2019届高三数学上学期期中试题理(8)

鱼台一中2018-2019高三上学期期中考试 数学（理）试题 2108.11
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合(){}
01log 2<-=x x M ，集合{}
2-≥=x x N ，则=⋂N M （ ） A.{}22<≤-x x B.{}2-≥x x C.{}2<x x D.{}
21<<x x
2．设函数
2)(x x f =,则dx x f )(1
-1
⎰ ( )
A.0
B.1
C.3
2
D.2 3．函数()()13lg 132++-=
x x
x x f 的定义域为（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
4．在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ） A. 2136
MN AB AC =+ B. 27
3
6
MN AB AC =+
C. 126
3
MN AC AB -=
D. 72
6
3
MN AC AB -=
5．"2"=a 是“函数()a x x f -=在区间[)+∞,2上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数1
1
lg
-=x y 的大致图象为( )
7．设向量()()1,1,3,3-==b a ，若()()
b a b a
λλ-⊥+，则实数=λ（ ）
A ．3
B ．1
C ．1±
D ．3±
8．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 则y x z +=的最大值为( ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9．已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则
151959
149a a a a a a ++（ ） A ．有最大值
12
B ．有最小值
1
2
C ．有最大值52
D ．有最小值52
10．已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()
OA OB OA OC +⋅+uu r uur uu r uuu r
等于
A ．
19
B ．1
9
-
C
．6-D ．1
6
-
11．已知函数()()0cos sin 3>+=ωωωx x x f 的零点构成一个公差为
2
π
的等差数列，把函数()x f 的图像沿x 轴向左平移
6
π
个单位，得到函数()x g 的图像，关于函数()x g ，下列说法正确的是( ) A. 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,4ππ上是增函数
B. 其图像关于直线4
π
-
=x 对称
C. 函数)(x g 是奇函数 D . 在区间⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡32,6ππ上的值域为[]1,2- 12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设
(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是
A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．已知()2tan =-πθ，则θθcos sin 的值为 . .
14．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += . 15．已知实数0,0x y >>，且lg 2lg8lg 2x
y
+=，则
11
3x y
+的最小值为 . . 16． 已知函数()()()
⎪⎩⎪
⎨⎧<++≥+=012012x x x x e x
x f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则a 的取值范围
是 ． .
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)2
sin ,2cos
(A A -=，)2sin ,2(cos A
A =，且2
1=∙n m .
（1）求角A 的大小；
（2）若32=a ，三角形面积3=S ，求c b +的值
18.（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
+=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
19.（本小题满分12分）设函数().2
3
cos 3sin 2-⎪⎭⎫
⎝
⎛+=x x x f π (1)求()x f 的单调增区间;
(2)已知ABC ∆的内角分别为,,,C B A 若,2
32=
⎪⎭⎫
⎝⎛A f 且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.
20．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(12
1
*N n a S n n ∈=+，数列}{n b 是公差d 不等于0的等差数列，且满足112
3
a b =
，且1452b b b ，，成等比数列． （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）设n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
21.（本小题满分12分）设()ax x x x f 22
1312
3++-
=, (1)若()x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，
32
上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当20<<a 时，()x f 在[]4,1上的最小值为3
16
-，求()x f 在该区间上的最大值.
22．（本小题满分12分）已知函数()f x 2221x ax x e +-=,()()211x
g x f x x -⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性;
（Ⅱ）当0a =时,函数()g x 在(0,)+∞是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
高三数学（理）参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分）
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13、52
14、10 15、4 16、11(1,1)(2,3]3e
e ⎧⎫
++⎨⎬⎩
⎭
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（1）∵)2sin ,2cos
(A
A -=，)2sin ,2(cos A A =，且2
1=∙n m ，
212sin 2cos 22=+-∴A A ， 即21
cos =-A ，又()π,0∈A ，
∴3
2π=A ---------------------------------------------5分
（2）3sin 2
1
==∆A bc S ABC 错误！未找到引用源。

