苏教版数学高一《向量的数量积》 精品检测
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5．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3 ，则b＝__________.
解析：a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，得 由|b|＝3 ，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．
答案：(－3,6)
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ ，若(a＋b)·c＝ ，则a与c的夹角是__________．
解析：设c＝(x，y)，则(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝ ，又|c|＝ ，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cosα，故cosα＝－ ，α＝120°.
答案：120°
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得：
解得
所以当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，
因为λ＜0，所以－ a＋b与a－3b反向．
11．已知c＝ma＋nb＝(－2 ，2)，a与c垂直，b与c的夹角为120°，且b·c＝－4，|a|＝2 ，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解析：∵ ＝(6,9)，
∴ ＝ ＝(2,3)， ＝ ＝(4,6)．
又 ＝(2，－4)，
∴ ＝ ＋ ＝(4，－1)， ＝ ＋ ＝(6,2)，
∴ · ＝4×6＋(－1)×2＝22.
答案：22
二、解答题
9．平面内三个点A，B，C在一条直线上，且 ＝(－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且 ⊥ ，求实数m，n的值．
解：∵a与c垂直，∴a·c＝0.
又∵c＝ma＋nb，∴c·c＝ma·c＋nb·c，
∴12＋4＝－4n，∴n＝－4.
∵b·c＝|b||c|cos120°，
∴－4＝|b|×4× ，∴|b|＝2.
∴a·c＝ma2－4a·b，|a|＝2 ，∴a·b＝2m.
又b·c＝m(a·b)－4b2，
∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝± .
由①②可得(5n＋3)2＝0，∴n＝－ ，
∴ ∴b＝ .
答案：
2．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝i－2j，b＝i＋mj，给出下列命题：①若a与b的夹角为锐角，则m＜ ；②当且仅当m＝ 时，a与b互相垂直；③a与b不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，则m＝－2.
其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)
解析：2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，∴n2＝3，|a|＝2.
答案：2
一、填空题
1．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且·b＝5，则向量b＝______.
解析：设b＝(m，n)，则由a·b＝5得4m－3n＝5，①
又因为|b|＝1，所以m2＋n2＝1，②
解析：∵cosθ＝ ＝ ＝－ .∴θ＝ .
答案：
3．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.
答案：－3
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于__________．
当m＝ 时，a·b＝2 .
∴cosθ＝ ＝ ＝ ，∴θ＝ .
当m＝－ 时，a·b＝－2 .
∴cosθ＝－ ，∴θ＝ .
因此m＝ ，n＝－4时，θ＝ ；
m＝－ ，n＝－4时，θ＝ .
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
解：∵A，B，C三点在同一直线上，
∴ ∥ .
∵ ＝(－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，
∴ ＝ － ＝(7，－1－m)，
＝ － ＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0，
即mn－5m＋n＋9＝0.①
∵ ⊥ ，∴(－2)×n＋m×1＝0，即m－2n＝0.②
联立①②解得 或
1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝__________.
解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.
答案：4
2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为________．
解析：设点P的坐标为(x,0)，则 ＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1). · ＝(x－2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时， · 有最小值1，∴点P的坐标为(3,0)．
答案：(3,0)
8．直角坐标平面内有三点A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则 · ＝__________.
答案：②③
3．设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．
解析：a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝ ，a·b＝(1,2)· ＝1× ＋2×1＝ .
答案：
6．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，则 的坐标为__________．
解析：设 ＝(x，y)，
则有| |＝| |＝ ＝ ，①
又由 ⊥ ，得5x＋2y＝0，②
由①②联立方程组，解得x＝2，y＝－5或x＝－2，y＝5.
答案：(－2,5)或(2，－5)
7．已知向量 ＝(2,2)， ＝(4,1)，在x轴上有一点P使 · 有最小值，则点P的坐标是__________．
解析：a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，得 由|b|＝3 ，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．
答案：(－3,6)
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ ，若(a＋b)·c＝ ，则a与c的夹角是__________．
解析：设c＝(x，y)，则(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝ ，又|c|＝ ，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cosα，故cosα＝－ ，α＝120°.
答案：120°
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得：
解得
所以当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，
因为λ＜0，所以－ a＋b与a－3b反向．
11．已知c＝ma＋nb＝(－2 ，2)，a与c垂直，b与c的夹角为120°，且b·c＝－4，|a|＝2 ，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解析：∵ ＝(6,9)，
∴ ＝ ＝(2,3)， ＝ ＝(4,6)．
又 ＝(2，－4)，
∴ ＝ ＋ ＝(4，－1)， ＝ ＋ ＝(6,2)，
∴ · ＝4×6＋(－1)×2＝22.
答案：22
二、解答题
9．平面内三个点A，B，C在一条直线上，且 ＝(－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且 ⊥ ，求实数m，n的值．
解：∵a与c垂直，∴a·c＝0.
又∵c＝ma＋nb，∴c·c＝ma·c＋nb·c，
∴12＋4＝－4n，∴n＝－4.
∵b·c＝|b||c|cos120°，
∴－4＝|b|×4× ，∴|b|＝2.
∴a·c＝ma2－4a·b，|a|＝2 ，∴a·b＝2m.
又b·c＝m(a·b)－4b2，
∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝± .
由①②可得(5n＋3)2＝0，∴n＝－ ，
∴ ∴b＝ .
答案：
2．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝i－2j，b＝i＋mj，给出下列命题：①若a与b的夹角为锐角，则m＜ ；②当且仅当m＝ 时，a与b互相垂直；③a与b不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，则m＝－2.
其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)
解析：2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，∴n2＝3，|a|＝2.
答案：2
一、填空题
1．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且·b＝5，则向量b＝______.
解析：设b＝(m，n)，则由a·b＝5得4m－3n＝5，①
又因为|b|＝1，所以m2＋n2＝1，②
解析：∵cosθ＝ ＝ ＝－ .∴θ＝ .
答案：
3．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.
答案：－3
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于__________．
当m＝ 时，a·b＝2 .
∴cosθ＝ ＝ ＝ ，∴θ＝ .
当m＝－ 时，a·b＝－2 .
∴cosθ＝－ ，∴θ＝ .
因此m＝ ，n＝－4时，θ＝ ；
m＝－ ，n＝－4时，θ＝ .
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
解：∵A，B，C三点在同一直线上，
∴ ∥ .
∵ ＝(－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，
∴ ＝ － ＝(7，－1－m)，
＝ － ＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0，
即mn－5m＋n＋9＝0.①
∵ ⊥ ，∴(－2)×n＋m×1＝0，即m－2n＝0.②
联立①②解得 或
1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝__________.
解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.
答案：4
2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为________．
解析：设点P的坐标为(x,0)，则 ＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1). · ＝(x－2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时， · 有最小值1，∴点P的坐标为(3,0)．
答案：(3,0)
8．直角坐标平面内有三点A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则 · ＝__________.
答案：②③
3．设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．
解析：a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝ ，a·b＝(1,2)· ＝1× ＋2×1＝ .
答案：
6．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，则 的坐标为__________．
解析：设 ＝(x，y)，
则有| |＝| |＝ ＝ ，①
又由 ⊥ ，得5x＋2y＝0，②
由①②联立方程组，解得x＝2，y＝－5或x＝－2，y＝5.
答案：(－2,5)或(2，－5)
7．已知向量 ＝(2,2)， ＝(4,1)，在x轴上有一点P使 · 有最小值，则点P的坐标是__________．