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高三文科期末试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.
1.已知集合{}
{}2|30,|41A x x x B x x =+>=-<<-,则（ ） A ．{}|43A
B x x =-<<- B ．A B R =
C ．B A ⊆
D ．A B ⊆
2.若复数Z 满足(1)34i Z i +=+，则Z 的实部为（ ） A ．32-
B ．52-
C ．32
D ．52
3.已知a R ∈，则“2a >”，是 “2
2a a >”成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4.已知向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
5.等差数列{}n a 中，已知前15项的和1590S =，则8a 等于（ ） A ．
452 B ．12 C ．454
D ．6 6.执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）
A ．4n ≥？
B ．8n ≥？
C ．16n ≥？
D ．16n <? 7.将函数sin(2)6
y x π
=+
的图象向右平移
6
π
个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新函数的函数解析式是（ ）
A ．sin 4y x =
B ．sin y x =
C ．sin(4)6y x π
=-
D ．sin()6
y x π
=- 8.设,x y 满足24
122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
则z x y =+（ ）
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
9.若0,0a b >>且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．
112ab > B ．111a b +≤ C ．2ab ≥ D ．22118
a b ≤+ 10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于,,A BA B 两点且
3AF BF =，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．22
12.已知函数3
2
()3f x x tx x =-+，若对于任意的[](]1,2,2,3a b ∈∈，函数()f x 在区间[],a b 上单调递减，
则实数t 的取值范围是（ ）
A ．(],3-∞
B ．(],5-∞
C ．[)3,+∞
D ．[)5,+∞
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.定义,*,a a b a b b a b <⎧=⎨≥⎩
，已知0.33
33,0.3,log 0.3a b c ===，则(*)*a b c =________．（结果用,,a b c 表
示）
14.在ABC ∆中，若22,1,tan 22b c B ===，则a =_________． 15.已知1,2,0OA OB OA OB ==
=，点C 在045AOC ∠=，设,(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m
n
=________． 16.定义在R 上偶函数()f x 满足: (1)()f x f x +=-,且在[]1,0-上是增函数，给出下列关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称；③()f x 在[]0,1上是增函数；④()f x 在[]1,2上是减函数；⑤(2)(0)f f =．其中正确结论的序号是________．
三、解答题 （.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足17999
9,2
a a S +=-=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n
b S =
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34
n T >- 18.(本题满分12分)
在一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示： 学生
1A 2A 3A 3A 5A
数学x /分 89 91 93 95
97 物理y /分 87 89 89 92 93
（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2
）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归方程．
参考公式：回归直线方程是ˆˆy
bx a =+，其中1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑．
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，0
60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 中点． （1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的表面积．
20.（本题满分12分）
已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，该椭圆经过点3(1,)2P ，且离心率为1
2
．
（1）求椭圆的标准方程；
21.（本题满分12分）
设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．
（1）当1
2b =
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）当1
2
b <时，求函数()f x 的极值点；
（3）证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln(1)n n n
+>-都成立．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本题满分10分）
已知：如图，BC 是半圆O 的直径，,D E 是半圆O 上两点，ED CE =，CE 的延长线与BD 的延长线交于点A ．
（1）求证：AE DE =； （2）若4
25,tan 3
AE ABC =∠=
，求CD ．
23.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角
6
π
α=
．
（1）写出直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆C 相交于两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积． 24.（本小题满分10分） 已知()12_3f x x x =-++．
（1）若()f x m ≥对一切x R ∈都成立，求实数m 的取值范围；
（2）解不等式()4f x ≤．
高三文科期末试题答案
一选择题
1.A.
2. D.
3. A
4. B.
5.D
6.C.
7.D.
