[合集3份试卷]2020黑龙江省佳木斯市高一数学下学期期末检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若tan （4πα-）＝2，则sin2α＝（ ） A ．45- B ．35- C ．35 D ．45
2．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
3．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ） A ．52 B ．3 C ．72 D ．4
4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 依次成等差数列，a ，b ，c 依次成等比数列，则ABC 的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角边不相等的直角三角形
5．在区间[3,3]-上随机选取一个数，则满足1x ≤的概率为( )
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
6．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =,点O 为AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且90EOF ∠=︒，则EF 的最大值是( )
A 43
B 5
C ．322
D 77．．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，
222(,)B x x 的直线与圆()2
211x y -+=的位置关系是（ ）
A ．相离.
B ．相切.
C ．相交.
D ．随m 的变化而变化. 8．已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）
A ．2
B 10
C ．4
D ．10
9．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛
⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值是
A ．－1
B ．12
C ．1
D ．32 10．某种彩票中奖的概率为110000
，这是指 A ．买10000张彩票一定能中奖
B ．买10000张彩票只能中奖1次
C ．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖
D ．买一张彩票中奖的可能性是110000
11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
底面ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，222CD AB AP AD ===，则直线PB 与平面PCD 所成角的大小为( )
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．512
π 12．下列各命题中，假命题的是（ ）
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．一度的角是周角的1360
，一弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关
二、填空题：本题共4小题
13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为________．
14．在等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =______________.
15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E ，F 、1E ，1F ，则
AE EB
的值是__________.
16．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程.
18．已知点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，求ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程．
19．（6分）足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A 、B 两名运动员是甲队队员，C 是乙队队员，B 在A 的正西方向，A 和B 相距20m ，C 在A 的正北方向，A 和C 相距143m ．现A 沿北偏西60°方向水平传球，球速为103m/s ，同时B 沿北偏西30°方向以10m/s 的速度前往接球，C 同时也以10m/s 的速度前去截球．假设球与B 、C 都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．
（1）若C 沿南偏西60°方向前去截球，试判断B 能否接到球？请说明理由．
（2）若C 改变（1）的方向前去截球，试判断C 能否球成功？请说明理由．
20．（6分）已知{}n a 数列的前n 项和为n S ，满足：2323n n S a n =--.
（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；
（2）令12333111log log log 222n n a a a c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1n n
d c =，求{}n d 数列的前n 项和n T . 21．（6分）设全集为R ，集合{|24}A
x x ，集合{|3782}B x x x =-≥-. （Ⅰ）求A B ；
（Ⅱ）若{|13},C x a x a A C A =-≤≤+⋂=，求实数a 的取值范围.
22．（8分）已知边长为2的等边ABC ，O 是边AB 的中点，ABC 以O 为旋转中心，逆时针旋转()02θθπ≤<得对应'''A B C ，'BB 与'CC 所在直线交于M .
（1）任意旋转角θ，判断BM CM ⋅是否是定值.若是，求此定值；若不是，说明理由.
（2）求AM 的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
由两角差的正切得tan α，化sin2α为tan α的齐次式求解
【详解】 tan （4
πα-）＝2，则
1tan 12tan 1tan 3ααα-=∴=-+ 则sin2α＝2222sin cos 2tan sin cos 1tan αααααα==++ 35 故选：B
【点睛】
本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式及齐次式求值，意在考查公式的灵活运用，是基础题 2．B
【解析】
【分析】
先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.
【详解】
解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为
13
， 故选B.
【点睛】
本题考查了古典概型，属基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．
【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782
s ⨯+-==. 故选：C.
【点睛】
本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据a ，b ，c
2
a c +=a=c ，判断出a=b=c ，推出结果． 【详解】
由a ，b ，c 依次成等差数列，有2b=a+c(1)
,有b =
，
由(1) (2)得2
a c +=
又根据2
a c +≥a=c 时等号成立， ∴可得a=c ，
∴
b a =，
综上可得a=b=c ，
所以△ABC 为等边三角形.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查
综合分析能力，属于中等题.
