四川省遂宁市第二中学2020届高考数学上学期模拟试题(二)文

四川省遂宁市第二中学2020届高考数学上学期模拟试题（二）文
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1.设集合{}
2
|+20A x x x =-<，{}3|log 0B x x =<，则A B =U （ ）
（A ） (2,1)- （B ） (0,1) （C ）(,1)-∞
（D ）
(1,1)-
2.已知i 是虚数单位，复数2
12i z i
=+，则复数z 的虚部为（ ）
（A ） 25i （B ） 25 （C ） 15i - （D ）15
-
3.已知向量()2,1a =r
，()2,sin 1b α=-r ，()2,cos c α=-r ，若()
a b c +∥r r r ，则tan α的
值为（ ） （A ）2 （B ）
1
2
（C ）12
-
（D ）2-
4.已知6
sin()4
π
α-=
，则sin 2α的值为（ ） （A ）
13
（B ）23 （C ） 33
（D ）
3
5
5.函数()(
)
3
2ln
1f x x x x =++-的图象大致为( )
6.田忌与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为( )
（A ）
23 （B ）34 （C ）45 （D ）56 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如
F
E
D
C
B
A
()102mod4=．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的
《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） （A ）20
（B ） 21 （C ） 22
（D ）23
8.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ）km 处. （A ）4 （B ） 5 （C ） 6 （D ）7
9.若直线1y kx =-与圆22
:220C x y x y +--=相交于,A B 两点，且ABC △的面积为1，则k =( )
（A ）
34
（B ）1- （C ）12- （D ） 32
10.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a c b << （B ）a b c << （C ） b c a << （D ）c a b <<
11.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点P 在椭圆上，
O 为坐标原点，若2OP =，且212PF PF a ⋅=，则该椭圆的离心率为（ ）
（A ）
34
（B 3（C ） 1
2
（D ）22 12. 如图，正四棱锥E ABCD -与F ABCD -的顶点,E F 恰为正方体上、下底面的中心，点,,,A B C D 分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为2，现有以下结论：
①正四棱锥E ABCD -与F ABCD -全等；
②当,,,A B C D 分别为四个侧面的中心时，异面直线
AE 与DF 所成角为60︒；
③当,,,A B C D 分别为四个侧面的中心时，
正四棱锥E ABCD -31
-；
④八面体EABCDF 的体积的取值范围为48,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
则正确的结论的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13.已知实数,x y 满足220220x y x y y x +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则z x y =+的最大值为________．
14.已知双曲线C ：2
2
18
y x -=的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线l 与C 的左、右两
支分别交于,A B 两点，且11AF BF =，则AB =________．
15.在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin A
C
=__________． 16.已知函数
()1
1
x f x e a x =+
-+在()1,-+∞有零点，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 为递减数列，且2
4732a a =，()2125n n n a a a +++=．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．
18. （本小题满分12分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的3组数据中有且仅有两组数据来自相邻两天的概率；
（Ⅱ）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y 关于温差x 的线性回归方程$$ˆy bx
a =+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，x b y a
ˆˆ-=．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且
222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒∆为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；
点,E M 分别为,PD PC 的中点． （Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；
（Ⅱ）求以,,,B M E D 四点为顶点的四面体的体积．
20. （本小题满分12分）
抛物线2
8x y =的焦点为F ，过点(1,2)P 的直线l 交抛物线于,M N 两点（,M N 不为抛物线的顶点），过,M N 分别作抛物线的切线12,l l 与x 轴的交于,B C ，12,l l 交点为A . （Ⅰ）求证：FB AB ⊥；
（Ⅱ）求证：当l 变化时，点A 在一条定直线上.
21.(本小题满分12分) 已知函数1()ln 21f x x x x
λ
λλ-=-+
+-. （Ⅰ）求()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）若01x <≤时，()0f x ≥，求λ的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,
2sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，
点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系.
（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB u u u v
u u u v
=，求k 的值.
23. [选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知0,0,0a b c >>>.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为2. （Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）证明:
1119
4
a b b c c a ++≥+++.
