江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第29天综合练习(一)理(含解析)苏教版

第29天 综合练习(一)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x≤2}，则∁R A ＝________． 2. 已知i 是虚数单位，则
1＋2i
2－i
＝________． 3. 焦点在x 轴上，且焦距为4的等轴双曲线的标准方程为______________． 4. 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t /hm 2
)分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为________．
5. 从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为________．
6. 如图是一个算法的流程图，则输出n 的值是________．
7. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝6，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 1
＝________．
8. 已知α是三角形的内角，且y ＝3cos (x ＋α)关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
3，0对称，则tan α的值
为________．
9. 已知a ，b 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列条件：①b∥α，α∥β；②b⊥α，α⊥β；③a⊥b，a⊥β；④a∥b，a∥β，其中能使b∥β成立的充分条件有________个.
10. 若正实数x ，y ，满足x ＋4x ＋y ＋4
y ＝10，则xy 的取值范围为________．
11. 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的棱长均为2，D ，E 分别是AC ，AA 1的中点，则三棱锥C 1B 1DE 的体积为________．
12. 已知A ，B 是圆C ：x 2＋y 2
－6y ＋5＝0上两个动点，O 是坐标原点，且AB ＝2，则|OA →＋OB →
|的取值范围是____________．
13. 如图，OA →·OB →＝0，|OA →|＝1，|OB →|＝3，点C 在线段AB 上运动，且CD →＝CO →＋CB
→
2，
则DC →·OC →
的最小值为________．
14. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ＜1，ln x
x
2
， x≥1，则函数y ＝|f(x)|－1
8的零点个数为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中， E 为CD 上的任意一点． (1) 若AD 1⊥B 1E ，证明：AA 1＝AD ；
(2) 若DP∥平面B 1AE ，P 是AA 1的中点，求证：E 为CD 的中点．
16. (本小题满分14分)在△ABC中，AB＝2，cos C＝7
8
，3AC＝4BC.
(1) 求AC，CB的长；
(2) 求sin(A－C)的值．
17. (本小题满分14分)如图是一个帐篷，它下部的形状是一个正六棱柱，上部的形状是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO ，正六棱锥的高为PO 1，且PO ＝3PO 1.设PO 1＝x m .
(1) 当x ＝2，PA 1＝4 m 时，求搭建帐篷的表面积；
(2) 在PA 1的长为定值l m 的条件下，已知当且仅当x ＝2 3 m 时，帐篷的容积V 最大，求l 的值．
18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1
2，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于
第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.
(1) 求椭圆E 的标准方程；
(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
19. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足：a1＝1，2a n＋1－a n＝n
2n
a2n(n∈N*)．
(1) 求a2，a3的值；
(2) 若对任意的n∈N*，恒有0<a n≤M，求M的最小值；
(3) 求证：对任意的n∈N*，不等式a n≥18
5×2n＋8
恒成立．
20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝k(x －1)(k∈R )． (1) 若两个实数a ，b 满足0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，求4a －b 的取值范围； (2) 求证：当k ＜1时，存在x 0＞1，使得对任意的x ∈(1，x 0)，恒有f (x )＞g (x )； (3) 已知0＜a ＜b ，求证：存在x 0∈(a ，b )，使得ln b －ln a b －a ＝1
x 0
.
附加题
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤17，求M 4
β.
B . [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数
方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2
θ，
y ＝2cos θ
(θ为参数)，求直线l 和曲线C 的交点坐标．
22. (本小题满分10分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，M为PC的中点，AC＝4，BD＝2，OP＝4.
(1) 求直线AP与BM所成角的余弦值；
(2) 求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．
23. (本小题满分10分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2) 若X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．
第29天 综合练习(一)
1. {x|x>2} 解析：∁R A ＝{x |x >2}．
2. i 解析：1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i
5
＝i .
3. x 2
2－y
2
2＝1 解析：由题意得c ＝2，a ＝b ＝2，又焦点在x 轴上，所以双曲线的标
准方程为x 2
2－y
2
2
＝1.
4. 0.4 解析：数据的平均数是10，则方差为s 2
＝15×(0.36＋0.64＋0.36＋0.64)＝
0.4.
5. 3
5 解析：从5名学生中任选2名参加座谈会，有10种选法，其中选出的2人恰好
为1男1女的结果有6种，故所求概率为P ＝610＝3
5
.
6. 7 解析：该流程图运行3次，第1次，A ＝2，n ＝3；第2次，A ＝8，n ＝5；第3次，A ＝85，n ＝7，结束循环，则输出n 的值是
7.
