山西省忻州市2011届高三上学期联考数学理试题

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学校 姓名 联考证号
忻州市2010－2011学年高三第一次联考试题
数 学（理科）
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

注意事项：
1．考生答卷前务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、联考证号、座位号填写在试卷上，并用2B 铅笔在机读卡上规定位置涂黑自己的联考证号和考试科目。

2．选择题选出答案后，用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号。

如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．交卷时只交试卷和机读卡，不交试题，答案写在试题上的无效。

第 Ⅰ 卷 (选择题,共60分)
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合B A N y
y B N x x x x A 则*},4
|
{},,09|{*2∈=∈<-=中元素个数为 A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 复数122,12z i z i =-+=-+,则
1
2
z z 等于 A.i B.i -
C.45i +
D.53
i - 3. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为
A.
B.
C. D.6
4. 函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是 A.(3,4） B. (2,e)
C.(1,2)
D.(0,1)
5. 如图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为
A.?5≤n
B.?6≤n
C.?7≤n
D.?8≤n
6. 设函数)2
2
,0)(sin(3)(π
φπ
ωφω<
<->+=x x f 的图像
关于直线3
2π
=
x 对称,它的周期是π,则 A.)(x f 的图象过点)2
1
,0(
B.)(x f 在]3
2,12[π
π上是减函数
C.)(x f 的一个对称中心是)0,12
5(π
D.将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象.
7. 若函数)10()1()(≠>--=-a a a a k x f x
x
且在R 上既是奇函数,又是减函数,则
)(log )(k x x g a +=的图象是
A
C
D
8. 过点)2,1(M 的直线l 将圆9)2(2
2=+-y x 分成两段弧,当劣弧最短时,直线l 的方 程是
A.1=x
B.1=y
C.01=+-y x
D.032=
+-y x
9. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为135︒,则||1a b λ+
>的充要条件是
A.λ∈
B.(λ∈
C.(,(2,)λ∈-∞+∞
D.(,0)(2,)
λ∈-∞+∞
10. 如图,墙上挂有一边长为1的正方形木板,它的阴影部分 是由函数)10(y 22
1
≤≤==x x x y 和的图象围成的图形. 某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上 每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是
A.81
B.41
C.31
D.2
1 第5题图
A '
G
F
E
D
C B
A
11. 已知P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点,12,F F 分别为双曲线的左、右焦点,
若1221cos sin PF F PF F ∠=∠=则此双曲线离心率是
B.5
D.3
12. 已知21x x 、分别是函数c bx ax x x f +++=
22
13)(2
3的两个极值点,且)1,0(1∈x , )2,1(2∈x ,则1
2
--a b 的取值范围是
A.)4
1,1(--
B.)2,41(
C.)1,4
1( D.)4
1,(-∞∪),1(+∞
第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
非选择题：包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：（共9题，共80分） 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 点(5,3)M 到抛物线()20x ay a =>的准线的距离为6,则抛物线的方程是 ___ . 14. 在△ABC 中,已知5,8==AC BC ,三角形面积为12,则=C 2cos _____ . 15. 数列}{n a 中,*)(12,3511N n n a a a n n ∈-=-=+,则n
a n
的最小值是__________. 16. 如图,正ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交G , 已知ED A '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个 图形(A '不与F 重合).现给出下列四个命题: ①动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上; ②平面⊥'GF A 平面BCED ;
③三棱锥FED A -'的体积有最大值;
④异面直线E A '与BD 不可能垂直.其中正确的命题的序号是_________. 三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)
如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AC ＝3,
BC ＝4,5=AB ,AA 1＝4,.点D 是AB 的中点． (1)求证：AC ⊥BC 1；
(2)求二面角1D CB B --的平面角的正切值.
18.(本题满分12分)
已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142
=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项的和为n S ,且*1()2
n
n b S n N -=
∈． (1) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
(2)设n n n b a c =,求数列{}n c 的前n 项和.
19.(本题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下：
甲: 82 81 79 78 95 88 93 84 乙: 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,求出甲学生成绩的平均数以及乙学生成绩的中位
数；
(2)若将频率视为概率,对甲学生在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中
高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望ξE .
20.(本题满分12分)
已知函数)0()1()(2
>--=a e a
x x x f ax
. (1)求()f x 的单调区间； (2)若不等式3
()0f x a
+≥对任意x R ∈恒成立,求a 的范围. 21．(本题满分12分)
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构
成等边三角形. (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,设点A 关于x 轴的对称点为1A .求证:直线B A 1过x 轴上的一定点,并求出此定点坐标.
(二）选考题：共10分．请考生从给出的3道题中任选一题做答，并在答题卡上把所选题目
的题号打“√”。