5．D
【解析】
【分析】
在区间[3,3]-上，且满足1x ≤所得区间为[3,1]-，利用区间的长度比，即可求解．
【详解】
由题意，在区间[3,3]-上，且满足1x ≤所得区间为[3,1]-， 由长度比的几何概型，可得概率为1(3)423(3)63P --=
==--，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用长度比求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6．A
【解析】
【分析】
把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.
【详解】
设BOE x ∠=，1OB =，BC =[]30,60x ∴∈︒︒，
1cos OE x =，()11cos 90sin OF x x ==︒-，12sin cos sin2EF x x x ∴===，
3060x ︒≤≤︒，602120x ∴︒≤≤︒，sin21x ≤≤，
EF ∴故选A. 【点睛】 本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.
7．D
【解析】
22212121
,AB x x k x x x x -==+∴-直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-. 即1212()y x x x x x =+-，所以直线AB 的方程为
22,y mx m m d =-+-===, 因为2240,4()0,03
m m m m ∆>∴-->∴<<,所以221999225,(),(,),()()161616256
t g t t t t g t g m =>∴=+∈+∞>=令,
所以1615d =<=,所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.
8．C
【解析】
【分析】
先求出AB 的坐标，再利用向量的模的公式求解.
【详解】
由题得AB =（0,4） 所以||04AB =+．
故选C
【点睛】
本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．D
【解析】
【分析】
由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
的值，由此计算可得结论.
【详解】
由已知的程序框图可知:
本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
的值， 可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112
>-，
所以，113111222
⎛⎫⎛⎫⊗-
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D.
【点睛】 本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
10．D
【解析】
【分析】 彩票中奖的概率为
110000，只是指中奖的可能性为110000 【详解】 彩票中奖的概率为110000，只是指中奖的可能性为110000
， 不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
【点睛】
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，是否中奖是随机事件．
11．A
【解析】
【分析】
取PC 中点E ，PD 中点F ，连接,,AF EF BE ，先证明BPE ∠为所求角，再计算其大小.
【详解】
取PC 中点E ，PD 中点F ，连接,,AF EF BE .
设2222CD AB AP AD ====
易知：CD ⊥平面PAD CD AF ⇒⊥
AF PD AF ⊥⇒⊥平面PAD
易知：四边形AFEB 为平行四边形BE ⇒⊥平面PCD ，即BPE ∠为直线PB 与平面PCD 所成角
BP =1sin 26
BE AF BPE BPE π==⇒∠=⇒∠=
故答案选A
【点睛】
本题考查了线面夹角，先找出线面夹角是解题的关键.
12．D
【解析】
【分析】
根据弧度制的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确；
B选项，一度的角是周角的
1
360
，一弧度的角是周角的
1
2π
，正确；
C选项，根据弧度的定义，180一定等于π弧度，正确；
D选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D错.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查弧度制的相关判定，熟记概念即可，属于基础题型.
二、填空题：本题共4小题
13．
【解析】
【分析】
根据程序框图，依次计算运行结果，发现输出的S值周期变化，利用终止运行的条件判断即可求解【详解】
由程序框图得：;
第一次运行
第二次运行
第三次运行故周期为4，
当，程序运行了2019次，，故的值为
故答案为
【点睛】
本题考查程序框图，根据程序的运行功能判断输出值的周期变化是关键，是基础题
14．1
【解析】
【分析】
根据已知两项求出数列的公比，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可．
【详解】
∵a 1＝1，a 5＝4
∴公比44q =
∴22q =
∴该等比数列的通项公式a 3＝1⨯1＝1
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，一般利用基本量的思想，属于基础题．
1521
【解析】 【分析】
设AE k AB =，则EF k BC =，由题意得：111111212AEF A E F ABC A B C V k V --==，由此能求出AE EB 的值． 【详解】
设
AE k AB =，则EF k BC
=， 由题意得：1111111211sin 1212sin 2AEF A E F ABC A B C AE EF AEF AA V k V AB BC ABC AA --⨯⨯⨯∠⨯===⨯⨯⨯∠⨯，解得22k =， ∴22122
AE EB ==-．
故答案为：21+．
【点睛】
本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．1
【解析】
分析：设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，
∴S 7==181，解得a 1=1．故答案为1.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.