7. 4 解析：设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，由题意得3a 1＋6d ＝6，且a 1＝－4d ，故a 1＝4.
8.
33 解析：由y ＝3cos (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称可得3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α＝0，
而α是三角形的内角，所以α＝π6，故tan α＝3
3
.
9. 0 解析：对于①可能有b ⊂β；对于②可能有b ⊂β；对于③可能有b ⊂β；对于④可能有b ⊂β也可能相交．
10. [1，16] 解析：由x ＋4x ＋y ＋4y ＝10可得x ＋y ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y xy ＝10.因为x ，y 为正实数，
所以由基本不等式可知x ＋y≥2xy(当且仅当x ＝y 时，等号成立)，故有xy －5xy ＋4≤0，解得1≤xy≤16.
11.
32 解析：因为△C 1DE 的面积为2×2－12×1×2－12×1×2－12×1×1＝3
2
，且点B 1到平面C 1DE 的距离即为在△A 1B 1C 1中底边A 1C 1上的高，即为3，故三棱锥C 1B 1DE 的体积为VC 1B 1DE ＝VB 1C 1DE ＝13×32×3＝3
2
.
12. [6－2 3，6＋2 3] 解析：圆C ：x 2
＋(y －3)2
＝4，取弦AB 的中点M ，连结CM ，
CA ，在Rt △CMA 中，CA ＝2，MA ＝1，则CM ＝CA 2－MA 2＝3，则点M 的轨迹方程为x 2
＋(y －3)2
＝3，则|OA →＋OB →|＝2|OM →|∈[6－2 3，6＋2 3]．
13. 1564 解析：选取OA →，OB →为基向量，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，其中0≤λ≤1.因为CD
→＝CO →＋CB →2，所以OD →＝OB →2，所以DC →＝DO →＋OC →＝λOA →＋(12－λ)OB →，所以DC →·OC →＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λOB →·[λOA →＋(1－λ)OB →]＝4λ2
－92λ＋32＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－9162
＋1564.因为0≤λ≤1，所以当λ＝916时，DC →·OC →
取得最小值1564
.
14. 4 解析：当x≥1时，f(x)＝
ln x
x 2
，则f′(x)＝1－2ln x
x
3，由f′(x)＝0得x ＝e .当x∈(1，e )时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(e ，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，但f(x)＞0，且当x 趋于＋∞时，f(x)趋于0，作出函数y ＝|f(x)|的图象(如图)，由图可得y ＝|f(x)|－1
8
有4个零点.
15. 解析：(1) 连结A 1D ，B 1C. 因为E 为CD 上的任意一点， 所以B 1E ⊂平面A 1B 1CD ，
因为AD 1⊥B 1E ，AD 1⊥CD，CD∩B 1E ＝E ， 所以AD 1⊥平面A 1B 1CD ， 所以AD 1⊥A 1D.
在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中， 因为四边形AA 1D 1D 为矩形，
所以四边形AA 1D 1D 为正方形，所以AA 1＝AD.
(2) 取BB 1的中点Q ，连结PQ ，CQ ，设PQ∩AB 1＝R ，连结ER. 因为DP∥平面B 1AE ，平面PQCD∩平面B 1AE ＝ER ，所以PD∥ER. 因为PQ∥CD，
所以四边形PRED 为平行四边形， 所以DE ＝PR.
因为P ，Q 分别是AA 1，BB 1的中点，
所以PR ＝QR ，所以PR ＝12PQ ＝12AB ＝1
2CD ，
所以E 为CD 中点．
16. 解析：(1) 在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2
＝CA 2
＋CB 2
－2CA·CB cos C ， 设AC ＝x ，因为3AC ＝4BC ，所以BC ＝3
4x.
因为AB ＝2，cos C ＝7
8，
所以22
＝x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x 2
－2x·34x·78， 解得x ＝4，所以AC ＝4，CB ＝3.
(2) 因为sin 2C ＋cos 2
C ＝1，cos C ＝78，C∈(0，π)，
所以sin C ＝1－cos 2
C ＝158
. 在△ABC 中，由正弦定理得
CB sin A ＝AB
sin C
， 所以sin A ＝CB·sin C AB ＝315
16.
因为CB ＝3<AC ＝4，所以A 不为钝角， 所以cos A ＝1－sin 2
A ＝
11
16
， 所以sin (A －C)＝sin A cos C －cos A sin C ＝31516×78－1116×158＝515
64.
