垂直于弦的直径(二)九年级数学(上)人教出版课堂教案

r r
新知应用
A
E
B
O
C
A
E
B
O
AC
O
E DB
归纳1 在圆中，解决有关弦的问题时，常常需 要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径 构造直角三角形.
r r
新知应用
思考2 如果我们设圆的半径为 r，圆心到弦的
距离为d，弦长为 a ，你能找到它们三者之间 的关系吗？
C
rO
d
A
aE
B
2
D
r r
新知应用
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.
证明：过点O作OE⊥AB于点E.
∵ OE⊥AB ，
∴AE=BE，CE=DE， ∴ AE-CE=BE-DE，
∴AC＝BD．
AC
O E DB
r
r
新知应用
A
E
B
O
C
A
E
B
O
AC
O
E DB
思考1 在应用垂径定理的过程中，常用的辅助 线是什么？
垂直于弦的直径（二）九年级数学 （上）人教出版课堂教案
年 级：九年级 学 科：数学上（人教）
垂直于弦的直径（二）
你能证明圆是轴对称图形吗？
C
O
A
M
A'
D
垂直于弦的直径（二）
动手探究
证明：连接OA，O A ′． 在△ OA A ′中，
∵OA=OA ′，
∴ △ OA A ′是等腰三角形.
C
又A A ′ ⊥CD，
之间 的关系式为
C
.
rO
d
A
aE
B
2
D
rO
A
d
B
aE
2
布置作业
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，
则∠AOB= °，点O到AB的距离为 ．
O
A
B
布置作业
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，
则∠AOB= °，点O到AB的距离为 ．
O
C
A
B
布置作业
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16， 以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，
O
A
B
探究新知
如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB，如图， 观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？ 若是，你能找到它的对称轴吗？
C
O
A
E
B
D
探究新知
设直径CD与弦AB垂直于点E（如图），在沿
直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还
有哪些相等的线段和相等的弧？
C
AE BE，AC BC ，AD BD ． ·O
∵OE⊥AB，AB=8， AE 1 AB 4.
2
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
OA2 AE2 OE2， 即 OA2 42 32，
A 4E
B
3
O
解得 OA=5.
因此，⊙O的半径为5cm.
新知应用
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm,求⊙O的半径．
求AD的长．
C
A
DB
布置作业
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16， 以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，
求AD的长．
C
A
E D
B
∴AM=M A ′ ，
O
即CD是A A ′ 的垂直平分线． A M A'
D
动手探究
对于圆上的任意一点A，在圆上都有关于直 线CD的对称点A ′，因此⊙O关于直线CD对称. 即
C
圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是圆的对称轴.OA NhomakorabeaM
A'
D
探究新知
如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB，如图， 观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？ 若是，你能找到它的对称轴吗？
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E， 根据等腰三角形的性质．
AC
O E DB
还有更简单的证明方法吗？
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.
思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理．
O
A
E
B
O
CE
D
AC
O E DB
解：连接OA．设OA = r，则OE = r-2， C
OE AB, AB 8, AE 1 AB 4.
2
42
A
E
B
r
r-2
O
新知应用
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
OA2 AE2 OE2 ,
即 r2 42 (r 2)2.
解得 r 5 .
因此，⊙O的半径为5cm.
C
42
A
E
B
r
r-2
O
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD （证明△OAD≌△OBC）．
AC
O
DB
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.
归纳2 圆的半径 r，圆心到弦的距离 d，弦
长 a 之间的关系式为
C
r2
d2
a 2
2
.
rO
d
A
aE
B
2
D
课堂小结
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
C
C
A
E
B
A
E
B
O
O
O
E
A
B
D
课堂小结
2．常用的辅助线是从圆心作一条与弦垂直的
线段，连接半径，构造直角三角形．那么
圆的半径 r ，圆心到弦的距离 d ，弦长 a
AE
B
D
探究新知
下列图形是否适合用垂径定理呢？
①过圆心，②垂直于弦．
C
C
A
O
A
E
B
D
AB⊥CD于E
O
A
E
B
D
CD为直径
C
O
E
B
OC⊥AB于E
A
E
B
O
OE⊥AB于E
新知应用
例1 如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
A 4E
B
3
O
新知应用
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.