三角函数题型总结-教师版[2]

三角函数题型总结-教师版(word版可编辑修改)
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高三数学三角函数题型大全
一、求值化简型
1、公式运用
〖例〗（2004淄博高考模拟题)（1)已知tan α=3，求：
αα22cos 41
sin 32+的值。

（2）已知tan α+sin α=m ， tan α-sin α=n （),2
Z k k ∈≠π
α,
求证：n
m n
m +-=αcos 。

（1)解:24112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222++-=+-++--=+αααααα 24
112cos 8
12cos 3
18
1)1cos 2(8
131)sin 21(3
1cos 4
1sin 3
22222++-=+-++--=+αααααα
24
11
2cos 812cos 3181)12cos 2(81+
+-=+-+ααα=++--=2411sin cos sin cos 2452222αααα=++--=2411sin cos sin cos 2452222
αααα2411tan 1tan 122++-αα8
5= (2）证明：两式相加,得α
ααcos sin 2tan =+=n m 两式相减，得2sin n
m -=α
所以 n
m n m n
m +-=+=ααsin 2cos
〖举一反三〗（2004.湖南理）（本小题满分12分)
1、已知1cot tan sin 2),2
,4(,4
1)24
sin()24
sin(2--+∈=-⋅+αααπ
πααπαπ求的值。

解：由)24
cos()24
sin()24
sin()24
sin(απ
απαπαπ+⋅+=-⋅+
,4
1
4cos 2
1)42
sin(2
1==+=ααπ
得 .2
14cos =α 又.12
5),2
,4(π
αππα=∈所以
于是 α
αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222
-+
-=-+-=--+ .32
5)322
3()6
5cot 26
5(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα
2、（2013年西城二模)如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重
合,终边交单位圆于点A ,且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π
,交单位圆于点B ．记
),(),,(2211y x B y x A ．
（Ⅰ）若3
1
1=x ，求2x ；
(Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =,求角α
（Ⅰ)解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3
x π
=+α2分
因为 ,)62ππ∈(α，1
cos 3
=α，
所以 sin ==
α． (3)
所以 211cos()cos 3226
x π-=+==αα-α．5分
（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α,2sin()3
y π
=+α．
所以 111111
cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα, ………………7分
2221112||[cos()]sin()sin(2)223343
S x y πππ
==-+⋅+=-+ααα． ……………9分
依题意得 2sin 22sin(2)3
π
=-+αα，
整理得 cos20=α． (11)
分
因为
62ππ<<α， 所以 23
π
<<πα， 所以 22π=α, 即 4
π
=α． (13)
分
2、三角形中求值
〖例〗（2013年高考北京卷(理)）在△ABC 中，a =3，b ,∠B =2∠A . （I)求cosA 的值； （II)求c 的值.
【答案】解:（I)因为a =3，b ，∠B =2∠A . 所以在△ABC 中，由正弦定理得
3sin sin 2A A
=.
所以
2sin cos sin A A A =cos A =.
(II)由(I)知cos A =
,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A ，所以
21
cos 2cos 13
B A =-=。

所以sin 3B ==。

在△ABC 中,53
sin sin()sin cos cos sin 9
C A B A B A B =+=+=
. 所以sin 5sin a C
c A
=
=。

【举一反三】
(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角
,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.
(I ）求B
(II)若31
sin sin 4
A C -=,求C 。

【答案】
③三角不等式
（2013年高考湖南卷(理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632
x
f x x x
g x ππ=-+-=。

