福建省罗源第一中学2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题

福建省罗源第一中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试
题
考试时间： 9月20 日 完卷时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知x R ∈，则“1x >”是“2
1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．抛物线2
4y x =-的准线方程为（ ） A. 1y = B. 1x = C. 116x = D. 116
y = 3. 以下四组向量中，互相平行的组数为( )
① a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)； ② a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)； ③ a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)； ④ a ＝(－3,2,0)， b ＝(4，－3,3) A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组
4. 若双曲线122
2=-m
y x )0(>m 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A .x y 33±
= B . x y 3±= C . x y 31±= D .x y 3±=
5. 若双曲线
22145y x -=与椭圆222116
x y m +=有共同的焦点，且0m >，则m 的值为（ ）
5
6．已知点(,)P x y 在椭圆2
2
44x y +=上，则
2
2324
x x y +-的最大值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．2
D ．﹣1
7. 如图所示，在正方体D C B A ABCD ''''-中，点E 是棱BC 的中点， 点G 是棱D D '的中点，则异面直线GB 与E B '所成的角为（ ）
A .120°
B .90°
C .60°
D .30°
8. 已知椭圆C ：22
142
x y +=，直线x y =与椭圆C 交于B A 、两点，P 是椭圆C 上异于 B A 、的点，且直线PA 、PB 的斜率存在，则PA PB k k ⋅=（ ） A . 2 B . 2- C ．12 D ．1
2
-
9．已知抛物线2
:12C y x =，过点(2,0)P 且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于A B 、 两点，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ）
A. 22
B. 14
C. 11
D. 8 10．给出以下命题：
①若1
cos ,3MN PQ <>=-，则异面直线MN 与PQ 所成角的余弦值为13
-； ②已知长方体11
1
1
ABCD A B C D -,则与
1
CC 是共面向量；
③已知A B C 、、三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足
142
555
O M O A O B B C =
++，则点M ∈平面ABC ；
④若向量a 、b 、c 是空间的一个基底，则向量a b c ++、a b +、c 也是空间的一个基底； 则其中正确的命题．．．．．个数是（ ） A ．1 B ．
11. 如图，1F 、2F 12. 已知A B 、为椭圆顶点，P Q 、
且有()(,1)PA PB QA QB R λλλ+=+∈>，
设直线AP BP AQ BQ 、、、的斜率分别为1234k k k k 、、、，则1234k k k k +++的值（ ）
A. 大于0
B. 等于0
C. 小于0
D.大于0，等于0，小于0都有可能 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知命题:p x R ∀∈，sin 1x …，则该命题的否定是p ⌝：______________.
14. 直线l 与双曲线442
2=-y x 相交于A B 、两点，若点)1,4(P 为线段AB 的中点，
则直线l 的方程是______________.
15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<（其中a >0），q ：2＜x ≤3．
若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是16．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2
BAC π
∠=
， 11AB AC AA ===. 已知G 和E 分别为11A B 和1CC
的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点，
若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为______________.
三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）
如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简：A 1O →－12AB →－12
AD →
；
(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23
DD 1→
，
若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→
，试求实数x ，y ，z 的值．
18.（本小题满分12分）
设命题2
:,2p x R x x a ∀∈->，其中a R ∈，命题2
:,220q x R x ax a ∃∈++-=. 如果“p ⌝”为假命题，“q ⌝”为真命题，求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知a ＝(1,2，－2)．
(1)求与a 共线且方向相反的单位向量b ；
(2)若a 与单位向量c ＝(0，m ，n )垂直，求m 、n 的值．
20．（本小题满分12分）
已知点P 在抛物线2
x y =上运动，过点P 作y 轴的垂线段PD ，垂足为D .动点
(,)M x y 满足2DM DP =，设点M 的轨迹为曲线C .
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线:1l y =-，若经过点(0,1)F 的直线与曲线C 相交于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为1A 、1B ，试判断直线1A F 与1B F 的位置关系，并证明你的结论.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600
，M 是PC 的中点，设c b a ===,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ； （2）求BM 的长．
22．（本小题满分12分）
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为2，左顶点到直线220x y +-=的距
M
P D
C B
A
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
面积S的最小值.
（Ⅲ）在（
．．2．）的条件下
．．．．．，试求AOB
2019-2020学年第一学期罗源一中第一次月考
高中 二 年 数学 科试卷答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. x R ∃∈, sin 1x > 14.03=--y x 15．(1, 2] 16. 1] 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
解：(1)A 1O →－12
(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →
.
(2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23
AA 1→
＝12AB →－12AD →－23AA 1→
， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－2
3
.