17. 解析：(1) 当x ＝2时，OO 1＝4 m . 因为PA 1＝4 m ，
所以A 1B 1＝A 1O 1＝42
－22
＝23(m )．
取A 1B 1的中点为Q ，连结O 1Q ，PQ ，则可以证明PQ⊥A 1B 1， 所以A 1Q ＝12A 1B 1＝3(m )，PQ ＝PA 21－A 1Q 2
＝13(m )．
设帐篷上部的侧面积为S 1，下部的侧面积为S 2， 所以S 1＝12
A 1
B 1×PQ×6＝639(m 2
)，
S 2＝6A 1B 1×OO 1＝483(m 2
)，
所以搭建帐篷的表面积为S 1＋S 2＝639＋483(m 2
)． (2) 由已知得，0<x<l ，
因为PA 1＝l m ，所以A 1B 1＝A 1O 1＝l 2
－x 2
(m )， 所以V ＝
13⎝ ⎛⎭⎪⎫34A 1B 21·6·PO 1＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫34A 1B 21·OO 1＝13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34（l 2－x 2
）·6x ＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34（l 2－x 2）·6·2x＝732(l 2－x 2)x ，其中0<x<l. 因为l 为常数，所以V′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤732（l 2x －x 3
）′＝732(l 2－3x 2)， 令V′＝0得，x ＝
l 3.
当0<x<l 3
时，V′>0；当
l 3
<x<l 时，V′<0，
所以当且仅当x ＝
l 3
∈(0，l)时，V 取得最大值，
由已知得，
l
3
＝23，所以l ＝6 m .
18. 解析：(1) 由题意得c a ＝12，2a
2
c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆E 的
标准方程是x 2
4＋y
2
3
＝1.
(2) 由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)．设P(x 0，y 0)． 因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0.
当x 0＝1时，直线l 2与l 1相交于点F 1，与题设不符； 当x 0≠1时，kPF 1＝y 0x 0＋1，kPF 2＝y 0
x 0－1，
直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1
y 0(x ＋1)，①
直线l 2的方程为y ＝－x 0－1
y 0
(x －1)．②
由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q(－x 0，x 2
0－1
y 0
)．因为点Q 在椭圆E 上，由对称
性得x 20
－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1.又点P 在椭圆E 上，故x 20
4＋y 20
3＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
0－y 2
0＝1，x 204＋y 2
3
＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 2
0＝1，
x 2
4＋y 20
3＝1，且x 0＞0，y 0
＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0
＝4 77，y 0
＝3 77，
所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
4 77，3 77.
19. 解析：(1) 由a 1＝1，得a 2＝12＋14＝34，a 3＝38＋28×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝33
64.
(2) 由(1)知，数列{a n }为单调递减数列，因此猜想M 的最小值为1. 因为n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝n ＋1－2n 2n ＋2
＝1－n
2
n ＋2≤0， 故当n≥2时，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n 2n ＋1为单调递减数列，从而n 2n ＋1≤14.
所以a n ＋1＝12a n ＋n 2n ＋1a 2n ≤12a n ＋14
a 2
n ，
由于0<a 1＝1≤1，且当0<a n ≤1时，有0<a n ＋1≤1，从而对任意的n∈N *
，恒有0<a n ≤1，又由于a 1＝1，从而所求的最小正实数M ＝1.