(I ）若α是第一象限角,且33
()f α=
.求()g α的值; (II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合. 【答案】解: (I)5
3
3sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(=
=⇒=++-=
ααf x x x x x x f . 5
1
cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且
（II ）2
1)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒
-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒+
+
∈+
⇒],3
22,2[]652,6
2[6
π
πππππ
ππ
二、图像和性质型 1、求范围
①sin()y A x B ωϕ=++型
〖例〗（2008北京卷15）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭(0ω>）的最小正周期
为π．
（Ⅰ）求ω的值;
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=
+11
2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>， 所以
2π
π2ω
=,解得1ω=． (Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为2π
03
x ≤≤
, 所以ππ7π
2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭≤≤，
因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
②二次函数型
〖例〗（2008四川卷17)求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值. 【解】：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+
272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10,当sin 21x =时y 取得最小值6
2、求单调区间
〖例〗[2014·四川卷］ 已知函数f （x ）＝sin 错误!. （1）求f (x )的单调递增区间;
（2)若α是第二象限角，f 错误!＝错误!cos 错误!cos 2α,求cos α－sin α的值． 解：（1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为错误!，k ∈Z ， 由－π
2＋2k π≤3x ＋错误!≤错误!＋2k π,k ∈Z ,
得－错误!＋错误!≤x ≤错误!＋错误!，k ∈Z . 所以，函数f (x ）的单调递增区间为错误!，k ∈Z .
（2）由已知，得sin 错误!＝错误!cos 错误!(cos 2
α－sin 2
α）， 所以sin αcos
π4
＋cos αsin 错误!＝错误!错误!（cos 2 α－sin 2
α), 即sin α＋cos α＝错误!(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝错误!＋2k π，k ∈Z , 此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时,(cos α－sin α)2
＝错误!。

由α是第二象限角,得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－错误!。

综上所述，cos α－sin α＝－2或－错误!. 3、和图像结合
〖例〗（2008广东卷16）．（本小题满分13分）
已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1,其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．
【解析】(1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1
sin()32
πϕ+=，而0ϕπ<<，
536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π
=+=；
（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2
π
αβ∈,45sin ,sin 513αβ∴====，
3124556()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

〖举一反三〗
1(2008天津卷17）（本小题满分12分）
已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=(,0x R ω∈>)的最小值正周期是2
π
． (Ⅰ）求ω的值;
(Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． （Ⅰ）解:
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=+++⋅
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是
2π，可得2
22π
ωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=πx x f ．
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
,即()Z k k x ∈+
=
216
π
π
时，⎪⎭⎫ ⎝
⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大
值是22+，此时x 的集合为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+
=Z k k x x ,216|ππ． 2（2008安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
(Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域
解：（1）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =+
+-+
221cos 22sin cos 22x x x x =+
+-
1cos 22cos 222
x x x =+
- sin(2)6x π
=-
2T 2π
π==周期∴
由2(),()6223
k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得
∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+∈
(2）5[,],2[,]122636
x x πππππ
∈-∴-∈-
因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ
上单调递减,
所以 当3
x π
=时，()f x 取最大值 1
又
1()()12
22f f π
π-
=<=
，当12
x π
=-时，()f x 取最小值-所以 函数 ()f x
在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[,1]2- 3（2008山东卷17)已知函数f (x ）＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且
函数y ＝f （x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π
(Ⅰ)求f （8
π
)的值；
（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到
原来的4倍，纵坐标不变,得到函数y ＝g (x ）的图象,求g （x )的单调递减区间。

解：（Ⅰ）f （x ）＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x
＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21
)sin(232ϕωϕωx x
＝2sin （ϕω+x —6
π
）
因为 f （x ）为偶函数,
所以 对x ∈R ，f （-x ）=f （x ）恒成立，
因此 sin （—ϕω+x —6π）＝sin （ϕω+x —6π
）.
即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin （ϕ-6π)=sin x ωcos （ϕ-6π）+cos x ωsin （ϕ-6
π
），
整理得 sin x ωcos(ϕ-6π）=0。

因为 ω＞0，且x ∈R ，所以 cos （ϕ—6
π
）＝0.
又因为 0＜ϕ＜π,故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π
）=2cos x ω。

由题意得 .
2,2
22　＝ 所以 ωπ
ω
π
⋅
=
故 f （x )=2cos2x .
因为 .24
cos 2)8(==π
πf
（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个
6π个单位后，得到)6
(π
-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(π
π-f 的图象.
).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤
3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z ），
即 4k π＋≤
32π≤x ≤4k π+3
8π
(k ∈Z ）时，g （x )单调递减。

