高考数学百天仿真冲刺试卷六理

数 学( 理) 试卷（六）
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共
8 小题，每题 5 分，共 40 分. 在每题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项 .
1. 已知会合 A { x Z x 5} ， B { x x 2
0}，则 AI B 等于
（ A ） (2,5) （ B ） [2, 5) （ C ） {2, 3, 4} （ D ） {3,4, 5} 2．以下给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是
（ A ） y 2 x 2 （ ） （ ） 3
（ ）
y x
x y 2x y x
B C D
3. 设 a log 2 3 ， b log 4 3 ， c 0.5 ，则
（ A ） c b a （ B ） b c a （ C ） b a
c （D ） c a b 等于
．设向量 a
(1,sin ) ， b (3sin
,1) ，且
a //
b ，则
cos2 4
（ A ）
（ B ） （ C ） 3（ D ）
3
3 3
5. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为
31，则①处应填的数字为
（ A ）4（B ）5
（ C ）6（D ）7 6. 已知函数① y sin x cos x ，② y 2 2 sin x cos x ，则以下结论正
确的是
（ A ）两个函数的图象均对于点 ( ,0) 成中心对称
4
开始
S 1, i 1
i
①
是
否
（ B ）两个函数的图象均对于直线
x
成中心对称
S
S i
4
2
（ C ）两个函数在区间
(
, ) 上都是单一递加函数 i
i 1
4 4
（ D ）两个函数的最小正周期同样
7．已知曲线 C : y
1
( x 0) 及两点 A 1 ( x 1,0) 和 A 2 ( x 2,0) ，此中 x 2
x 1 0. 过 A 1， A 2 分别
x
作 x 轴的垂线，交曲线 C 于 B 1 ， B 2 两点，直线 B 1 B 2 与 x 轴交于点 A 3 (x 3,0) ，那么
（ A ） x 1,
x 3
, x 2 成等差数列 （ B ） x 1,
x 3
, x 2 成等比数列
2
2
（ C ） x 1, x 3 , x 2 成等差数列
（D ） x 1, x 3 , x 2 成等比数列
8．如图，四周体 OABC 的三条棱 OA,OB,OC 两两垂直， OA OB
2 ,OC
3 ， D 为四
面体 OABC 外一点 . 给出以下命题 .
①不存在点 D , 使四周体 ABCD 有三个面是直角三角形 C
②不存在点 D , 使四周体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D , 使 CD 与 AB 垂直而且相等
④存在无数个点 D , 使点 O 在四周体 ABCD 的外接球面上 此中真命题的序号是
（ A ）①② （ B ）②③ O
（ C ）③
（ D ）③④
第Ⅱ卷（非选择题
共 110 分）
A
二、填空题：本大题共 6 小题，每题
5 分，共 30 分.
9. 在复平面内，复数
2i 对应的点到原点的距离为 _____.
C
1 i
输出 S
结束
D
B
B
P
10. 如图， 从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ，已知 PA 2 2 ， PC
4 ，圆心
O 到 BC 的距离为 3 ，则圆 O 的半径为 _____.
11. x cos ,
1 ) ，则 m ______，离心率
已知椭圆 C :
( R) 经过点 ( m,
y 2sin
2
e ______.
12. 一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积为
_____.
3
13. 某展室有 9 个展台，现有 3 件展品需要展出，要求每件展品单独占用
1 个展
台，而且 3 件展品所采用的展台既不在两头又不相邻，则不一样的展出方法有 4
正(主)视图
______ 种；假如进一步要求 3 件展品所采用的展台之间间隔不超出两个展位，
则不一样的展出方法
有 ____种 .
14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数，对于
n 1, 2,3,
，有
3
3a n 5, a n
为奇数
，
4
a
n 1
a n ,
当 a 1 11 时 ，
俯视图
a n
为偶数
.
此中
k
为使
a n 1
为奇数的正整数
2k
a
100
______；
若存在 m
N * ，当 n m 且 a n 为奇数时， a n 恒为常数 p ，则 p 的值为 ______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分
13 分）
设 ABC 中的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为
4 , b
2 .
a ，
b ，
c ，且 cos B
5
时，求角 A 的度数；（Ⅱ）求 ABC 面积的最大值 .
5
（Ⅰ）当 a
3
16．（本小题满分 13 分）
甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
1 , 1 , p . 且他们能否破译出密码互不影响
. 若三人中只有甲破译出密码的概率为
1 .
2 3
4
（Ⅰ）求甲乙二人中起码有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求 p 的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为
X ，求 X 的散布列和数学希望 EX .
17. （本小题满分 13 分）
如图 , ABCD 是边长为 3 的正方形，
DE 平面 ABCD ， AF // DE ，
E
DE 3AF ， BE 与平面 ABCD 所成角为 600.