数学文科答案
1.设集合{}
2
|+20A x x x =-<，{}3|log 0B x x =<，则A B =U （ ）
A. (2,1)-
B. (0,1)
C. (,1)-∞
D. (1,1)-
【答案】A 【解析】
解不等式2+20x x -<得21x -<<，即()2,1A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=；所以()A B 2,1⋃=-. 故选A
2.已知i 是虚数单位，复数2
12i z i
=+，则复数z 的虚部为（ ）
A. 25
i B.
25
C. 15
i -
D. 15
-
【答案】B 【解析】 ∵1(12)12
12(12)(12)55
i z i i i i ---=
==-+++-， ∴复数z 的虚部为2
5
． 故选B ．
3.已知向量()2,1a =r
，()2,sin 1b α=-r ，()2,cos c α=-r ，若，则tan α的值为（ ）
A.2
B.
1
2
C.12
-
D. 2-
【答案】D 【解析】
(4sin )a b α+=r r ，，()
a b c +∥r r r Q ，4sin =
tan 22cos α
αα
∴⇒=--
4.已知sin(
)4
6
π
α-=
，则sin 2α的值为（ ）
A.
13 B.
23
C.
3
D.
3
5
【答案】B 【解析】 因为22
sin 2cos 212sin 243
ππααα⎛⎫⎛⎫=-=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 5.函数()(
)
32ln
1f x x x x =++-的图象大致为( )
【答案】C
【解析】因为()f x 的定义域为R ，且()(
)
32ln
1f x x x x -=-+++,()()0f x f x +-=，
所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除
B ，D ，因为
()(
)
11ln
21ln
021
f =+-=>+，所以排除A. 6.田忌与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ） A.
23 B.34 C.45 D.56
【答案】A
【解析】将齐王的上、中、下等马分别记为,,A B C ；田忌的上、中、下等马分别记为,,a b c 。

A B C a
+
b + + c
+
+
+
则齐王的马获胜概率6293
P =
= 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如
()102mod4=．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )．
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
【答案】C 【解析】
试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的22n =，故选C.
8. 某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ） km 处. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B
【解析】设仓库建在距离车站x km 处， 两项费用之和为()f x ，则
(
)20485f x x x =
+≥=，当5x =时取最小值． 9.若直线1y kx =-与圆2
2
:220C x y x y +--=相交于,A B 两点，且ABC △的面积为1，则k =( ) A.
34
B. 1-
C. 12
-
D.
32
【答案】A 【解析】
圆C :()()2
2
112x y -+-=，∵ABC △的面积为1， ∴AC BC ⊥∴圆心C 到直线
10kx y --=的距离为1
1= ，解34
k =
． 故选：A
10.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.a b c << C. b c a << D.c a b << 【答案】A 【解析】
551
log 2log 2
a =<<，0.50.5log 0.2log 0.252
b =>=，10.200.50.50.5<<，故1
12
c <<， 所以a c b <<．
11.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点P 在椭圆上，
O 为坐标原点，若2OP =，且212PF PF a ⋅=，则该椭圆的离心率为 （ ）
A.
34
B.
2 C. 12
D.
2
【答案】D
【解析】12PF PF ⊥，2
2
212
416PF PF c +==，
F
E
D
C
B
A
22212()(2)4PF PF a a +==
，221624a a a +=⇒=
c e a
==
12. 如图，正四棱锥E ABCD -与F ABCD -的顶点,E F 恰为正方体上、下底面的中心，点,,,A B C D 分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为2，现有以下结论：
①正四棱锥E ABCD -与F ABCD -全等； ②当,,,A B C D 分别为四个侧面的中心时，异面直线
AE 与DF 所成角为60︒；
③当,,,A B C D 分别为四个侧面的中心时，正四棱锥
E ABCD -
； ④八面体EABCDF 的体积的取值范围为48,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
则正确的结论的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】C
【解析】正确结论②③④
①,,,A B C D 可以上下移动，正四棱锥E ABCD -与F ABCD -不一定全等，故①不正确； ②DCF △为等边三角形，则60DFC ∠=︒，又有//AE FC ，异面直线AE 与DF 所成角为60︒，故②正确；
③正四棱锥E ABCD -的内切球半径r 即
高为1的等腰三角形的内切圆半径，考虑等腰三角形的面积
21
212
2
S r r ==
⋅⇒= ，故③正确；
④当,,,A B C D 位于正方体各个面的中心时取最小值
43
，
当,,,A B C D 位于正方体四条竖直
方向的棱的中点时取最大值
8
3
，故④正确.