(3) 由于0<a n ≤1，则a n ＋1＝12a n ＋n 2n ＋1a 2n <12a n ＋1
2a n ＝a n ，从而数列{a n }是单调递减的正项
数列．
所以a n ＋1＝12a n ＋n 2n ＋1a 2n >12a n ＋n 2n ＋1a n a n ＋1，即1a n >12a n ＋1＋n 2n ＋1.左右同除以2n
，得12n a n >12n ＋1a n ＋1
＋
n
22n ＋1，即12n ＋1a n ＋1－12n a n <－n
2
2n ＋1. 设T n ＝∑k ＝1
n
k
22k ＋1＝12∑k ＝1n k
4k
＝－23∑k ＝1n
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤（k ＋1）＋134k ＋1－k ＋134k ＝－
23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（n ＋1）＋134n ＋1
－1＋134 ＝29－6n ＋8
9×4
n ＋1，
从而由1
2n ＋1a n ＋1－12n a n <－n 22n ＋1得，当n ≥2时，12n
a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n a n －12n －1a n －1＋(12n －1a n －1－12n －2a n －2
)＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫122a 2－121a 1＋121a 1<－T n －1＋121a 1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤29－6n ＋29×4n ＋12＝
518＋6n ＋29×4n
， 从而1
2n a n <518＋6n ＋29×4n ＝5×4n
＋12n ＋4
18×4n
， 即a n >
185×2n
＋12n ＋42
n
≥18
5×2n
＋8， 即当n ≥2时，a n >18
5×2n
＋8， 又当n ＝1时，a n ＝1＝18
5×21
＋8， 从而对任意的n ∈N *
，恒有a n ≥
18
5×2n
＋8
. 20. 解析：(1) 由0＜a ＜b ，且f(a)＝f(b)得a ＝1b (b ＞1)，所以4a －b ＝4
b －b ，b ＞1，
易知函数y ＝4
b －b 在区间(1，＋∞)上单调递减，所以当b ＝1时，y 取最大值3，所以4a －
b 的取值范围是(－∞，3)．
(2) 令G(x) ＝ln x －k(x －1)，x ∈(1，＋∞)，则有G′(x)＝1x －k ＝1－kx
x ，x∈(1，
＋∞)，当k≤0时，G′(x)＞0，故函数G(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，G(x)＞G(1)＝0，故任意正实数 x 0∈(1，＋∞)均满足题意；当0＜k ＜1时，令 G′(x)＝0，得 x ＝1
k ＞1，当
x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1k 时，G′(x)＞0，函数G(x)单调递增．取x 0＝1k ，对任意x∈(1，x 0)，有 G′(x)＞0，从而函数G(x)在区间(1，x 0)上单调递增，所以 G(x)＞G(1)＝0，即 f(x)＞g(x)．综上，当 k ＜1 时，总存在 x 0＞1，使得对任意x∈(1，x 0)，恒有 f(x)＞g(x).
(3) 记h(x)＝1x －ln b －ln a b －a ，要证存在x 0∈(a，b)，使得ln b －ln a b －a ＝1
x 0
，即证函数
h(x)在区间(a ，b)上存在零点．因为函数h(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，故只需证h(a)＞0，且h(b)＜0，即证当0<a<b 时，1b ＜ln b －ln a b －a ＜1
a
. ①
证明如下：记M(x)＝ln x －x ＋1， x ＞0，由M′(x)＝1x －1＝1－x
x ，x ＞0，可得函数
M(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．由0＜a ＜b 得b a ＞1，0＜a
b
＜1，
从而有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＜M(1)，且M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＜M(1)，即ln a b －a b ＋1＜0，且ln b a －b a ＋1＜0，化简得b －a b ＜ln b －ln a ＜b －a a .又b －a ＞0，故有1b ＜ln b －ln a b －a ＜1
a 成立．故当0<a<
b 时，存在x 0∈(a，b)
使得
ln b －ln a
b －a ＝1
x 0
. 21. A ．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2
－2λ－3.令f (λ)
＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1.属于λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，属于λ2的一个特征向量
α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤17＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，m －n ＝7，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3，所以
M 4β＝M 4(4α1－3α2)＝4(M 4α1)－3(M 4α2)＝4(λ41α1)－3(λ42α2)＝4×34
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11－3×(－
1)4
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤321327. B ．解析：由题意得直线l 的普通方程为y ＝2x －2，曲线C 的普通方程为y 2
＝2x ，x ∈[0，
2]．由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝2x －2，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝2或⎩⎪
⎨
⎪⎧x 1＝1
2，y 1＝－1，
则直线l 和曲线C 的交点坐标为(2，2)，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1. 22. 解析：(1) 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD ，故可设O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，4)，C(－2，0，0)，M(－1，0，2)，所以AP →
＝(－2，0，4)，BM →＝(－1，－1，2)，则cos 〈AP →，BM →
〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝102 5×6＝306，故直线AP 与BM 所
成角的余弦值为
306
.
(2) 由(1)知AB →＝(－2，1，0)，BM →
＝(－1，－1，2)．设平面ABM 的法向量n ＝(x ，y ，
z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝4，z ＝3，所以平面ABM 的一个法向
量为n ＝(2，4，3)．又平面PAC 的一个法向量为OB →＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，OB →
〉＝
n ·OB →
|n ||OB →|＝42929，故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929
.
23. 解析：(1) 设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝C 12C 23＝23，P(B)＝C 24
C 35＝35
.
因为事件A 与B 相互独立，
所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝4
15
.
(2) 设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P(C)＝C 24
C 35＝35
，
因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P(X ＝0)＝P(ABC)＝13×25×25＝4
75
，
P(X ＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075＝4
15，
P(X ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375＝11
25，
P(X ＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875＝6
25.
所以X 的分布列为。