( Ⅰ) 求证： AC 平面 BDE ； ( Ⅱ) 求二面角 F BE D 的余弦值；
（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点， 试确立点 M 的地点，使得 AM //
平面 BEF ，并证明你的结论 .
F D
18. （本小题满分 14 分）
已知函数 f (x)
a(x 1)
0 .
A
x 2
，此中 a
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单一区间；
（Ⅱ）若直线 x y 1 0是曲线 y
f ( x) 的切线，务实数 a 的值；
（Ⅲ）设 g (x)
xln x x 2 f ( x) ，求 g (x) 在区间 [1,e ] 上的最大值 .
（此中 e 为自然对数的底数）
19. （本小题满分 14 分）
3
3
侧(左 )视图
C
B
高考数学百天仿真冲刺试卷六理
于 A, B 两点，此中点 A 在第一象限 .
（Ⅰ）求 ：以 段 FA 直径的 与 y 相切；
uuur uuur uuur uuur
1 （Ⅱ）若 FA
1AP
,
BF
2FA ,
2
20. （本小 分
13 分）
1 1
2 的取 范 . [ , ]，求 4 2
定
( a 1 , a 2 , , a n ) | a 1 a 2 | | a 2 a 3 | L
| a n 1 a n | 有限 数列 { a n } 的波
度 .
（Ⅰ）当 a n （Ⅱ）若数列
（Ⅲ） { a n }
( 1)n ，求 (a 1, a 2 ,L , a 100 ) ；
a,b, c,d 足 (a b)(b c)
0 ，求 ： ( a, b, c,d ) (a, c, b, d ) ；
各 均不相等，且交 数列
{ a n } 中任何相 两 的地点，都会使数列的波
度增添，求 ：数列
{ a n } 必定是 增数列或 减数列 .
2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 ( 理 ) 卷（六）参照答案
一、 ：本大 共
8 小 ，每小
5 分，共 40 分 .
号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
C
B
A
D
B
C
A
D
二、填空 ：本大 共
6 小 ，每小
5 分，共 30 分 .
9.2 10. 2 15 3 11.
，
4
2
12. 1213. 60 ， 48 14. 62 ；1 或 5 注： 11 ， 13 ， 14 第一 2 分，第二
3 分.
三、解答 ：本大 共 6 小 ，共 80 分 . 若考生的解法与本解答不一样，正确者可参照 分 准 分 . 15. （本小 分 13 分）
解：（Ⅰ）因
4 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
cos B
，因此 sin B.
5
5
因 a
5
，由正弦定理 a
b
可得 sin A
1 ， b 2
sin A
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
3
sin B
2
因 a b ，因此 A 是 角，
因此 A 30o .
1
ac sin B
3
ac ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（Ⅱ）因
ABC 的面 S
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
2
10
因此当 ac 最大 ， ABC 的面 最大 .
因 b
2
a
2
c
2
2ac cos B ，因此 4
a
2
c
2
8
ac .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
8
5
因 a 2
c 2 2ac ，因此 2ac
ac 4 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
5
因此 ac
10 ，（当 a c 10 等号成立）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
因此 ABC 面 的最大 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13 分
16. （本小 分 13 分）
解： “甲、乙、丙三人各自破 出密 ”分 事件
A 1 , A 2 , A 3 ，依 意有
1 1
, A 2, A 3 互相独立 .
P( A 1)
, P( A 2 ), P( A 3 ) p, 且 A 1 2
3
（Ⅰ）甲、乙二人中起码有一人破 出密 的概率
高考数学百天仿真冲刺试卷六理
1 P(A 1
A 2 )
1
1 2 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
2
3
.
3
B ， 有
（Ⅱ） “三人中只有甲破 出密 ” 事件
P( B)
P( A 1 A 2 A 3) ＝ 1 2 (1
p) 1 p ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
因此 1 p 1 1 2 3
3 ， p .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
3 4 4
（Ⅲ） X 的全部可能取 0,1,2,3 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
因此 P(X
0)
1
，
4
P(X 1) P (A 1 A 2 A 3) P (A 1 A 2 A 3)
P (A 1 A 2 A 3)
1 1 1 3 1
2 1 11
4 2 3
4
2 3 4
，
24
P( X 2) P (A 1 A 2 A 3) P (A 1 A 2 A 3) P (A 1 A 2 A 3)
1 1 3 1
2 1 1 1 1 1
2
3 4
2
3
4 2 3 4 ，
4
P( X
3)
=P (A 1 A 2
1 1 1 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
A 3) ＝
3 4
.