，4=∴bc ,
又由余弦定理得：bc c b A bc c b a ++=⋅-+=22222cos 2,
()162
=+∴c b ，故4=+c b ---------------------------10分
18.（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，812
4a a a ⋅=，即
()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 12
1212
1796+=++∴，
0≠d ，d a 91=∴． -------------------------3分
由数列
{}n
a 的前10项和为45，得454510110
=+=d a S
，
即454590=+d d ，故3,3
1
1==a d ，--------------------------------5分 故数列
{}
n
a 的通项公式为3
8
+=n a n ；----------------------------------6分
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=++==
+9181
998911n n n n a a b n n n -------------------8分
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101
919n n T n 999191919+=+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分
解：（1）()x x x x x f 2cos 2
32sin 2123cos 3sin 2+=-
⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
=π ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=32sin πx ----------------3分 由ππ
π
ππ
k x k 22
3
222
+≤
+
≤+-
，得Z k k x k ∈+≤≤+-
,12
125ππππ ()x f 的单调增区间为Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-,1212
5ππππ， -------------------5分
(2)233sin 2=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫
⎝⎛πA A f ，()π,0∈A ，3π=∴A ---------6分 ABC ∆能覆盖住的最大圆为ABC ∆的内切圆，设其半径为r ，
则有ππ=2r ，1=r ， ----------------------------7分 由()r c b a S ABC ⋅++=
∆21
，及A bc S ABC sin 21=∆，得()c b a bc ++=2
143， 由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得bc c b a -+=22------------9分
bc bc bc bc c b c b bc 322
3
22=+≥-+++=∴
（当且仅当c b =时等号成立） 即12≥bc --------------------------------------11分
[)1
6,,2
AB AC bc ⋅=∈+∞当且仅当c b =时，AB AC ⋅的最小值为6. ---------12分
20.解：（1）:当1=n 由12111=+a a ，解得：3
2
1=a (2分)
当2≥n 时，由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=--,
211,2
1111n n n n a S a S 得）（n n n n n a a S S a -=-=--0121所以)2(311≥=-n a a n n
所以}{n a 是以321=a ，3
1
=q 为公比的等比数列， 所以n n n a 32
)31(321=⨯=- (4分) 因为112
3
a b =
所以11=b 又1452b b b ，，成等比数列，所以14225b b b ⋅= 所以)131()1()41(2d d d +⋅+=+得2=d 或0=d (舍)
所以12-=n b n (6分) （2）由（1）得n
n n n n b a c 32
4-=
⋅=所以 )1(3
24310363232n n n T -++++=
)2(3
243643103632311432+-+-++++=n n n n n T
(1)-(2)得1323
2
4)313131(43232+--++++=
n n n n T (8分) 11
3243
1131
91432++---
-⨯+=n n n 13243234+---=n n n (10分) 所以n
n n T 32
22+-
= (12分) 21.解：(1)()a x x x f 2'2
++-=， -------------------1分
由题意得，()0'>x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，
32
上能成立，只要()0'max >x f 即032'>⎪⎭⎫
⎝⎛f ，即29＋2a ＞0，得a ＞－19， -------------------------5分
所以，当a ＞－19时，()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛∞+，
3
2上存在单调递增区间. ---------6分 (2)已知0＜a ＜2，()x f 在[1，4]上取到最小值－16
3，而()a x x x f 2'2
++-=的图象开口向下，且对称轴x ＝1
2，∵f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，则必有一点x0∈[1，
4]，使得f ′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x 0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减，
--------------9分
∵f(1)＝－13＋12＋2a ＝1
6＋2a ＞0，
∴()=min x f f(4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a ＝－16
3⇒a ＝1. ----------10分
此时，由()02'02
0=++-=x x x f ⇒20=x 或－1(舍去)，
所以函数f(x)max ＝f(2)＝10
3. ------------------------------------12分
22.解: （Ⅰ）函数
的定义域为
,
=x
e x ax )1)(2(2-+-………………1分
（1）当
时，
，
∴)1,(-∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；
),1(+∞∈x 时，0)('<x f ， )(x f 单调递减。

…………2分 （2）0≠a 时，方程有两解
或
①当
时，
∴
)
,1()2
,(+∞⋃--∞∈a
x 时，0)('<x f ， )(x f 在、上单调递减.
)
1,2(a
x -∈时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ……3分 ②当
时，令
，得
或
(i)当时,时恒成立, 上单调递增; …………4分
（ⅱ）当时,
∴ ),2
()1,(+∞-
⋃-∞∈a
x 时，0)('>x f ，)(x f 在、上单调递增.
∈x 时，0)('
<x f ， )(x f 单调递减。

……5分
（ⅲ）当时，
∴ ∈
x ⋃
时，0)('>x f ，)(x f 在
、上单调递增.
∈
x 时，0)('<x f ， )(x f 单调递减. ………6分 综上所述，当时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
，
；
当时,
上单调递增；
当
时,
的单调递增区间为
，
单调递减区间为
；
当时的单调递增区间为
，单调递减区间为．………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为
,在
处
取得极大值也是最大值
………8分
等价于
，，令得，所以
， 所以先增后减，在处取最大值0，所以
．………10分
所以
进而
,所以
即,………11分
又所以函数在不存在零点． …………12分。