8.B
9.D.10.D.11.C.12. 二填空题
13. C 14 .3 15. 2 16. ①②⑤
17. 解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=+2993699
6211d a d a ，解得⎪⎩⎪⎨
⎧-=-=1231d a ，于是可求得2
1
2+-
=n a n ； 6分
（Ⅱ）因为2)2(+-
=n n S n ，故)2
1
1(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，于是 )2
1
1123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n
又因为
211123+-+-n n 23<，所以4
3->n T . 12分
18. 解：(1)(枚举法)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A 4，A 5)，(A 4，A 1)，(A 4，A 2)，(A 4，A 3)，(A 5，A 1)，(A 5，A 2)，(A 5，A 3)，(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共10种情况．
其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有：(A 4，A 5)，(A 4，A 1)，(A 4，A 2)，(A 4，A 3)，(A 5，A 1)，(A 5，
A 2)，(A 5，A 3)，共7种情况．
由古典概型得，选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率7
10
p =. (2)散点图如图所示．
由题意可求得：
8991939597
935
++++=
=，
8789899293905
++++==，
1()()30n
i
i
i x x y y =--=∑，
5
2
1
()
i
i x x =-=∑ (－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，
∴30
0.7540
b =
=， a ＝－b ＝20.25，
故所求的线性回归方程是＝0.75x ＋20.25. 19. 解：（1）证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=
. ∴FM AB AE ==2
1
，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵
（2）连结ED 可知ED AB ⊥，
,,PA ABCD PA AB AB PEF AB ABCD AB PE AB FE DE AB PE FE PEF ⎫⊥⎫
⎫⇒⊥⎪⎬⎪
⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪ ⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭
平面平面平面平面， 由此11133
22228
PEF
S
PF ED =
⋅=⋅⋅=
； 111112224
PBF
S
PF BD =
⋅=⋅⋅=；
11717
22228
PBE
S
PE BE =
⋅=⋅⋅=
； 111112224
BEF
S
EF EB =
⋅=⋅⋅=； 因此三棱锥P BEF -的表面积437
8
P BEF PEF
PBF
PBE
BEF
S S
S
S
S
-++=+++=
.
20解：(1)∵点3(1,)2
P 在椭圆上，
∴
221914a b
+=. 又∵1
2
e =，∴2c ＝a ，
∴4a 2
－4b 2
＝a 2
，解得a 2
＝4，b 2
＝3，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=. (2)证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋s(m ≠0)，则直线CD 的方程为1
x y s m
=-
+， 由22
143x y x my s ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得(3m 2＋4)y 2＋6smy ＋3s 2
－12＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
∴y 1＋y 2＝2
634
sm
m -+，y 1y 2＝2231234s m -+. 由中点坐标公式得2243(
,)3434
s sm M m m -++，
将M 的坐标中的m 用1
m
-代换，得CD 的中点22243(
,)4343sm sm N m m ++，
∴直线MN 的方程为24(1)4(1)77
m s
x y m m --
=≠±． 令y ＝0得，47x s =，所以直线MN 经过定点4
(,0)7
s . 当m ＝0或m ＝±1时，易知直线MN 也经过定点4
(,0)7
s .
21. 解（Ⅰ）当1
2
b =时，函数()f x 在定义域（-1，+∞）上单调递增。

（Ⅱ） 当1
2
b <
时，解'()f x =0得两个不同解12112112,22b b x x ----+-==
①当b ＜0时，121121121,122
b b
x x ----+-=
<-=>-
∴12(1,),(1,)x x ∈-+∞∈-+∞，
此时()f x 在(1,)-+∞上有唯一的极小值点21122
b
x -+-=
②当1
02
b <<
时，12,(1,)x x ∈-+∞ '()f x 在12(1,),(,)x x -+∞都大于0，'()f x 在12(,)x x 上小于0， 此时()f x 有一个极大值点11122b x ---=和一个极小值点21122
b
x -+-=
综上可知，
1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点11122b x ---=和一个极小值点21122b x -+-=
b ＜0，时，()f x 在（-1，+∞）上有唯一的极小值点21122
b
x -+-=
（Ⅲ）当b=-1时，2
()ln(1).f x x x =-+
令32
3
3
2
3(1)()()ln(1),'()[0,)1
x x h x x f x x x x h x x +-=-=-++=+∞+则在上恒正
∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，当x ∈（0，+∞）时，恒有()(0)0h x h >= 即当x ∈（0，+∞）时，有3
2
2
3
ln(1)0,ln(1)x x x x x x -++>+>-， 对任意正整数n ，取231111
ln(1)x n n n n =
+>-得
22.(1)略（2） CD=6
23.（1）
3
1
2
1
1
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（2）2
PA PB=
24.(1)
5
2
m≤(2) []
2,0
-。