因此g （x ）的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++384,324ππππk k (k ∈Z)
4、（2008湖北卷16）。

已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12
f t
g x x f x x f x x ππ=
=⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>,[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ)求函数()g x 的值域. 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x
x
g x x
x
x
x
--=+++
2
2
2
2
(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x
x x x
--=+ 1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x
x x x
--=+
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤
∈π∴=-=- ⎥⎝⎦
1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x
x x --∴=+-- sin cos 2x x =+-
2.4x π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭
（Ⅱ）由1712x ππ≤
＜，得55.443
x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
上为增函数，
又5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤
∈π ⎥⎝
⎦），
即1sin()2)23424
x x ππ
-≤+-≤+--＜＜，
故g （x )
的值域为)
2,3.⎡-⎣
5、（2008陕西卷17)．(本小题满分12分)
已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-+
（Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．
解：
（Ⅰ）
2()sin 2sin )24x x f x =
-sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．
(Ⅱ)由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．又π()3g x f x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
三、解三角形型 1、求基本元素
【例】（2008全国二17）．在ABC △中，5cos 13B =-,4
cos 5C =． (Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积33
2
ABC S =△，求BC 的长． . 解：（Ⅰ)由5cos 13B =-
,得12sin 13
B =,
由4cos 5C =，得3
sin 5
C =．
所以33
sin sin()sin cos cos sin 65
A B C B C B C =+=+=． ········· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =
△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由(Ⅰ）知33
sin 65
A =，
故65AB AC ⨯=， ······················· 8分
又sin 20
sin 13
AB B AC AB C ⨯=
=，
故2206513AB =，132
AB =． 所以sin 11
sin 2
AB A BC C ⨯==．
··················· 10分 〖举一反三〗
(2008江西卷17)．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c
，
a =tan tan 4,22
A B C
++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c
解：由tan
tan 422A B C ++=得cot tan 422
C C
+= ∴cos sin
224sin cos
22
C C C C
+= ∴14sin cos 22C C = ∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566
C C ππ
==，或
由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+即sin()0B C -= ∴B C =，6
B C π
==
2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==
得1
sin 2sin 2
B b c a A ==== 2、求范围 ①均值定理型
〖例〗(2008全国一17)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且
3
cos cos 5
a B
b A
c -=．
（Ⅰ)求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．
解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3
cos cos 5
a B
b A
c -=
可得3333
sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555
A B B A C A B A B A B -==+=+
即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>
2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --=
==+++≤
3
4
当且仅当1
4tan cot ,tan ,tan 22
B B B A ===时，等号成立，
故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为3
4。

【举一反三】
[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c .
(1）若a ，b ，c 成等差数列,证明:sin A ＋sin C ＝2sin （A ＋C )； （2)若a ，b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值． 16．解：（1）∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin ［π－（A ＋C ）］＝sin(A ＋C ）, ∴sin A ＋sin C ＝2sin （A ＋C ）． (2）∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
＝ac 。

由余弦定理得cos B ＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!,当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为错误!. ②二次函数型
（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ,c ,已知cosC +
（conA —sinA )cosB =0。

(1) 求角B 的大小;若a +c =1，求b 的取值范围。

【答案】解：(1)由已知得cos()cos cos 3cos 0A B A B A B -++=
即有sin sin cos 0A B A B =
因为sin 0A ≠,所以sin 0B B -=,又cos 0B ≠，所以tan B =又0B π<<,所以3
B π
=
.
(2)由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-。

因为11,cos 2a c B +==
，有2211
3()24b a =-+。

又01a <<,于是有2114b ≤<,即有1
12
b ≤<。

③转化求范围
【例】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ,且(a 2
＋b 2
－c 2
）sin A ＝ab （sin C ＋2sin
B ),a ＝1。

（1)求角A 的大小；
（2）求△ABC 的周长的取值范围．
【正弦定理的高级运用，将边及对角正弦值转化】
解：(1）由（a 2＋b 2－c 2
）sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，结合余弦定理可得2ab cos C sin A ＝ab （sin C ＋2sin B ）,
即2cos C sin A ＝sin C ＋2sin （A ＋C ),化简得sin C （1＋2cos A )＝0. 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－错误!。

