1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1,2,⋯,k,k≥3))为多面体M的所有ΦP=1−1
2π
与P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，Q2PQ3，…平面Q k−1PQ k和平面Q k PQ1为多面体M的所有以P为顶点的面.现给出如图所示的三棱锥P−ABC．
(1)求三棱锥P−ABC在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，三棱锥P−ABC在顶点C处的离散曲率为3
；
8
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为30
，求BQ的长度．
6
19.(本小题17分)
已知椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2
3
，且经过点(2,5
3
)．
(1)求E的方程；
(2)过F1且不垂直于坐标轴的直线l交E于A，B两点，点M为AB的中点，记△MF1F2的面积为S1，△BF1F2
的面积为S2，求S1
S2
的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.A
8.C
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.(x+1)2+(y+2)2=10
13.5+1
2
14.12π27
2
−36
15.解：(1)已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x−y−5=0相切于点P(2,−3)，易知过点P(2,−3)且与直线x−y−5=0垂直的直线斜率为1，
故圆心M与切点连线方程为x+y+1=0，
联立{x+y+1=0
y=−2x解得{x=1 y=−2，
所以圆M的圆心坐标为(1,−2)，
所以圆M的半径为|MP|=(2−1)2+(−3+2)2=2，则圆M的方程为(x−1)2+(y+2)2=2；
(2)如图，由(1)可知圆M的方程为(x−1)2+(y+2)2=2，
因为过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为 6，所以圆心M 到直线l 的距离为d =
2−(
62
)2= 22，
若直线l 的斜率不存在，则方程为x =0，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为y =kx ，
则d =|k +2|
k 2+1=
2
2
，即k 2+8k +7=0，解得k =−1或k =−7，
所以直线l 的方程为x +y =0或7x +y =0．
16.解：(1)证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(0,43,43
)．DB =(2,2,0),DE =(0,43,4
3)，
设平面BDE 的一个法向量为m =(x,y,z)，则
{m ⊥DB m ⊥DE ，则{
m ⋅DB =0
m ⋅DE =0，
即{
2x +2y =043y +43
z =0，令x =1，得y =−1，z =1，则m =(1,−1,1)．
又PA =(2,0,−2)，可得PA ⋅m =0，因为PA⊄平面BDE ，所以PA//平面BDE ．(2)因为PA//平面BDE ，
所以点F 到平面BDE 的距离等于点A 到平面BDE 的距离，易知AB =(0,2,0)，则点A 到平面BDE 的距离为
|m AB ||m |
=2 3=2 33
．
(3)易知BC =(−2,2,0),PC =(0,4,−2)，
设平面PBC 的一个法向量为n =(a,b,c)，则
{n ⊥BC n ⊥PC ，则{n ⋅BC =0
n ⋅PC =0
，即{
−2a +2b =0
4b−2c =0，令a =1，b =1，c =2，则n =(1,1,2)，
设平面BDE 与平面PBC 的夹角为α，则cosα=|cos <n ,m >|=
|n m ||n ||m |
2
3⋅
6= 2
3
，故平面BDE 与平面PBC 的夹角的余弦值为
2
3
． 17.解：(1)由圆M ：(x +1)2+y 2=1，可知圆心M(−1,0)；圆N ：(x−1)2+y 2=9，圆心N(1,0)，半径3．
设动圆的半径为R ，
∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=R +1+(3−R)=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a =2，c =1，b 2=a 2−c 2=3．∴曲线C 的方程为
x 24+y 2
3
=1(去掉点(−2,0)) (2)设曲线C 上任意一点P(x,y)，