【解析】
【分析】
（1）根据由圆心在直线y=6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.
（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.
【详解】
（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.
由圆N 圆心在直线y=6上，可设()0,6N x
因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切
所以007<<x ，圆N 的半径为0x
从而0075-=+x x
解得01x =.
所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.
（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为
201402-=-. 设直线l 的方程为12
y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离
==d
因为===BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
BC MC d 所以2
(25)2555
-=+m 解得152
m = 或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.
【点睛】
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
18．5150x y +-=
【解析】
【详解】
设边AB 的中点(,)D x y ,则由中点公式可得：()()11240,322x y -+=
=== ,即点D 坐标为()0,3 所以边AB 上的中线先AB 的斜率321055
k --==- 则由直线的斜截式方程可得：1351505
y x x y =-+⇒+-= 这就是所求的边AB 上的中线所在的直线方程. 19．（1）能接到；（2）不能接到
【解析】
【分析】
（1）在ABD ∆中由条件可得，20DB AB ==，进一步可得ACE ∆为等边三角形，然后计算C 运动到点E 所需时间即可判断；
（2）建立平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，求出直线AD 的方程，然后计算C 到直线AD 的距离即可判断．
【详解】
（1）如图所示，在ABD ∆中，120ABD ∠=，30BAD ∠=，
30ADB ∴∠=, 20DB AB ∴==,DA ∴=
由题意可知，如果C 不运动，经过2s ，B 可以接到球，
在AD 上取点E ，使得60ACE ︒∠=,60CAD ∠=,
∴ACE ∆为等边三角形，143CA =,143AE ∴=，队员C 运动到点E 要14310
s ，此时球运动了1431034214310
⨯=>. 所以B 能接到球．
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，
所以直线AD 的方程为：30x y +=，
C 经过2s ，运动了20m ． 点C 到直线A
D 的距离1433212013
CF ⨯==>+， 所以以C 为圆心，半径长为20的圆与直线AD 相离．
故C 改变（1）的方向前去截球，C 不能截到球．
【点睛】
本题主要考查了三角形的实际应用，以及点到直线的距离的应用，考查了推理与运算能力，属中档题． 20．（1）证明见解析
（2）21n n T n =
+ 【解析】
【分析】
（1）利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-求证即可；
（2）先结合（1）求得(1)2n n n c +=
，再由112()1
n d n n =-+，然后累加求和即可. 【详解】
解：（1）因为2323n n S a n =--，① 11232(1)3n n S a n --=---，②
①-②得：
132n n a a -=+，
即113(1)n n a a -+=+，
又11235a a =-，即15a =，则116a +=，
即数列{}1n a +是以6为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得116323n n n a -+=⨯=⨯， 则132
n n a +=， 即331log log 32n n a n +⎛⎫==
⎪⎝⎭， 则12333111(1)log log log 2222n n a a a n n c ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 即12112()(1)1
n n d c n n n n ===-++， 故1111122[(1)(
)...()]22311
n n T n n n =-+-++-=++. 【点睛】 本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.
21．（Ⅰ）{|2}A
B x x （Ⅱ）[1,3] 【解析】
【分析】
（1）化简集合B ，按并集的定义，即可求解；
（2）A
C A =得A C ⊆，结合数轴，确定集合C 端点位置，即可求解. 【详解】
解：（Ⅰ）集合{|24}A x x ，
集合{|3782}{|3}B x x x x x =-≥-=≥，
∴{|2}A B x x ；
（Ⅱ）由{|13}C x a x a =-≤≤+，且A
C A =， ∴A C ⊆，由题意知C ≠∅，
∴1234
a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得13a ≤≤， ∴实数a 的取值范围是[1,3].