又A ∈（0，π），所以A ＝错误!.
（2)因为A ＝错误!，a ＝1，所以由正弦定理可得 b ＝错误!＝错误!sin B ,c ＝错误!sin C ,
所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋错误!sin B ＋错误!sin C ＝1＋错误!错误!＝1＋错误!错误!＝1＋错误!sin 错误!。

因为B ∈错误!,所以B ＋错误!∈错误!, 则sin 错误!∈错误!，
故l ＝a ＋b ＋c ＝1＋错误!sin 错误!∈错误!.
【例】在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且错误!a cos C ＝（2b －错误!c )cos A ．
（1)求角A 的大小；
(2)求cos 错误!－2sin 2
错误!的取值范围．
【纯粹三角形内角之间的转化，比上题简单一步】
解：(1）由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －错误!sin C cos A ， 从而可得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即错误!sin B ＝2sin B cos A ，
又B 是三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝错误!.又A 为三角形的内角,因此A ＝π6。

（2)cos 错误!－2sin 2
错误!＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos 错误!－1＝sin B ＋cos 错误!cos B ＋sin 错误!sin B －1＝错误!sin B －错误!cos B －1＝sin 错误!－1,
由A ＝错误!可知，B ∈错误!，所以B －错误!∈错误!，从而sin 错误!∈错误!, 因此错误!sin 错误!－1∈错误!，
故cos 错误!－2sin 2
错误!的取值范围为错误!.
【例】【还是转化问题，在单位圆上坐标与三角函数的转化—如何选变量的问题】已知A （x A ，y A )是单位圆（圆心O 在坐标原点）上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°得到OB ，交单位圆于点B (x B ,y B ），则x A －y B 的最大值为( ）
A 。

错误!
B 。

错误!
C ．1 D. 错误!
[小结］ 在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点、角的始边在x 轴正半轴上时,角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，则只需将角的终边上点的纵(横)坐标除以该点到坐标原点的距离，即得该角的正（余）弦值．
【解】设从x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 所形成的角为α,根据三角函数定义得x A ＝cos α,y B ＝sin （α＋30°），所以x A －y B ＝cos α－sin （α＋30°）＝－错误!sin α＋错误!cos α＝sin （α＋150°)，故其最大值为1。

③求面积
【例】（2008辽宁卷17）在ABC △中,内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，
3
C π
=
． （Ⅰ)若ABC △
a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,224a b ab +-=，
又因为ABC △
，所以1
sin 2
ab C =4ab =． ···· 4分
联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩
，
，解得2a =，2b =． ··········· 6分
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=,
即sin cos 2sin cos B A A A =， ··················· 8分 当cos 0A =时，2A π=
，6
B π
=
，a =
b =，
当cos 0A ≠时,得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， 联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得a =
b =．
所以ABC △
的面积1sin 2S ab C ==． ············· 12分
【例】如图K22.1所示，在△ABC 中，sin 错误!＝错误!，AB ＝2,点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，
BD ＝错误!.
（1)求BC 的长；
(2)求△DBC 的面积．
图K22。

1
【图形的转化】
解：(1)因为sin 错误!＝错误!，所以cos ∠ABC ＝1－2×错误!＝错误!。

在△ABC 中,设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b 2＝a 2
＋4－错误!a 。

① 在△ABD 和△DBC 中,由余弦定理可得cos ∠ADB ＝错误!，cos ∠BDC ＝错误!. 因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，
所以有错误!＝－错误!，所以3b 2－a 2
＝－6.② 由①②可得a ＝3,b ＝1，即BC ＝3。

（2）由（1）得，sin ∠ABC ＝错误!,所以△ABC 的面积为错误!×2×3×错误!＝2错误!，所以△DBC 的面积为错误!.
四、与向量结合型
〖例〗（2008福建卷17)（本小题满分12分）
已知向量m =(sinA ，cosA ）,n =(3,1)-,m ·n ＝1，且A 为锐角。