由于|PM|−|PN|=2R−2≤3−1=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为(2,0)，R =2时，其半径最大，其方程为(x−2)2+y 2=4．
①l 的倾斜角为90°，直线l 的方程为x =0，|AB|=2 3．
②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|=R
r 1，可得Q(−4,0)，所以可设l ：y =k(x +4)，由l 与M 相切可得：|3k|
1+k 2=1，解得k =±
2
4
．
∴直线l 的方程为y =±
24
(x +4)，
代入x 24+y 2
3
=1，可得7x 2+8x−8
=0，∴|AB|= 1+18⋅ (−87)2+4×8
7
=18
7． 18.解：(1)根据离散曲率的定义得：ΦP =1−1
2π(∠APB +∠BPC +∠APC)，
ΦA =1−12π(∠PAB +∠BAC +∠PAC)，ΦB =1−12π
(∠PBA +∠ABC +∠PBC)，ΦC =1−12π
(∠PCA +∠BCA +∠PCB)，
所以ΦP +ΦA +ΦB +ΦC =4−
1
2π
×4π=2；
(2)①因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以PA ⊥BC ，且AC ⊥BC ，PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥PC ，
所以ΦC =1−1
2π(∠PCA +∠BCA +∠PCB)=1−1
2π(∠PCA +π
2+π
2)=3
8，
所以∠PCA =π4，所以PA =AC =BC =2，如图，将三棱锥P−ABC 补成正方体ADBC−PEFM ，
因为AB//PF ，连结FC ，所以异面直线PC 与AB 所成的角为∠FPC 或其补角，而△PFC 是等边三角形，所以∠FPC =60°，cos ∠FPC =cos60°=12
，所以直线PC 与直线AB 所成角的余弦值为1
2
；过点Q 作QG//AB 于点G ，连结CG ，
因为PA ⊥平面ABC ，所以QG ⊥平面ABC ，所以∠GCQ 为直线CQ 与平面ABC 所成的角，
由题可得：PA =2，AB =2 2，PB = PA 2+AB 2=2 3，所以cos ∠PBA
=AB PB = 63
，sin ∠PBA =PA PB = 3
3
，又因为cos ∠GCQ =
30
6
，所以sin ∠GCQ = 1−cos 2∠GCQ =
66
，
所以tan ∠GCQ =sin ∠GCQ
cos ∠GCQ =
5
5
，
设BQ =x(0<x ≤2 3)，BG =BQ ⋅cos ∠PBA =
63x ，QG =BQsin∠PBA =
3
3
x ，
在△BCG 中，CG = BC 2+BG 2−2BC ⋅BG ⋅cos ∠CBG = 4+23x 2−4
33
x ，
所以tan ∠GCQ =QG CG =
3
3x 4+23x 2−4
33x
=
55，解得：x =2
3
3
或x =−2 3(舍)，
故BQ =2
3
3
．
19.解：(1)因为e 2=c
2
a 2=a 2
−b 2
a
2=49，所以5a 2=9b 2，因为点(2,5
3)在椭圆上，所以4a 2+259b 2
=1．即
4a 2+25
5a
2=1，解得a 2=9，所以b 2=5，所以椭圆E 的方程为x 2
9+
y 2
5
=1．
(2)由(1)得F 1(−2,0)，依题意设l ：x =my−2(m ≠0)， 由
{
x 29+y 2
5
=1,
x =my−2
消去x ，得(5m 2+9)y 2−20my−25=0，
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{
y 1+y 2=
20m 5m 2+9
y 1y 2=
−25
5m 2+9
，设M(x o ,y o )，则y o =
y 1+y 2
2
，S 1S 2=1
2⋅|F 1F 2|⋅|y o |12
⋅|F 1F 2|⋅|y 2|=|y 1+y 22||y 2|
=12|y 1
y 2+1|，由{
y 1+y 2=
20m 5m 2+9y 1y 2
=
−25
5m 2+9
得，(y 1+y 2)2y 1y 2
=−16m 2
5m 2+9，即y 1
y 2+y 2
y 1+2=
−16m 2
5m 2+9
，
因为m 2>0，所以0<m 25m 2+9<15，所以
−165<−16m 25m 2+9
<0，所以−
165
<y 1y 2+y 2
y 1+2<0，令y 1
y 2=t(t <0且t ≠−1)，
则−
165
<t +1t +2<0，解得−5<t <−15
，且t ≠−1，
所以0<12
|t +1|<2，所以S
1S 2
的取值范围为(0,2)．。