心理学统计 第四章 离散量

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第四章 离散量
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二、百分位数与百分等级
（一）百分位数 把一个次数分布排序之后，分为100个单 位，则某个特定百分点对应的原始分数即 为百分位数，它表明在次数分布中有该特 定百分数的数据低于该分数。 通常用P加下标p（代表某个特定百分点） 表示。
如：P75=78代表有75%的数据小于78。
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2.标准分数的计算
Xi X Z S
其中：Xi代表原始分数 X 为一组数据的平均数 S为标准差。
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例子
计算B组各数据的Z分数及其和
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3.Z分数的性质
在一组数据中，所有由原分数转换得出的 Z分数之和为0，其Z分数的平均数也为0。 一组数据中各Z分数的标准差为1。
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二、百分位数与百分等级
（一）百分位数 计算公式
p N Fb Pp Lb 100 i f p (1 ) N Fa 100 Pp U a i f
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二、百分位数与百分等级
（一）百分位数
2
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第四别 组中值（Xc） 次数（f） 相对次数 上限以下累积次 数 累积百分数
42.5-47.5
47.5-52.5
45
50
1
3
0.033
0.100
1
4
3.3
13.3
52.5-57.5
57.5-62.5 62.5-67.5 67.5-72.5
55
60 65 70
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二、百分位分数与百分等级
（二）百分等级分数 计算公式 Fb [ ( x Lb ) f ]
PR i N 其 中: Lb 某 特 定 原 始 分 数 所 在 的 组下限 f 某特定原始分数所在的 组次数 x 某特定原始分数 Fb 小 于Lb的 累 积 次 数
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二、方差与标准差
1.基本定义 方差（Variance）：也叫变异数、均方，是每个 观测值与该组数据的平均数之差平方后和的均值， 即离均差平方和的平均数。 样本方差和总体方差的计算方法和含义是一致的， 但符号不同，前者用S2表示 ，后者用σ 2表示。 标准差（Standard deviation）：即方差的平方 根，样本方差常用符号S或SD表示，总体方差则 用σ 表示。
平 均 差
全 距
百 分 位 差
差 异 系 数
相对差
异量
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第一节 全距与百分位差
一、全距 全距：即一组数据中最大值与最小值的差。 常用大写字母R表示。（Range=Max-Min）
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第一节 全距与百分位差
一、全距 全距：即一组数据中最大值与最小值的差。 常用大写字母R表示。（Range=Max-Min） 用全距表示一组数据的离散程度是非常粗 略和不准确的。
第四章 离散量
主讲：任杰
离散量
离散量：反映一组数据离散趋势或离散程 度的统计量，用来表示一组数据的分散情 况。 次数分布的两个基本特征:中心位置与离散 性
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图例
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离散量的种类
离散量
绝对
差异量
方 差 与 标 准 差
标准分数
平均数 标准差 人数
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学院A 74 25 100
学院B 70 10 120
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学院C 65 30 80
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方差的可加性证明


2 T
n S n X
i 2 i i
i
Xt

2
n1 n2 nn
2 i i
n1 n2 nn
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三、百分位差与四分位差
一些常用的百分位数 Q1=P25 ，即第25%点对应的原始分数，是 第一个四分位数 Q2，第二个四分位数 Q3，第三个四分位数 例：
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三、百分位差与四分位差
百分位差(例：) 用P10和P90之间的距离作为差异量数，即 百分位差。 作用：
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4.Z分数的应用
Z 分数可用于比较一组数据中的观测值在 该组数据中的相对位置，并可根据 Z 分数 的大小判断该数据距离中心位置的远近。
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4.Z分数的应用
Z 分数可用于比较性质不同的观测值在 各自数据分布中相对位置的高低。
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2.方差与标准差的计算公式
S
2
X
i
X

2
S
X
n
i
X

2
n
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练习
试推导用原始数据计算方差和标准差的公式。
S
2
X n
2 i
Xi n
2
S
X
n
2 i
Xi n
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一些测验的常模
Z分数
T分数 GRE,SAT WechlerIQ SbIQ
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0,
12
50, 102 500,1002 100, 152 100, 162
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练习并证明
例一：某校大二学生分属三个学院，全部参加了 某次英语四级考试，其成绩见下表，试计算该校 大二学生CET-4平均成绩和总的标准差。并找出 计算总标准差的通用公式。
一、平均差： 每一个观测值与平均数的距离的和的平均。 用A.D.（average deviation）表示。
X A. D.
xi：= X i X
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i
X
n
x n
i
叫做离均差
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平均差的应用
平均差是用来表示一组数据离散程度的较 好的差异量数，反应灵敏，确定严密。 缺点是在计算时要取绝对值，不利于代数 方法的运算；也不利于进一步的统计分析。
例：我市 3 岁幼儿的平均身高为 90 公分，标准差 为20公分；平均体重为10公斤，标准差为5公 斤。现有一 3 岁幼童身高 100 公分，体重 15 公 斤。问该儿童是身高偏高？还是体重更偏重？
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4.Z分数的应用
当已知同一样本或对象各不同质的观测值 的次数分布为正态时，可用Z分数求不同 的观测值的总和或平均值。
100
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二、百分位数与百分等级
例： 在上表中,假设某位学生考了76分，请问全 班有多少人排在他的前面？
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二、百分位数与百分等级
百分位数与百分等级的关系： 二者都是用来表示个体在团体中的相对地 位； 计算过程相反，一个是由百分数计算原始 分数，另一个是由原始分数计算百分数。
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利用标准差进行比较是有严格条件的：即 进行比较的数据组是对同一特质用同一种 测量工具进行测量而获得的，并且样本的 总体之间差异不大，即样本平均数差异不 大。 这是一个绝对差异量。
受抽样变动的影响小； 具有可加性，因此可以分解并确定出属于不同 来源的变异性，并可进一步说明每种变异对总 结果的影响，是以后统计推论部分常用的统计 特征数。
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三、标准分数及其应用
1. 标准分数（Standard Score）:又称基分 数或Z分数，是以标准差为单位表示一个 分数在团体中所处位置的相对位置量数。
n S
i
n X
i
Xt