（Ⅰ）求角A 的大小;（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域。

解：（Ⅰ)由题意得3sin cos 1,m n A A =-=
12sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得,.663
A A πππ
-==
（Ⅱ）由（Ⅰ)知1
cos ,2
A =
所以2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-,因此,当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2。

当sin x =—1时,f (x )有最小值-3，所以所求函数f （x ）的值域是33,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦。

【举一反三】
1、（2013年高考陕西卷（理)）已知向量1
(cos ,),(3sin ,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b 。

（Ⅰ） 求f (x ）的最小正周期.
（Ⅱ） 求f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π
-=-=
-⋅x x x x x x 。

最小正周期ππ
==
2
2T . 所以),62sin()(π
-=x x f 最小正周期为π。

（Ⅱ) 上的图像知，
在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π
πππππx y x x =∈-∈。

]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f 。

所以，f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为21,1-。

2、（2004天津联考题）平面直角坐标系有点)cos ,1(x P ，)1,(cos x Q ，∈x [4,
4π
π-
]
（Ⅰ）求向量OP 和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数);(x f (Ⅱ）求θ的最值.
（理）解:（Ⅰ)x OQ OP cos 2=⋅ x OQ OP 2cos 1+=⋅ )(cos 1cos 2cos 2
x f x
x
OQ
OP =+=
⋅=
∴θ （Ⅱ)x
x x
x
x f cos 1
cos 2cos 1cos 2)(cos 2+
=
+=
=θ
且⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈4,4ππx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴1,22cos x 223cos 1cos 2≤+≤x x 1)(322≤≤x f 即1cos 322≤≤θ 3
2
2cos max ar =θ；0min =θ 3、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本
小题满分14分。

已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，
,παβ<<<0. (1)若||2a b -=，求证:a b ⊥；(2)设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。

【答案】解:(1）∵2||=- ∴2||2=- 即()
222
22=+-=-,
又∵1sin cos ||2
222
=+==αα,1sin cos ||2222
=+==ββ∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a （2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=β
αβ
αsin 1sin cos cos
两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =
β ∴2
1
sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα6
1
,65==
4、在ABC ∆中，120BAC ∠=，2AB AC ==.
(Ⅰ）求AB BC ⋅的值;
（Ⅱ）设动点P 在以A 为圆心,AB 为半径的劣弧BC 上运动,求
BP CP ⋅的最小值。

解：（Ⅰ)由已知22cos1202AB AC ⋅=⨯⨯=-。

…………………2分
()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- …………………4分
2
AB AC AB =⋅-
246=--=- (Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系,则A (2,0)B ，因为120BAC ∠=，
2AC =角函数定义，(C -， 点P 在以A 为圆心,AB 为半径的劣)α，其中
[0,
]3
α2π
∈。

8分 (2cos 2,2sin )(2cos 1,2sin BP CP αααα⋅=-
⋅+
224cos 2cos 24sin αααα
=--+-
2cos 2αα=--+
4sin()26
απ
=-++。

…………………10分
因为[0,]3α2π∈，所以[,]666αππ5π+∈，1
sin()[,1]62απ+∈,
当3
απ
=时,BP CP ⋅取得最小值2-，
所以BP CP ⋅的最小值为2-。

…………………12分
五、综合运用
A
B
C
【例】[2014·辽宁卷] 已知函数f（x）＝(cos x－x)（π＋2x）－8
3
(sin x＋1)，g（x）
＝3（x－π）cos x－4（1＋sin x)ln错误!.证明:
（1)存在唯一x0∈错误!，使f(x0）＝0；
（2)存在唯一x1∈错误!，使g(x1)＝0，且对（1）中的x0，有x0＋x1<π。

证明：(1)当x∈错误!时，f′（x）＝－(1＋sin x)·（π＋2x）－2x－错误!cos x<0，函数f（x）在错误!上为减函数．又f（0）＝π－错误!〉0，f错误!＝－π2－错误!〈0，所以存在唯一x0∈错误!，使f（x0）＝0。