2 24
X 散布列 ：
X
1 2
3
P 1 11 1 1
4
24
4
24
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 因此， E(X ) 0
1 1 11 2
1
3
1 13 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
4 24
4
24 12
17. （本小 分 13 分） z ( Ⅰ) 明： 因 DE 平面 ABCD ，
E
因此 DE AC .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
因 ABCD 是正方形， 因此 AC BD ，
进而 AC 平面 BDE .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
( Ⅱ ) 解：因 DA, DC , DE 两两垂直，
因此成立空 直角坐 系
D
xyz 如 所示 .
因 BE 与平面 ABCD 所成角 60 0
，即 DBE
60o ，⋯⋯ 5 分
F
D
因此
ED
3 .
DB
A M
由 AD
3可知 DE
3 6，AF 6 .
⋯⋯⋯6分 B
A(3,0,0) ， F (3,0, 6) ， E(0,0,3 6) ， B(3,3,0) ， C (0,3,0) ，
x
uuur (0, 3, uuur (3,0, 2 6)， ⋯⋯⋯7分
因此 BF 6)，EF
uuur 0 3y 6z 0 平面 BEF 的法向量 n (x, y, z) ， n BF
uuur 0 ，即
，
n EF 3x 2 6z 0 令 z
6 ， n (4, 2, 6) .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
C
y
因 AC
uuur
uuur (3, 3,0) ， 平面 BDE ，因此 CA 平面 BDE 的法向量， CA
uuur
uuur
6 13
n CA
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
因此 cos n, CA
uuur
3 2
26
.
n CA
13
因 二面角 角，因此二面角
F
BE D 的余弦
13
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
( Ⅲ ) 解：点 M 是 段 BD 上一个 点，
M (t, t,0) .
13
uuuur
(t 3,t,0) ，
AM
因 AM // 平面 BEF ，
uuuur
n
0 ，
因此 AM
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 即 4(t 3) 2t
0，解得 t
2 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 此 ，点 M 坐 (2,2,0)
， BM
1
BD ，切合 意 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
3
18. （本小 分 14 分）
解：（Ⅰ） f ( x) a(2 x) ，（ x 0 ），
⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
x 3
在区 ( ,0) 和 (2, ) 上， f (x) 0 ；在区 (0, 2) 上， f ( x)
0.
因此， f (x) 的 减区 是
(
,0) 和 (2, ) ， 增区 是
(0,2).⋯⋯⋯4分
y 0
a(x 0 1)
x 0 2
（Ⅱ） 切点坐
( x 0 , y 0 ) ，
x 0 y 0 1 0 ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（ 1 个方程 1 分）
a(2 x 0 )
1
x 0
3
解得 x 0
1 ， a 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
（Ⅲ） g( x)
x ln x a(x 1)，
g ( x)
ln x 1 a ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
解 g ( x)
0 ，得 x
e a 1 ，
因此，在区 (0, e a 1 ) 上， g (x) 减函数，
在区 ( e a 1 ,
) 上， g( x) 增函数 .
⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
当
a
1
，即
0 a
，在区
上，
增函数，
e
1 [1, e]
g( x)
1
因此 g( x) 最大 g (e)
e a ae .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
当 e a
1
e ，即 a 2 ，在区 [1, e] 上， g(x) 减函数，
因此 g( x) 最大 g (1)
0 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
当 1 < e a 1 < e ，即
1 a
2 ， g( x) 的最大
g(e) 和 g(1) 中 大者；
g(e)
g(1) a
e ae 0 ，解得 a
e ，
e 1
因此， 1
a e
， g( x) e 1
e
2 ， g( x)
e a
1
最大 g(e)
e a ae ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
最大 g(1)
0 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14 分
上所述，当 0
a
e
， g( x) 最大 g(e) e a ae ，当 a
e
， g( x)
e 1 e 1
的最大 g(1)
0 .
19. （本小 分 14 分） 解：（Ⅰ）由已知
F ( p
,0) , A(x 1, y 1 ) ， y 12
2 px 1 ，
2
心坐 (
2x 1
p , y 1
) ， 心到 y 的距离
2x 1
p
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
4 2
4
FA 1 x 1 ( p )
2x 1
p
， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
的半径
2
2
2
4
因此，以 段
（Ⅱ）解法一：
( x 1
p , y 1)
2
p
因此 x 1
2 FA 直径的 与 y 相切 .
uuur uuur
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
uuur
uuur
P(0, y 0 ), B(x 2 , y 2 ) ，由 FA 1AP , BF 2FA ,得
1 ( x 1, y 0 y 1) ， (
p
y 2 ) 2 ( x 1 p 6 分
x 2 , , y 1 ) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2
2
1
x 1
, y
1 1
( y
y 1 ) ，
p x 2
( x 1
p ), y 2 2 y 1 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
2
2 2
由 y 2
2 y 1 ，得 y 22
22 y 12
.