13.已知实数,x y满足
220
220
x y
x y
y x
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≤
⎩
，则z x y
=+的最大值为________．
【答案】4
【解析】
不等式组对应的可行域如图所示，
当直线y x z
=-+经过点A时，直线的纵截距最大，z最大.
联立
220
y x
x y
=
⎧
⎨
--=
⎩
得()
2,2
A,所以
max
224
z=+=.
14.已知双曲线C：
2
21
8
y
x-=的左、右焦点分别是12
,
F F，过
2
F的直线l与C的左、右两支分别交于,A B两点，且11
AF BF
=，则AB=______4_______
【答案】4
【解析】设
11
=
AF BF m
=，由双曲线的定义
2
2
AF m
=+，
2
2
BF m
=-。

22
=4
AB AF BF
-=。

15.在ABC
△中，2
a=，3
b=，4
c=，则
sin2
sin
A
C
=
8
7
．
【答案】
7
8
【解析】
222
sin2sin
2cos
7
8
sin sin
A A a b c a
A
C C c bc
+-
=⋅=⋅=
16.已知函数()
1
1
x
f x e a
x
=+-
+在
()
1,
-+∞有零点，则实数a的取值范围是
____[
)2,+∞____． 【答案】[
)2,+∞ 【解析】
()2
1
'(1)x
f x e x =-
+
当2a =时，()f x 有一个零点0x =．
当2a >时,111
(1)0a f e a -+-+=>, (0)20f a =-<，则在
11,0)a
-+（存在一个零点． 1
(ln )01ln f a a
=
>+，则在0,ln )a （存在一个零点．
（17）（本小题12分）
已知等比数列{}n a 为递减数列，且2
4732a a =，()2125n n n a a a +++=．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．
【解析】（Ⅰ）对于数列{}n a ，由题得()
211662
3225n n n a q a q
a a q a q
⎧=⎪⎨+=⎪⎩（10a q ≠，*n N ∈）…………2分
解得132
12a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩
或1322a q =⎧⎨
=⎩，…………4分 又Q {}n a 为递减数列，则13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，∴6
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得183n b n =-，
当2≥n 时，13n n b b --=-，
故{}n b 是首项为115b =，公差为3-的单调递减等差数列. …………10分 又60b =，所以数列{}n b 的前5项为正数，
所以当5n =或6时，n S 取得最大值，且最大值为5645S S ==．…………12分
18. （本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的3组数据中有且仅有两组数据来自相邻两天的概率；
（Ⅱ）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y 关于温差x 的线性回归方程$$y bx
a =+$．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，x b y a
ˆˆ-=． 解：（Ⅰ）从5天任取3天的的所有可能
()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10种．
…………4分
3天中有且仅有两天相邻的6种，选取的3组数据中有且仅有两组数据来自相邻两天的概率
63
105
P =
= …………6分 （Ⅱ）由题意，计算111312123x ++=
=，253026
273y ++==， 31()()5i
i
i x x y y =--=∑，3
2
1
()
2i
i x x =-=∑
所以3
1
3
2
1
()()
5ˆ2
()
i
i
i i
i x x y y b
x x ==--==-∑∑，5ˆˆ271232a y bx =-=-⨯=- ∴y 关于x 的线性回归方程为$
5
32
y x =-； …………10分 当10x =时，22y =，且22232-<， 当8x =时，17y =，且17162-<．
∴所求得线性回归方程是可靠的．…………12分
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且
222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒∆为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；
点,E M 分别为,PD PC 的中点． （Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；
（Ⅱ）求以,,,B M E D 四点为顶点的四面体的体积． 【详解】（Ⅰ）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，
E Q 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，
则可得//EN AD ，且
1
2
EN AD =
； ………..2分 在梯形ABCD 中，//BC AD ，且1
2
BC AD =
，
//,BC EN BC EN ∴=，
所以四边形ENBC 是平行四边
形， ………4分
//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面
PAB ． ………..6分
法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，
E Q 为PD 的中点，
所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，
//OE ∴平面
PAB ， ………..2分
又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且1
2
BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，
//BC BA ∴，
又OC ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，
//OC ∴平面
PAB ， (4)
分
又OE OC O ⋂=Q ， 所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，
//CE ∴平面
PAB ． (6)
分
（Ⅱ）由,E M 为,PD PC 中点，11
24
DME DMP DCP S S S ==V V V 即1
4B DME B DCP
V V
--=
四面体四面体 ……….8分 11=22
BCD S BC AB ⋅=V
设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥Q ． 因
平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，
PO ∴⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P BCD -的高, ………..10分
易得3PO = ………..11分
13
=36BCD P BCD V PO S -=⋅V 四面体
13
4B DME B DCP V V --=四面体四面体………12分
20. （本小题满分12分）抛物线2
8x y =的焦点为F ，过点(1,2)P 的直线l 与抛物线交于,M N 两点（,M N 不为抛物线的顶点）
，过,M N 分别作抛物线的切线12,l l 与x 轴的交于,B C ，12,l l 交点为A .