【点睛】
本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.
22．（1）是，0；（2）31-.
【解析】
【分析】
（1）以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，得出,,,B B C C ''的坐标，计算得出''0BB CC ⋅=，进而得出0BM CM ⋅=；
（2）根据BM CM ⊥得出点M 的轨迹是以BC 为直径的圆，由圆的对称性得出AM 的最小值.
【详解】
（1）以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系
则()(()',1,0,03,'cos ,sin BOB B C B θθθ∠=， '33sin 22C ππθθ⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，，即()
'33C θθ-， ())()
'cos 1sin '33cos 1BB CC sin θθθθ=-=--，，，
∴''0BB CC ⋅=
设,BM BB CM CC λμ''==，则0BM CM BB CC λμ''⋅=⋅=
所以BM CM ⋅为定值，定值为0
（2）由（1）知BM CM ⊥，故M 在以BC 为直径的圆上
设BC 的中点N ，则3AN =，以BC 为直径的圆的半径1r =
由圆的对称性可知，AM 的最小值是31AN r -=.
【点睛】
本题主要考查了计算向量的数量积以及圆对称性的应用，属于中档题.
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（ ）
A ．“连续整边三角形”只能是锐角三角形
B ．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形
C ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个
D ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个
2．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
A ．20，22.5
B ．22.5，25
C ．22.5，22.75
D ．22.75，22.75
3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为
54，则5S =（）
A ．31
B ．32
C ．632
D ．652 4．在△ABC 中，AC 2=
，BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°
5．sin 45sin 75sin 45sin15+=（ ）
A ．0
B ．12
C ．32
D ．1
6．如图2所示，程序框图的输出结果是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
7．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A ．0PA P
B += B ．0P
C PA += C ．0PB PC +=
D ．0PA PB PC ++= 8．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．512π
D ．2
π 9．无穷数列1,3,6,10，…的通项公式为（ ）
A ．21n a n n =-+
B ．21n a n n =+-
C ．22n n n a +=
D ．22
n n n a -= 10．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3818a a =-，则10S 等于（ ）
A ．81
B ．90
C ．99
D ．180
11．在等差数列{}n a 中，若2=5a ，4=3a ，则6=a （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．6
12．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则h R =( ) A ．32 B ．43 C ．54 D ．2
二、填空题：本题共4小题
13．向量(24)(11)a b ==，，，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 14．若tan α、tan β分别是方程220x x +-=的两个根，则()tan αβ+=______. 15．在等腰ABC 中，D 为底边BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ，若4AD BC ==，则·AB CF =___________．
16．若A 为ABC ∆的最小内角，则函数()sin cos 22sin cos A A f A A A
+=+的值域为_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N
；数列{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，424b a a =+，5162b a a =+．
（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
（2）设数列1 n n a b ⎧⎫⎨⎩-⎬⎭
的前n 项和为n K ，若n K m <对任意的n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围． 18．已知函数2()=--f x x bx c (,b c R ∈)，设函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M .
(1)若1b c ==，求M 的值；
(2)若≥M k 对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值.
19．（6分）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；
（3）若0λ>，且对所有的正整数n 都有2
22n
n
b k a λλ-+>
成立，求k 的取值范围. 20．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且2
22n n n S a a +=+.
（1）求n a ； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．（6分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积是30,12
cos 13
A =. （1）求A
B A
C ⋅；
（2）若1c b -=，求a 的值.
