2018-2019江苏省江阴四校高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年江苏省江阴四校高一上学期期中考试数学试
题
一、单选题
1．已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2},则= （）
A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}
【答案】C
【解析】
由题意，集合，利用集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，，则，故选C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据函数的解析式，列出解析式有意义的不等式组，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，满足，解得，
所以函数的定义域为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．下列选项中，表示的是同一函数的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
由题意，分别求解函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可得到答案.
【详解】
对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；
对于B中，和的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数；对于C中，函数与的对应法则不同，所以不是同一个函数；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故选B.
【点睛】
本题主要考查了同一函数的概念及其判定，其中熟记同一函数的基本概念，通过定义域和对应法则，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．已知函数，则( )
A．−2 B．4 C．2 D．−1
【答案】A
【解析】
由题意，根据函数的解析式，现求解，进而求解的值，即可得到答案.【详解】
由题意，可知函数，则，
所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中由分段函数的解析式，根据分段函数的分段条件，合理代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．图中函数图象所表示的解析式为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由题意，本题可进行选项逐一验证解析式的函数值求解，即的得到答案.
【详解】
根据题意，选项A中，当时，，故图象过点，与实际图象不符；
选项C中，当时，，故图象过点，与实际图象不符；
选项D中，当时，，故图象过点，与实际图象不符；
对于选项B中，函数的解析式为符合题意，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的图象与函数的解析式的关系，其中解答中熟记函数的标准方法，根据函数的图象验证函数的解析式，从而求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．设奇函数在上为减函数,且则不等式的解集是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.
【详解】
由题意，因为函数在上为减函数，且，
所以函数在上为减函数，且，
作出函数的草图，如图所示，
又由函数为奇函数，所以不等式等价于，
即或，则或，
即不等式的解集为，故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及不等式的求解问题，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性之间的关，利用数形结合求解是解答本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
7．三个数，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
根据指数函数与对数函数的性质，借助于中间量，即可得到结论，得出答案.
【详解】
由题意可知，
所以，故选D.
本题主要考查了指数式、对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，合理借助中间量比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】
分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转
化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
二、填空题
9．幂函数f(x)的图象过点，那么f(64)＝___________．
【答案】
【解析】
设幂函数的解析式为，由幂函数的图象过点，求得，即可求解得到答案.
【详解】
由题意，设幂函数的解析式为，
又由幂函数的图象过点，即，所以，即，
所以.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式的应用，其中解答中利用待定系数法求解得到幂函数的解析式，再代入求解是解答的关键，着重考查了待定系数法和推理与运算能力，属于基础题.
10．已知，则__________．
【答案】
【解析】
设2x+1=t,则，f(t)= ，即f(t)= ,所以f(x)= .
答案：.
点睛：换元法是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求
函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

11．函数且恒过定点__________．
【答案】
【解析】
由题意，函数，令，即时，解得，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数，令，即时，解得，
即函数的图象恒过点.
【点睛】
本题主要考查了对函数的性质及过定点问题，其中解答中熟记对数函数的基本性质，合理选择求解的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 12．已知函数，且，则___________．
【答案】
【解析】
由题意，函数，且则，求得，进而可求得的值.
【详解】
由题意，函数，
则，解得，
又由.
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的化简求值问题，其中根据函数的解析式，分别代入，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．若方程的根，则整数__________．
【答案】4
【解析】
由题意可得是方程的一个根，转化为的一个零点，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意可知是方程的一个根，转化为的一个零点，且函数为单调递增函数，
又由，可得，
即，所以，
【点睛】
本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记函数的零点和对应的方程的根之间的关系，合理利用了零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了转化的数学思想方法，以及推理与运算能力，属于中档试题.
14．定义在R上的函数满足,当时总有，若,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
本题可先通过函数是偶函数将原不等式中的函数自变量转化为非负数，再利用函数的单调性研究，将不等式转化为两个自变量的大小比较，解不等式，得到本题结论．
【详解】
∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，且f（﹣x）=f（x）=f（|x|）．
∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有（a≠b），
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵f（m+1）＞f（2m），
∴f（|m+1|）＞f（|2m|），
∴|m+1|＜|2m|，
∴4m2＞（m+1）2＞0，
∴
∴m＜﹣或m＞1．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的定义域、不等式的解法，还考查了化归转化的数学思想和分析问题解决问题的能力，本题有一定的综合性，属于中档题．15．若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意，函数的定义域为，转化为不等式在R上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
即不等式在R上恒成立，
当时，不等式等价与，不符合题意；
则满足，解得，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R，转化为不等式在R上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.
16．已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
由题意，可知函数在定义域内不是单调函数，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性，即可得到结论.
【详解】
由题意可得函数在定义域内不是单调函数，
由函数为增函数，且时，，
则时，或，解得或，
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中根据题意得出分段函数不是单调函数，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题
17．(1)
(2)
【答案】（1）0；（2）4
【解析】
根据实数指数幂和对数的运算公式，化简、运算，即可求解.
【详解】
(1)由指数幂的运算性质，
可得；
(2)由对数的运算性质，
可得
.
【点睛】
本题主要考查了实数指数幂和对数的运算的化简、求值问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式和对数的基本运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．设全集为R，集合，．
（1）求；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，求得集合和，进而根据集合的运算，即可求解；
（2）由，分类讨论和，两种情况求解，即可得到答案.
【详解】
（1）由得或
由，，
（2）① ，即时，，成立；
② ，即时，
得
综上所述，的取值范围为．
【点睛】
本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
19．已知二次函数满足且．
（1）求的解析式；
(2) 当时，不等式恒成立，求的范围
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，设函数的解析式为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）由时，恒成立，转化为恒成立，利用二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）解：令代入：
得：
∴∴
（2）当时，恒成立即：恒成立；
令,
∴
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的求解问题，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理利用利用分离参数和二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
20．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在以内（含）按起步价元收取，超过后的路程按元/收取，但超过后的路程需加收的返空费（即单
价为元/）．
（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用（单位：元）表示为行程，
单位：）的分段函数；
（2）某乘客的行程为，他准备先乘一辆“网约车”行驶后，再换乘另一辆
“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）由题意得，即可得到车费关于路程的函数解析式；
（2）分别计算只乘一辆车的车费和换乘2辆车的车费，比较即可得到结论.
【详解】
（1）由题意得，车费关于路程的函数为：
（2）只乘一辆车的车费为：（元），
换乘2辆车的车费为：（元），
因为，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
【点睛】
考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.
21．已知函数为奇函数.
(1) 求函数的解析式；(2) 若＜0.5，求的范围；（3）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）由题意，函数为奇函数，则，求得，即可得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，得，即，即可求得的范围；
（3）由函数解析式画为，再根据指数函数的行贿，即可求解函数
的值域.
【详解】
（1）由，经检验符合题意，
（2）由，，
（3）由函数，又由，则，所以，
则，则，即函数的值域为.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，指数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数的基本性质，合理化简函数的解析式，应用性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。