（2）记函数h（x)＝错误!－4ln错误!，x∈错误!.
令t＝π－x,则当x∈错误!时，t∈错误!.
记u(t)＝h(π－t）＝错误!－4 ln错误!，则u′(t)＝错误!.
由（1)得，当t∈（0,x0）时，u′(t)>0，
当t∈错误!时,u′（t）〈0。

故在（0，x0）上u（t）是增函数，又u(0）＝0，从而可知当t∈(0，x0］时，u(t)>0，所以u（t）在(0,x0］上无零点．
在错误!上u（t）为减函数，由u(x0）>0，u错误!＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈错误!，使
u(t
1
）＝0,
故存在唯一的t1∈错误!，使u(t1）＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈错误!,使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1）＝0.
因为当x∈错误!时，1＋sin x〉0，故g(x)＝（1＋sin x)h（x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈错误!，使g(x1）＝0。

因为x1＝π－t1,t1>x0，所以x0＋x1<π.
【例】[2014·辽宁卷］已知函数f(x）＝（cos x－x）(π＋2x）－错误!(sin x＋1)，g （x）＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln错误!。

证明：
（1)存在唯一x0∈错误!,使f(x0）＝0；
（2）存在唯一x1∈错误!，使g（x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1〈π.
证明：（1）当x∈错误!时,f′（x）＝－(1＋sin x）·(π＋2x）－2x－错误!cos x<0，函数f（x）在错误!上为减函数．又f（0)＝π－错误!〉0，f错误!＝－π2－错误!<0，所以存在唯一x0∈错误!,使f（x0)＝0.
（2）记函数h(x)＝错误!－4ln错误!，x∈错误!。

令t＝π－x，则当x∈错误!时，t∈错误!。

记u（t)＝h（π－t)＝错误!－4 ln错误!，则u′（t）＝错误!。

由(1）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）>0，
当t∈错误!时，u′（t)<0。

故在（0，x0)上u（t）是增函数，又u(0）＝0，从而可知当t∈(0,x0］时,u（t）〉0,所以
u（t)在(0,x
]上无零点．
在错误!上u(t）为减函数,由u（x0)〉0，u错误!＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈错误!，使u （t1）＝0，
故存在唯一的t1∈错误!，使u(t1）＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈错误!，使h（x1)＝h(π－t1）＝u(t1)＝0.
因为当x∈错误!时，1＋sin x〉0，故g(x）＝(1＋sin x)h（x)与h(x）有相同的零点，所以存在唯一的x1∈错误!，使g(x1)＝0。

因为x1＝π－t1，t1>x0,所以x0＋x1〈π.
【例】(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版))已知函数
()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4
π
,将函数()f x 图像
上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图像.
(1）求函数()f x 与()g x 的解析式；
（2)是否存在0(,)64
x ππ
∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在，请确
定0x 的个数；若不存在，说明理由。

[来源:学,科,网]
（3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=
又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4
π
，(0,)ϕπ∈
故()sin(2)04
4
f ππϕ=⨯+=，得2
π
ϕ=,所以()cos 2f x x =
将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变）后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()sin g x x =
（Ⅱ)当(,)64
x ππ∈时,1sin 2
x <<，1
0cos 22
x <<
所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>
问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64
ππ
内是否有解
设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64
x ππ
∈
则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-
因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64
ππ
内单调递增
又1
()06
4
G π=-<，()04G π=>
且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64
ππ
内存在唯一零点0x ,
即存在唯一的0(,)64
x ππ
∈满足题意
（Ⅲ）依题意,()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=
三角函数题型总结-教师版(word 版可编辑修改)
第21页共21页 当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况
令cos 2()sin x h x x
=-，(0,)(,2)x πππ∈ 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈的交点情况
22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32
x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表
x
(0,)2π 2π (,)2ππ 3(,)2ππ 32π 3(,2)2ππ ()h x '
+ 0 - - 0 + ()h x 1- 当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞
当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞
当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞
当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞
故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππ内有3个交点,由周期性,20133671=⨯，所以67121342n =⨯=
综上，当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。