广东省汕头市金平区东厦中学高二数学上学期期中试题

东厦中学2011-2012学年第一学期期中考试
高二级数学（理科）试卷
试卷说明：试卷共10页，答卷4页
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分. ) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝23，∠B ＝60°，则sin A = ( )
A 、12
B 、2
C 、3
D 、1 2、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )
A ．9
B ．18
C ．93
D ．183 3、不等式2230x x -->的解集为 （ ）
A ．3{|1}2x x x ><-或
B ．3{|1}2x x -<<
C ． 3{|1}2x x -<<
D ．3{|1}2
x x x ><-或 4、已知00<<<<d c b a ，，那么下列判断中正确的是（ ）
A ．ac bd -<-
B ．a c b d >
C ． a d b c <
D ．a d b c
> 5、不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩
表示的平面区域是（ ）.
6、已知一等比数列的前三项依次为,22,33x x x ++，那么2113
-是此数列的第（ ）项 A 4 B 5 C 6 D 8
7、设0,0.a b >>若3是3a 与3b 的等比中项，则14a b
+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．9
A B C D
8、已知数列{a n } 满足{a n }= ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>+--.8,,8,2)3
1(7n a n n a n 若对于任意的*N n ∈都有a >n a 1+n ， 则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．(0，31)
B ．(0，21)
C ．(31，21)
D ． (2
1，1) 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
9．已知数列{}n a 为等差数列，且6852=++a a a ，则=5a _________
10. 在ABC ∆中，
222a b c +=+，则∠C =
11．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值是___________
12．如果数列｛a n ｝的前n 项和S n =2
3a n －3，那么这个数列的通项公式是 13. 已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。

则实数a 的取值范围为
14.一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增
加一定数量的宝石, 则第4件工艺品所用的宝石数为 颗；第n 件工艺品所用的宝石数
n 的式子表示).
三、解答题：(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步。

)
15．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知45A =o ，4cos 5
B =. （Ⅰ）求sin
C 的值；（Ⅱ）若10,BC =求ABC ∆的面积.
第1件 第2件 第3件
16．（本题满分12分）
已知{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{}n b 满足11b =，12n a n n b b +=+.
(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和
17. （本小题满分14分）
已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，
(1)求a ，b ； (2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.
18．（本小题满分14分）
已知等比数列{}n a 的首项为12a =，前n 项和为n S ，且且2a 是234S -与1522
S -
的等差中项 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设(1)n n b n a =+，n T 是数列{}n b 的前n 项和，n N *∈，求n T
19. （本题满分14分）
某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？
20.（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上.
(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由.
东厦中学2011-2012学年第一学期期中考试
高二级数学（理科）答题卷
一、选择题：
二、填空题：
9． 2 ； 10.030；
11.2
2 12. a n =2·3n 13. a>0 14. 45 ； 1322++n n
三、解答题：
15. （本题满分12分）
解：4
cos ,5B =Q 且(0,180)B ∈o o ，∴3
sin 5B ==． sin sin(180)sin(135)
C A B B =--=-o o
4
3sin135cos cos135sin (55B B =-=-⋅o o 由正弦定理得sin sin BC
AB
A C =，即，解得14A
B =．
则1
13
sin 101442225S AB BC B ==⨯⨯⨯=
16. （本题满分12分）
解：由已知得n a n =.从而12n n n b b +=+，即12n n n b b +-=
112211
()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L 121222212112
n
n n n ---=++++==--L . n n b b b S n n n n n --=---=-++-+-=+++=+222
1)21(212121212121ΛΛΛΛ
17. （本题满分14分）
解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程
ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2
－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.
①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；
②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；
③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅
综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；
当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.
18. （本题满分14分） 21
2n n a -=
⑵ 由⑴知，212n n a -=，则1210121111234(1)2222n n n T b b b n --=+++=⨯+⨯+⨯+++L L ① ∴01211
1111234(1)22222
n n T n -=⨯+⨯+⨯+++L ②
①－②，得101211
111112()(1)222222
n n n T n ---=⨯++++-+L 1111111()111324(1)422()(1)61222212
n n n n n n n n ------+=+-+=+-⨯-+=--， ∴23122
n n n T -+=-. ……………………………………………………14分
19. （本题满分14分）
解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张.
则⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,09382y x y x y x 目标函数为：z =2x +3y 作出可行域：
把直线l ：2x +3y =0向右上方平移至l ′的位置时，
直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =2x +3y 取最大值.
解方程⎩⎨⎧=+=+9
382y x y x 得M 的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.
20. （本题满分14分）
解： .0221=-++n n S a ① 2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② ①─②得()22102211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ， 2
122,12121=⇒=+=a a a a Θ ∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，.211-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∴n n a （2）解法一:.21221121
11--=--
=n n n S Θ 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ为等差数列， 则3322123,22,2λ
λλ
λλ
λ++++++S S S 成等差数列, 2,82547231492328252349312λλλλλλ+++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S
得.2=λ 又2=λ时，2222
2+=++n n S n n ，显然{}22+n 成等差数列，
故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列.
解法二: .21
22
1121
11--=--=n n n S Θ
().2122221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλ
λ 欲使⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⋅+n n n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可.
故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列.。