2
n1 n2 nn
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方差的可加性证明
在上式中，总的方差（变异）被分成两部 分，前一部分可看作是组内方差或由组内 原因引起的变异（如被试内的差异） ；后 一部分可看作是组间的方差或由不同的组 引起的变异（如实验中不同的变量） 。
（一）百分位数 例： 在上表中,假设老师要对全班的前15%的学 生进行奖励,请问至少要多少分才能获得奖 励.
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二、百分位数与百分等级
（二）百分等级分数 某个已知原始分数在其所处分布中的相对 位置叫百分等级分数。 通常用PR表示。
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例：甲、乙、丙三生的某四门功课的成绩如下表， 试问三生的总体学习成绩孰优孰劣？
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甲 乙 丙 全班平 均成绩 标准差
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课程A 81 94 72 73 13
课程B 80 64 60 75 13
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课程C 72 90 67 67 14
课程D 78 91 74 82 11
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4. Z分数的应用
Z分数可用来表示标准测验的分数。
经过标准化的心理与教育测验，如果其常模分数分 布接近正态分布，常常转换成正态标准分数，能 更清楚地表明某一分数在相应团体中的位置。
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其转换公式为：Z′=aZ+b 其中：Z′为正态标准分数 a 、b为常数，通常为该测验总的标准差和总 平均数,有时也用经验分数。 X X Z S X为原分数 X 为某团体（或年龄组）的平均分数 S为该团体或年龄组的标准差
3
3 4 4
0.100
0.100 0.133 0.133
7
10 14 18
23.3
33.3 46.6 59.9
72.5-77.5
77.5-82.5 82.5-87.5 总和（Σ）
75
80 85
8
3 1 N=30
0.267
0.100 0.034 1.00
26
29 30
86.6
96.6 100.0
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其中 : Pp 第p个 百 分 位 数 Lb Pp 所 在 组 的 精 确 下 限 U a Pp 所 在 组 的 精 确 上 限 f Pp 所 在 组 的 次 数 Fb 小于Lb的累 积 次 数 Fa 大于U a的累 积 次 数
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二、百分位数与百分等级
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第四章 离散量
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4.方差与标准差的意义
方差与标准差是表示一组数据离散程度的 最好指标，具有以下优点：
反应灵敏，每个数据取值的变化，方差与标准 差都会随之变化； 有一定的计算公式严密确定； 容易计算并适合代数运算;
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4.方差与标准差的意义
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3.标准差的性质
一组数据的每一个观测值都加上一个常数 C，其标准差不变。 一组数据的每一个观测值都乘以一个常数 C，其标准差为原标准差乘以常数C。
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证明并思考
试证明上述标准差的性质并思考在每种情 况下数据分布形态的变化。
比全距更精确、更稳定，不易受两极端数据的影 响。
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三、百分位差与四分位差
四分位差(例：) 百分位差的一种，通常用符号Q表示，指在 一个次数分布中，中间50%的次数的距离 的一半。 Q=（ Q3 -Q1）/2
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第二节 平均差、方差与标准差
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第四章 离散量
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方差的可加性证明
因此，标准差是反映一组数据离散程度的 高效差异量。对于两组同质的数据来说， 要比较它们之间的离散程度，就要用标准 差的大小来衡量，标准差大，说明该组数 据较分散，标准差小，说明该组数据较集 中。
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第四章 离散量
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例二：试分析例一中三个学院 CET-4 成绩分 布的分散程度。 例三：已知某小学一年级学生的平均体重为 25公斤，体重的标准差为3.7公斤，平均身 高为 110 厘米，身高标准差为 6.2 厘米，问 身高与体重的离散程度哪一个大？
第四章 离散量
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计算并思考
计算下列四组数据的平均数，并找出每组数据的最 大值和最小值： A．7、7、8、8、8、9、9 B．4、5、7、8、9、11、12 C．1、4、7、8、9、12、15 D． 1、8、8、8、8、8、15 思考：这四组数据有什么不同？ 仅仅用平均数能不能反映这组数据的所有特性？ 为什么？