18.（本小题满分12分）
解：命题p ：2,2x R x x a ∀∈->，
即222(1)1x x x a -=-->恒成立1a ⇔<- …………………………………………3分 命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，即方程2220x ax a ++-=有实数根，……4分 故22(2)4(2)020a a a a ∆=--≥⇔+-≥ 2a ⇔≤-或1a ≥ ……………………6分 因为“p ⌝”为假命题，“q ⌝”为真命题，故p 为真命题，q 为假命题……………8分
所以121
a a <-⎧⎨-<<⎩ ………………………………………………………………………10分
故21a -<<-，即实数a 的取值范围是(2,1)-- ………………………………12分
19.（本小题满分12分）
解：(1)设b ＝(λ，2λ，－2λ)，而b 为单位向量，
∴|b |＝1，即λ2
＋4λ2
＋4λ2
＝9λ2
＝1，且0<λ
∴λ＝13
-.(4分) ∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
3
，－23，23.(6分)
(2)由题意，知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a·c ＝0，
|c |＝1，⇒⎩⎨⎧
1×0＋2m －2n ＝0，m 2
＋n 2＋02＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝2
2，n ＝22
，或⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝－2
2，n ＝－2
2
.(12分)
20．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）设00(,)P x y ，由2DM DP =知点P 为线段DM 的中点，故0012x x y y ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩…2分
因为点P 在抛物线2x y =上，故200x y =，从而21()2
x y = ……………………4分
即曲线C 的方程为2
4x y = …………………………………………………………5分 （Ⅱ）判断：直线1A F 与1B F 垂直, …………………………………………………6分 证明如下：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,1)A x -，12(,1)B x -，
由已知，直线AB 的斜率k 存在，设其方程为1y kx =+.………………………7分
由2
1
4y kx x y
=+⎧⎨
=⎩得：2
440x kx --= ……………………………………………………8分
所以124x x =-， …………………………………………………………………………9分 因为 11(,2)A F x =-，12(,2)B F x =-, ……………………………………………10分 故11121140A F B F x x A F B F ⋅=+=⇒⊥ ……………………………………………11分 所以直线1A F 与1B F 垂直. ……………………………………………………………12分 （其它解法参照给分）
21. （本小题满分12分）
解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21
)(21-+=+=
c b a a c b 2
12121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于
160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于
),(2
1
c b a ++-=
由于 2
3)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=
c b c a b a c b a c b a
2
6
26的长为，BM ∴=
. 22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
2a =⇒=……………………………………………1分
因为2221c e c b a c a =
=⇒==-=…………………………………………2分 故所求椭圆的方程为2
214
x y += ………………………………………………………3分 （Ⅱ）法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知1212,x x y y ==-，因为以AB 为直径的圆经过
坐标原点O ，故121200OA OB x x y y ⋅=⇒+=，即22
110x y -=
又因为点11(,)A x y 在椭圆上，故221114
x y +=，解得11||||5x y ==，
此时点O 到直线AB 的距离为5
d =
…………………………………………………4分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为:l y kx m =+.
联立22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222
(14)8440k x kmx m +++-=………………………………5分 所以2121222
844
,1414km m x x x x k k -+=-=++， ………………………………………………6分
由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则121200OA OB x x y y ⋅=⇒+=，且
2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++ …………………………………7分
故22
2
2
2
121222
448(1)()0(1)01414m km k x x mk x x m k mk m k k
--++++=⇒+++=++ 化简得22
54(1)m k =+，……………………………………………………………………8分
故点O 到直线AB 的距离为
5
d =
=
综上，点O 到直线AB 的距离为定值
5
……………………………………………9分 法二：（若设直线方程为:l x my c =+，也要对直线斜率为0进行讨论） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知1212,x x y y =-=，因为以AB 为直径的圆经过坐
标原点O ，故121200OA OB x x y y ⋅=⇒+=，即22
110x y -+=
又因为点11(,)A x y 在椭圆上，故2
21114
x y +=，解得11||||5x y ==，
此时点O 到直线AB
的距离为d =
………………………………………………4分 ②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为:l x my c =+.
联立22
44
x my c x y =+⎧⎨+=⎩得：222
(4)240m y cmy c +++-= ………………………………5分 所以212122224
,44cm c y y y y m m -+=-=++， ………………………………………………6分
121212122222
2
2
2
1212220()()
42(1)()0(1)0
44
OA OB x x y y y y my c my c c c m m y y mc y y c m c m m ⋅=⇒+=+++-=++++=⇒+-+=++故……………8分 化简得22
54(1)c m =+，故点O 到直线AB
的距离为5
d =
=
综上，点O 到直线AB
的距离为定值
5
………………………………………………9分 （Ⅲ）法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S =1；当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为
1k -，由2
244y kx x y =⎧⎨+=⎩得2
122212414414x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，同理2
2222224444k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ …………………………10分
故121|||||2AOB
S OA OB x x ∆=⋅==令2
1(1)k t t +=>
，则S ===故
4
15
S ≤< ……………………………………………………………………………11分 综上，AOB ∆面积S 的最小值为4
5
. …………………………………………………12分
法二：由（Ⅱ），①当直线l
的斜率不存在时，14
2555
S =
⋅=， ②当直线l 的斜率存在时，22
54(1)m k =+，且点O 到直线AB
的距离为5
d =
，
||AB =
==
故1||2S AB d =⋅=10分
令2
14(1)k t t +=≥，则S 因为101t <≤，故4
15
S ≤≤.……………………………………………………………11分 综上，AOB ∆面积S 的最小值为4
5
.……………………………………………………12分。