22．（8分）已知向量()1,0a =,()1,2b =-. (1)求2a b +的坐标; (2)求a b -.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
举例三边长分别是2,3,4的三角形是钝角三角形，否定A ，B ，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C 、D 中哪个正确哪个错误． 【详解】
三边长分别是2,3,4的三角形,最大角为θ，则2222341
cos 02234
θ+-==-<⨯⨯，θ是钝角 ，三角形是钝
角三角形，A ，B 都错，
如图ABC ∆中，,2,1AC n BC n AB n ==+=+，2BAC ABC ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，则
CAD BAD ABC ∠=∠=∠，∴CAD CBA ∆∆∽，CA CD CA CA =，∴222CA n CD CB n ==+， 244
222
n n BD n n n +=+-=
++， 又由AD 是BAC ∠的平分线，得
AB BD AC BC =，∴2144
n n n n
++=，解得4n =， ∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C 正确，D 错误． 故选D ．
【点睛】
本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明． 2．C 【解析】 【分析】
根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可． 【详解】
：根据频率分布直方图，得平均数为1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71， ∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1， 0.3+0.08×1＝0.7＞0.1； ∴中位数应在20～21内， 设中位数为x ，则
0.3+（x ﹣20）×0.08＝0.1， 解得x ＝22.1；
∴这批产品的中位数是22.1． 故选C ． 【点睛】
本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目． 3．A 【解析】 【分析】
根据4a 与72a 的等差中项为
5
4
，可得到一个等式，和2312a a a ⋅=，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于1a 和公比q 的方程组，解这个方程组，求出1a 和公比q 的值，再利用等比数列前n 项和公式，求出5S 的值. 【详解】
因为4a 与72a 的等差中项为
5
4，所以475224
a a =⨯+， 因此有2523111115
3647111216216[1()]
231515122214222
a a a a a q a q a S a a q a q a q ⋅==⎧⋅⋅⋅=⎧⎧⨯-⎪⎪⎪⇒⇒⇒==⎨⎨⎨+=⨯=⋅+⋅=⎪⎪⎪-⎩⎩⎩，故本题选A. 【点睛】
本题考查了等差中项的性质，等比数列的通项公式以及前n 项和公式， 4．A 【解析】 【分析】
直接利用正弦定理求出sinA 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值． 【详解】
因为：△ABC 中，BC ＝1，
AC =
∠B ＝45°，
所以：BC AC sinA sinB
=，
sinA 112BC sinB AC ⨯
⋅===． 因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角， 所以：A ＝30°． 故选：A ． 【点评】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 5．C
【解析】 试题分析：
sin 45sin 75sin 45sin15+=
73
sin
sin
sin sin sin cos cos sin sin()sin 4
1241241241241232
π
ππππππππππ+=+=+==
考点：两角和正弦公式 6．B 【解析】 【分析】 【详解】
由框图可知1,1x y ==，
①14≤，满足条件，则2,2x y ==； ②24≤，满足条件，则4,3x y ==； ③44≤，满足条件，则8,4x y ==； ④84>，不满足条件，输出4y =； 故选B 7．B 【解析】
移项得
.故选B
8．D 【解析】 【分析】
利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角. 【详解】
设两个向量的夹角为θ，则cos 0525θ==⋅，故π
2
θ=.
故选：D. 【点睛】
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题. 9．C 【解析】
试题分析：由累加法得:
,分别相加得()()1122
n n n a a -+-=
,()()1212
n
n n a
-+∴=
+
22n n
+=,故选C. 考点：数列的通项公式. 10．B 【解析】 【分析】
根据已知得到38a a +的值，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列下标和的性质，求得10S 的值. 【详解】
依题意3818a a +=，所以()110
1038105518902
a a S a a +=⨯=+=⨯=，故选B. 【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】
根据等差数列性质得到答案. 【详解】
等差数列{}n a 中，若2=5a ，4=3a
264621a a a a +=⇒=
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，属于简单题. 12．B 【解析】 【分析】
根据变化前后体积相同计算得到答案. 【详解】
314
3
V R π= 22V R h π=⋅
321244
33
h V V R R h R ππ=⇒=⋅⇒=
故答案选B 【点睛】
本题考查了球体积，圆柱体积，抓住变化前后体积不变是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题 13．-3 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()
2
6,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，
∴()
2
()0b a b a b b
λλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 14．13
- 【解析】 【分析】
利用韦达定理可求出tan tan αβ+和tan tan αβ的值，然后利用两角和的正切公式可计算出()tan αβ+的值. 【详解】
由韦达定理得tan tan 1αβ+=-，tan tan 2αβ=-， 因此，()()tan tan 11
tan 1tan tan 123
αβαβαβ+-+=
==----.