（Ⅰ）求证：FB AB ⊥；
（Ⅱ）求证：当l 变化时，点A 在一条定直线上. 解：（Ⅰ）设22112211,
,,88M x x N x x ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21111:()48x x l y x x =-+，令0y =，得B 点坐标1(,0)2
x
B …………4分
1112041402
AB FB x k k x x ⎛⎫
-⋅=
=⋅-=- ⎪⎝⎭-，FB AB ⊥ …………6分 （Ⅱ）设直线:(1)2l y k x =-+
联立直线与抛物线 2
8(816)0x kx k -+-= 则128x x k +=，12816x x k =- …………8分
设(),A x y ，由2111222
2()48
()48x x y x x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
得121228x x x x x y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
42
x k
y k =⎧⎨
=-⎩，消去k 得，480x y --= 点A 在定直线480x y --=上. …………12分
21. (本小题满分12分) 已知函数1()ln 21f x x x x
λ
λλ-=-+
+-. （Ⅰ）求()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）若01x <≤时，()0f x ≥，求λ的取值范围. 解：（Ⅰ）注意到(1)0f =，()2
1(1)()x x f x x
λλ---'=
，
(1)0f '= ………4分
()f x 在1x =处的切线方程为0y = …………6分
（Ⅱ）若1
2
λ≤时，01x <≤，()0f x '≤，()f x 在(]0,1单减，()()10f x f ≥= …………8分 若
112λ<<时，111x λ-<<，()0f x '>，()f x 在11,1λ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，()()10f x f <= …………10分
若1λ≥时，01x <<，()0f x '>，()f x 在()0,1单增，()()10f x f <= …………11分
故λ的取值范围是1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
…………12分
22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,
2sin ,
x y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，
点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB u u u v
u u u v
=，求k 的值. 解：（Ⅰ）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，
所以
2cos 42,2
2sin ,
2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩
……3分
整理得()2
221x y -+=.即2
2430x y x +-+=，
化为极坐标方程为
24cos 30ρρθ-+=. ……5分
（Ⅱ）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，
因为3OA AB =u u u v
u u u v
，所以43OA OB =u u u v
u u u v
，即
1243ρρ=. ……6分
联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩
整理得
24cos 30ραρ-⋅+=. ……7分
则1212124,
3,43,
cos ρραρρρρ+=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得7
cos 8
α=
. ……9分 所以22
2
115tan 1cos 49k αα==-=，则
7
k =±
. ……10分 23.（本小题满分10分）已知0,0,0a b c >>>.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为2.
（Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）证明:
11194
a b b c c a ++≥+++ 解：（Ⅰ）∵()()()f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++ 当且仅当a x b -≤≤时,等号成立, …………3分
∴ ()f x 的最小值为a b c ++,∴2a b c ++=. …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, 2a b c ++=,且,,a b c 都是正数, 所以
()()()11111
11944a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++≥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭
…………9分
当且仅当1a b c ===时,取等号,所以
1119
4
a b b c c a ++≥+++得证 …………10分。