三角恒等变换中的数学思想
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十 摩 隸 訊 知 识 篇 • 知 识 结 构 与 拓 展 高 一 数 学 2018年 3 月
三角恒_ 变换卬的数学思想
三 角 函 数 是 以 角 为 自 变 量 的 函 数 ，因 此 三 角 恒 等 变 换 离 不 开 角 的 变 换 。三角恒等变 换 问 题 的 解 题 思 想 方 法 有 ：灵 活 变 角 的 思 想 ， 整 体 换 元 的 思 想 ，转 化 与 化 归 思 想 等 。 下 面 举例分析。
*
s in i:子 + " )
c(s
丌 4
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.
7
2 s in " cos " * tttt。
zb
sin 2" + 2sin2" 故二 — ta n "
zsin 2" •ta n ( - + "
— 28 —1 4
点 拨 ：本 题 的 解 题 过 程 ，充 分 体 现 了 切 化
弦 、异 名 化 同 名 、异 角 化 同 角 等 转 化 与 化 归 思
想的运用％
作 者 单 位 ：广 东 广 州 市 天 河 外 国 语 学 校
(责 任 编 辑 郭 正 华 ）
15
COS X-
1— tan "
sin 2" (1 + ta n 1— tan "
B心％ 12
=s i n 2 " •t a n ( 尽 + 、
17& 由1 2 < " <
7 & ，可 得 ■&■<" + & < 2 & %
因 为 c〇S ( & + " ) * 吾 ，所 以 s in ( & + " )
三 、转 化 与 化 归 的 思 想
! # 已 知 cos (
3 4
，& 上 s in 2" + 2 s i n 2" : < 丁 ，求 一 .丄~— t7a--n--x---- 的 值 %
s in 2 x + 2 s in 2x
解：
— tan "
s in 2" + 2 s in 2x c o s "
2 时，
$ min
[2 1 %
故所求函数的值域为 — 2 —1，
点 拨 ：在 三 角 恒 等 变 换 中 ，可 以 把 一 个 代 数 式 整 体 视 为 一 个 “元 ”来 参 与 计 算 和 推 理 ， 这 个 “元 ”可 以 明 确 地 设 出 来 ，这 样 可 转 化 为
■刘惠梅 仅 含 有 一 个 “元 ”的 函 数 式 来 求 解 t
(2a — — (a — " ），a + " * 2a — (a — " ' ，a *
2 [ ( a + " ) + (a — " ) ] 等％
二 、整 体 换 元 的 思 想 ! 2 求 函 数 ^ * sin " + s in 2 " — cos " ( " # ) ) 的值域％ 解 ： 令 s in " — cos " * f ，贝[J f *
— ta n a — t a n (a — /3) — 13
1 + tan a ta n (a —
9°
点 拨 ：给 值 求 值 的 重 要 思 想 是 寻 找 已 知
式 与 待 求 式 之 间 的 联 系 ，通 过 角 的 变 换 得 解
的 。 常 见 的 角 的 变 换 有 # * & + " ) — " ，a *
一 、灵 活 变 角 的 思 想
已 知 a ，# 为 锐 角 ，cos a
t a n (a — = — . ，求 t a n " 的 值 。
解 ：由 a 是 锐 角 ，cos a : ，可 得 s in a :
3
3
4 ，—$ a * ) ，所 以 t a n " * t a n [ a — ( a — " ) ]
* — 去 ，可 得 t a n ( & + " ) * — 3 % 于 是 可 得 cos " * cos _ ( & + " ) - 丌
&
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= (4--4) =
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因 为 sin 2" * 1 — (sin " — cos " ' 2* 1 — f 2 ，所 以 ^ * ( s in " — cos " ' + s in 2" * f + 1 —
-1 ) ：+ T -
当 f * 2 日寸，$ max * ) 当 f
三角恒_ 变换卬的数学思想
三 角 函 数 是 以 角 为 自 变 量 的 函 数 ，因 此 三 角 恒 等 变 换 离 不 开 角 的 变 换 。三角恒等变 换 问 题 的 解 题 思 想 方 法 有 ：灵 活 变 角 的 思 想 ， 整 体 换 元 的 思 想 ，转 化 与 化 归 思 想 等 。 下 面 举例分析。
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点 拨 ：本 题 的 解 题 过 程 ，充 分 体 现 了 切 化
弦 、异 名 化 同 名 、异 角 化 同 角 等 转 化 与 化 归 思
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作 者 单 位 ：广 东 广 州 市 天 河 外 国 语 学 校
(责 任 编 辑 郭 正 华 ）
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三 、转 化 与 化 归 的 思 想
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■刘惠梅 仅 含 有 一 个 “元 ”的 函 数 式 来 求 解 t
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二 、整 体 换 元 的 思 想 ! 2 求 函 数 ^ * sin " + s in 2 " — cos " ( " # ) ) 的值域％ 解 ： 令 s in " — cos " * f ，贝[J f *
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一 、灵 活 变 角 的 思 想
已 知 a ，# 为 锐 角 ，cos a
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