故答案为：13
-. 【点睛】
本题考查利用两角和的正切公式求值，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题. 15．8-； 【解析】 【分析】
题中已知等腰ABC 中，D 为底边BC 的中点4AD BC ==，不妨于BC 为x 轴，垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，这样，我们能求出ABCDE 点坐标，根据直线BE 与AC 求出交点F ，求向量的数量积即可. 【详解】
如上图，建立直角坐标系，我们可以得出(0,4),(2,0),(2,0),(0,2)A B C E - 直线:2BE y x =+，:24AC y x =-+联立方程求出28(,)33
F ,
28
(2,4),(,)33
AB CF ∴=--=,即8AB CF =-
填写8- 【点睛】
本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F 点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.
16．2132⎫
⎪⎪⎣⎭
【解析】 【分析】 依题意， 03
A π
<≤
，利用辅助角公式得cos sin 24A A A π⎛
⎫+=
+ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性即可
求得cos sin A A +的取值范围，在利用换元法以及同角三角函数基本关系式把所求问题转化结合基本不等式即可求解． 【详解】
∵A 为ABC ∆的最小内角，故03
A π
<≤
，
又cos sin 24A A A π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，
因为
74
4
12A π
π
π<+
≤
，故2sin 124A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭， ∴cos sin A A +取值范围是(
2．
令cos sin t A A =+，则(2t ∈且22sin cos 1A A t =-
∴()21
t f A t =+，令()21
11t g t t t t
==
++，
由双勾函数可知1y t t =+
在(
上为增函数，故12,2t t ⎛+∈ ⎝⎦
， 故(
)12f A ⎫
∈⎪⎪⎣⎭
.
故答案为：132⎫
⎪⎪⎣⎭
. 【点睛】
本题考查同角的三角函数的基本关系、辅助角公式以及正弦型函数的值域，注意根据代数式的结构特点换元后将三角函数的问题转化为双勾函数的问题，本题属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）1n a n =+；12n n b -=；（2）4m ≥
【解析】 【分析】
(1) 根据等比数列{}n b 与等差数列{}n a ,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.
(2)由(1)有1
1,2n n n a n b --=再错位相减求解n K ,利用不等式恒成立的方法求解即可. 【详解】
解：（1）设等比数列{}n b 的公比为q,由11b =,322b b =+,可得2
20q q --＝．
∵0q >,可得2q ．
故12n n
b -=；
设等差数列{}n a 的公差为d,由424b a a =+,得124a d +=, 由5162b a a =+,得131016a d +=, ∴12,1a d ==． 故1n a n =+； （2）根据题意知,
11,2
n n n a n
b --= 21231222
n n n
K -=++++ ①
23112322222
n n n K =++++②
①—②得112(2)22n
n K n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
∴1
1
4(2)()
42
n n K n -=-+<,
n K m <对任意的*n N ∈恒成立,∴4m ≥
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的基本量求解方法以及错位相减和不等式恒成立的问题.属于中档题. 18． (1)54
M =；(2)12
【解析】 【分析】
（1）根据二次函数的单调性得()f x 在区间⎡-⎢⎣⎦，1,12⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦单调递减，在区间1122⎡⎤⎢
⎥⎣⎦单调递增，从得而得1
max (),(1)2
M f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩
⎭
；
（2）①当2b ≥时，()f x 在区间[]1,1-上是单调函数，则{}max (1),(1)M g g =-，利用不等式的放缩法求得2M ≥；②当2b <时，对b 进行分类讨论，求得12M ≥；从而求得k 的最大值为12
. 【详解】
(1)当1b c ==时，2()1f x x x =--，结合图像可知，
()f x 在区间11,2⎡-⎢⎣⎦，1,12⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦单调递减，在区间1122⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦单调递增. 15
max (),(1)24
⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭M f f .
