吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十三)

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课
时作业(六十三)
一、选择题 1．在⎝
⎛⎭⎪⎫x 3
－3x 6
的二项展开式中，x 2的系数为( B )
A ．－427
B ．－227 C.227 D.4
27
解析：由二项展开式的通项式T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭
⎪⎫136－r ·(－3)r ·x 3－r ，令3－r ＝2，得r ＝1.则x
2
项的系数为C 16·⎝ ⎛⎭
⎪⎫135·(－3)1
＝－227.
2．若(1－x )n ＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *
)，且a 1∶a 3＝1∶7，则n ＝( A ) A ．8 B ．9 C ．7 D ．10
解析：由二项式定理知a 1＝C 1
n ，a 3＝C 3
n ，故C 3
n
C 1n
＝7⇒(n －1)(n －2)＝42，得(n －8)(n ＋5)
＝0⇒n ＝8或n ＝－5(舍)，故选A.
3．设a ＝sin x d x 则二项式⎝
⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2
项的系数是( B )
A ．－1 120
B ．1 120
C ．－1 792
D ．1 792
解析：由题意a ＝sin x d x ＝－cos x ⎪⎪
⎪
π
＝2，则二项式⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 8
展开式的通项式为
T r ＋1＝C r 8(2x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 8(－1)r 28－r ·x 8－ 3
2 r ，令8－32r ＝2，得r ＝4，所以x 2
项的系数
为C 4824
＝1 120，故选B .
4．设a ＝(3x 2
－2x)d x ，则二项式⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( A )
A ．－1 280x 3
B ．－1 280
C ．240
D ．－240
解析：a ＝(3x 2
－2x)d x ＝(x 3
－x 2
)⎪⎪
⎪
2
1
＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式第四项为C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x 3
＝－1 280 x 3
，选A .
5．在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x 2－13x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( C )
A ．－7
B ．－28
C ．7
D ．28
解析：依题意，n 2
＋1＝5，∴n＝8.二项式为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8
，
易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6
＝7.
6．若(x ＋y)9
按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy<0，则x 的取值范围是( D )
A .⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－∞，15
B .⎣⎢⎡⎭
⎪⎫45
，＋∞
C .⎝
⎛⎦
⎥⎤－∞，－45
D ．(1，＋∞)
解析：二项式(x ＋y)9
的展开式的通项是T r ＋1＝C r
9·x
9－r
·y r
.
依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2
x ＋y ＝1
xy<0
，由此得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 8·1－x －4x 7
·
1－x
2
≤0
x 1－x <0，由此解得x>1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．
7．若(1－2x)
2 013
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x
2 013
(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 013
2
2 013的值为( C )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2 解析：观察所求数列和的特点，
令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 013
22 013＝－a 0，
再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 013
2
2 013＝－1.
8．⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( B )
A.3516
B.358
C.35
4
D ．105 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8＝2x ＋182x 8
＝1＋2x 8
28x 4，展开式中常数项即为(1＋2x )8中含x 4
的项为C 48
(2x )4
，故常数项为C 4824
28＝C 48·2－4
＝358
.
9．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
－(a 0
＋a 2＋…＋a 8)2＝－39
，则实数m 的值为( A )
A ．1或－3
B ．－1或3
C ．1
D ．－3 解析：(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2
＝(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 1－a 0＋a 3－a 2＋…＋a 9－a 8)＝－39
令x ＝0得a 0＋a 1＋…＋a 9＝(2＋m )9
令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9
所以(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝(m 2
＋2m )9
＝39
所以m 2
＋2m ＝3，解得m ＝－3或m ＝1，选A. 二、填空题
10．(a ＋x )5
展开式中x 2
的系数为10，则实数a 的值为________． 解析：因为(a ＋x )5
＝C 05a 5
＋C 15a 4
x ＋C 25a 3x 2
＋C 35a 2x 3
＋C 4
5ax 4
＋C 55x 5
， 所以C 25a 3
＝10a 3
＝10.所以a 3
＝1，a ＝1. 答案：1
11．设a ＝(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －
1
x
)6展开式中含x 2
项的系数是________．
解析：a ＝(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪
⎪
π
＝2sin(x －π4)⎪⎪
⎪
π
＝2，
二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·⎝
⎛⎭⎪⎫－1x ＝－192x 2
，
所以x 2
的系数为：－192. 答案：－192
12．(x ＋1)(1－2x )5
展开式中，x 3
的系数为________(用数字作答)．
解析：本题是二项式定理计算系数的题，可以从以下角度来思考：x 3
的来源有两种，一种是从第一个括号里面取出一个x ，从第二个括号里面取出x 2
，此时x 3
的系数为C 2
5(－2)2
＝40；另外一种是第一个括号取出常数，第二个括号取出x 3
，此时x 3
的系数为C 3
5(－2)3
＝－80，故总的系数为－40.
答案：－40
13．(2013·黄冈质检)已知a ＝－1(1＋1－x 2
)d x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6展开式中的常数
项为________．
解析：
令y ＝1＋1－x 2
，则x 2
＋(y －1)2
＝1(y≥1)，如图可看出a ＝－1(1＋1－x 2
)d x 表示的面积是a ＝2×1＋π2＝2＋π2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，由二项式定理，T r ＋1＝(－
1)r
·C r
6·2
6－r
·x
6－r
·x －r ＝(－1)r ·C r 6·2
6－r
·x
6－2r
，要求展开式的常数项，
则6－2r ＝0，即r ＝3，∴(－1)3
·C 36·26－3
＝－20×8＝－160.
答案：－160
14．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．
解析：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 3
6＝－
20，当r ＝4时，T 5＝C 4
6＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.
答案：－5
15．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x －1x 4的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答) 解析：T r ＋1＝C r
6·(2x)
6－r
·(－1)r ·x －r ＝(－1)r C r 626－r
x 6－3r
2
，r ＝0,1,2,3,4,5,6，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋1＝(－1)r C r 62
6－r
x
6－3r
2
为有理项，则所有有理项的系数 和为C 0626
＋C 2624
＋C 4622
＋C 6620
＝365. 答案：365
16．若⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
，
则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．
解析：T 6＝C 5
n (x 2)
n －5
(－x －1)5＝－C 5n x
2n －15
，其中2n －15＝1，∴n＝8，令x ＝1得(1－3)
8
＝256＝a 0＋a 1＋…＋a 8，令x ＝0得(1－0)8
＝1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝256－1＝255.
答案：255 [热点预测]
17．(1)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n
的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项
是________．
(2)在二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A .1
6
B .14
C .13
D .512
解析：(1)第三项的系数a 2＝C 2n
(－1)2
＝C 2n
，第五项的系数a 4＝C 4n
(－1)4
＝C 4n
，C 2n
C 4n
＝
12n －2
n －3＝314
，∴n＝10，T r ＋1＝C r 10x 2(10－r)(－x － 1
2 )r ＝C r 10(－1)r ，由
20－52
r ＝0得r ＝8，所以常数项为C 810(－1)8
＝45.
(2)展开式中前三项的系数分别为a 1＝C 0n ＝1，a 2＝C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝n 2，a 3＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝
n n －1
8
，a 1，a 2，a 3成等差数列，所以有2×n 2
＝1＋
n
n －18
，解得n ＝8或n ＝1(舍)，则T r ＋1＝C r
8
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x － 14 r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪
⎫12r ，其中r ＝0,1,2，…，8，当r ＝0,4,8时为有理项，其
展开式共有9项，重新排成一排，有理项互不相邻的概率为A 66A 3
7
A 99＝512
，故选D .
答案：(1)45 (2)D。