又 y 12
2 px 1 ， y 22 2 px 2 ，
因此 x 2 2
2
x 1 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
代入
p
x 2
2 ( x 1
p
) ，得
p
2
2
x 1
2
( x 1
p
) ， p
(1
2 ) x 1 2 (1 2 ) ，
2
p
2
2
2
2
整理得 x 1 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
2
2
代入 x 1
p 1 x 1 ，得 p p
1
p
2
2
2 2
，
2 2
因此
1
1 1 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
2
2
因
1 [1,1
]，因此 2的取 范 是 [
4
,2] .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
2
4 2
3
解法二： A(x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ， AB : x
my p
，
p
代入 y 2
2
将 x
my
2 px ，得 y 2
2 pmy p 2
0 ，
2 p 2
因此 y 1 y 2
uuur （* ），
uuur
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
uuur
uuur
由 FA
1 AP ， BF
2FA ，得
( x
p
, y )
1( x , y
y ) ， ( p x , y )
2
( x
p
, y ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
1
2
1
1
1
2 2
2
1
2 1
p
因此， x 1
1
x 1
, y
1
1
( y
y 1 ) ，
2
p
p
),
x 2 2
(x
1
y 2
2
y 1
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
2
2
将
y 2
2
p 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
2 y
1 代入（ * ）式，得
y 1
，
2
p 2
p
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
因此 2px 1
， x 1
2 .
2
2
代入
x 1 p
1 x 1 ，得
1
1
1 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
2
2
2
因
1
[1,1
]，因此 2 的取 范 是 [ 4 ,2]
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
2
4 2
3
20．（本小 分 13 分）
（Ⅰ）解：
(a 1 , a 2 ,L , a 100 ) | a 1 a 2 | | a 2 a 3 | L
| a 99
a 100 |⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
2 2 L 2 2 99 198 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
（Ⅱ） 明：因
(a, b, c, d) | a b | | b c | |c d | ，
(a, c,b, d) | a c | | c b | |b d | ，
因此 (a,b, c, d) (a, c,b, d) | a b | | c d | | a c | |b
d | .
⋯⋯4分
因 (a b)(b c)
0 ，因此 a
b
c ，或 a
b c .
若 a b
c ，
(a,b, c, d)
(a,c,b, d) a b
|c d | a c | b d | c b | c d | | b d | 当 b c
d ，上式
c b c
d (b d ) 2(c b)
0 ， 当 b d c ，上式 c b d c (b d ) 2(d b) 0 ，
当 d b
c ，上式 c b
d c (d b) 0 ，
即当 a
b c ， ( a, b, c, d ) ( a, c, b, d ) 0 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
若 a b
c ，
(a, b, c, d )
(a, c, b, d) b a
| c d | c a | b d | ，
b c | c d | | b d | 0 . （同前）
因此，当 (a b)(b c)
0 ， (a,b, c, d) (a,c,b, d ) 成立 .
⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
（Ⅲ） 明：由（Ⅱ）易知 于四个数的数列，若第三 的 介于前两 的 之 ，
交 第二 与第三 的地点将使数列波 度减小或不
. （将此作 引理）
下边来 明当 a 1 a 2 ， { a n } 减数列 . （ⅰ） 明 a 2
a 3 .
若 a 1 a 3 a 2 ， 由引理知交
a 2 , a 3 的地点将使波 度减小或不 ，与已知矛盾.
若 a ３ a １ a 2 ，
(a 1, a 2 , a ３)
| a 1 a 2 | | a 2 a ３ | | a 1 a 2 | | a 1 a ３ |
(a 2 , a 1, a ３) ，与已知矛盾 .
因此， a 1 a 2 a 3 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
（ⅱ） a 1 a 2
L
a i (3 i
n 2) ， 明 a i
a i 1 .
若 a i
1
a i 1
a i ， 由引理知交 a i , a i 1 的地点将使波 度减小或不 ，与已知矛
盾 .
若 a i
1 a i 1
a i ，
( a i 2 ,a i 1 , a i , a i 1)
(a i 2 , a i , a i 1 ,a i 1) ，与已知矛盾 .
因此， a i a i 1 .
⋯⋯⋯⋯ 11 分
（ⅲ） a 1 a 2 L
a n 1 ， 明 a n 1 a n .
若 a n
a n 1 ，考 数列
a n , a n 1,L , a 2 , a 1 ，
由前方推理可得a n a n 1
a
n
L a 2 ，与 a 1a 2L a n 1 矛盾 .
因此， a n 1a n.⋯⋯⋯⋯⋯12分上，得 .
同理可：当a1a2，有 { a n} 增数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。