(2)①当2b ≥时，()f x 在区间[]1,1-上是单调函数，则{}max (1),(1)M g g =-， 而(1)1g b c -=+-，(1)1g b c =--，
2(1)(1)1124M g g b c b c b ≥-+=+-+--≥≥，
∴2M ≥.
②当2b <时，()g x 的对称轴2
b
x =
在区间[]1,1-内， 则max (1),(1),()2b M g g g ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，又2
()24
b b f
c =--，
（ⅰ）当20b -<≤时，有，()(1)(1)2
b
f f f <-<，则
11max (1),()((1)())((1)())22222b b b M g g g g f f ⎧
⎫=≥+≥-⎨⎬⎩
⎭211(1)222b =-≥，
（ⅱ）当02b <≤时，有，()(1)(1)2
b
f f f ≤<-则
11max (1),()((1)())(()(1))22222b b b M g g g g f f ⎧
⎫=-≥-+≥--⎨⎬⎩
⎭211(1)222b =+≥，
所以，对任意的,b c 都有1
2
M ≥， 综上所述0b =，12c =
时2
1()2g x x =-在区间[1,1]-的最大值为12
，
所以k 的最大值为1
2
. 【点睛】
本题考查一元二次函数的图象与性质、含参问题中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.
19．（1）2n n a =,21n b n =+；（2）()12122n n +-⋅+；（3）(),2-∞.
【解析】 【分析】
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据条件2432a a a =-可求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n a ，再由对数的运算可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和为n S ；
（3）利用数列单调性的定义求出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
最大项的值为3
2，由题意得出关于λ的不等式
23222k λλ-+>
对任意的0λ>恒成立，然后利用参变量分离法得出122k λλ
<+，并利用基本不等式求出1
22λλ
+在0λ>时的最小值，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由2432a a a =-可得2
2222a a q a q =-，
20a ≠，22q q ∴=-，即220q q --=，0q >，解得2q ，112n n n a a q -∴==.
2212log 12log 221n n n b a n =+=+=+；
（2）由（1）可得()212n
n n n c a b n =⋅=+⋅，
()123325272212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+
++⋅，
可得()()23123252212212n n n S n n +=
⋅+⋅+
+-⋅++⋅，
上式-下式，得
()1231
32222222212n n n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅()()()()1111181262126228212221212
n n n n n n n n -++++-=+
-+⋅=+⋅--+⋅=---⋅-，
因此，()1
2122n n S n +=-⋅+；
（3）
212n n n b n a +=，()()1111123422321122222
n n n n n n n n n n b b n n n a a ++++++-+++-∴-=-==， n N *
∈，120n ∴-<，即
1111202n n n n n b b n a a +++--=<，则有11n n n n
b b
a a ++<. 所以，数列n n
b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列，则数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的最大项为1132b a =.
由题意可知，关于λ的不等式2
3222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，1
22k λ
λ
∴<+
. 由基本不等式可得1222λλ+≥=，当且仅当12λ=时，等号成立，
则1
22λλ
+
在0λ>时的最小值为2，2k ∴<， 因此，实数k 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解，考查错位相减求和法以及数列不等式恒成立问题，涉及数列最大项的问题，一般利用数列单调性的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．（1）1n a n =+；（2）n T =2(2)
n
n +.
【解析】 【分析】
（1）利用n S 与n a 的关系可得11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式即可求解. （2）由（1）求出n b ，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】
解：（1）因为222n n n S a a +=+，①
所以当1n =时，2
11122a a a +=+，又0n a >，故12a =. 当2n ≥时，2
11122n n n S a a ---+=+，②。