注意所做题目的题号必须与所打“√”的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多选，则按所做的第一题计分。

22．(本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图,圆O 的直径AB=10,弦DE ⊥AB 于点H,AH=2．
(1)求DE 的长；
(2)延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，求PD 的长. 23．(本题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线Ｃ1的极坐标方程为θρcos 6＝,曲线C 2的极坐标方程为)(4
R ∈=ρπ
θ，曲线
C 1,C 2相交于点A 、B ．
(1)分别将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长．
24．(本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
(1)解关于x 的不等式|1|3x x +-≤；
(2)若关于x 的不等式1x x a +-≤有解，求实数a 的取值范围．
(2)解法一:过D 作BC DE ⊥于E ,则E 为BC 的中点，过E 做EF ⊥B 1C 于F,连接DF,
D 是AB 中点，∴//D
E AC ，又AC ⊥平面11BB C C
∴DE ⊥平面11BB C C ，
又
EF ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C
∴DE EF ⊥ ,1B C DE ⊥
∴1B C ⊥平面DEF ，DF ⊂平面DEF ∴1DF B C ⊥
∴EFD ∠是二面角1D B C B --的平面角 ………9分 AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4， ∴在DEF ∆中，DE EF ⊥，3
2
DE =
，EF =
∴3tan 4DE EFD EF ∠=== ∴二面角1D B C B --
的正切值为
4
………12分F E
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
解法二：以1CA CB CC 、、分别为x y z 、、轴建立如图所示空间直角坐标系………6分
AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，
∴(300)A ，，，(00)B ，4，
(000)C ，，，3
(20)2
D ，，，1(044)B ，，， ∴3
(20)2
CD =，，，1(044)CB =，，
平面11CBB C 的法向量1(100)n =，，， …………………8分 设平面1DB C 的法向量2000()n x y =，，z ，
则1n ，2n 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小
则由200210
030202
0440n CD x y n CB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩ 令04x =，则03y =-，03z = ∴ 2(4,3,3)n =- ……………10分
121212cos ||||34
n n n n n n ⋅<>=
=
⋅，，则123tan n n <>=，
………11分 ∵二面角1D B C B --是锐二面角 ∴二面角1D B C B --
的正切值为4
…………… 12分
∴1
11
.3n n n
b b q
-==
…………6分
x
(2)21
3n n n n
n c a b -==
，设数列{}n c 的前n 项和为n T ， 12313521
........3333n n n T -=++++ （1）
13n T ∴= 23411352321
(33333)
n n n n +--+++++ (2 ) …………9分 (1)(2)-得：
2312122221.....333333n n n n T +-=++++-=2311111212(.....)33333
n n n +-++++- 化简得：1
13
n n n T +=- …………12分
19. (12分) 解：（1）茎叶图如下：
…………2分
学生乙成绩中位数为84， …………4分
85)35124889290480270(8
1
=++++++++⨯+⨯+⨯=甲x …6分
（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， 则4
3
86)(==
A P …………8分 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ~)4
3,3(B ξ的分
布列为
………10分
4
9642736427264916410=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE ………12分
（或4
9433=⨯==np E ξ）
21(12分).解：(1)因为椭圆C 的一个焦点是（1,0），所以半焦距c=1.
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
所以21
=a c ，解得3,2==b a ,所以椭圆的标准方程为13422=+y x . ……4分 (2)设直线4:+=my x l 与1342
2=+y x 联立并消去x 得: 22(34)24360m y my +++=.
由∆=(24m ）-4×36×(3m 2+4)=16(9m 2-36)>0 得m>2或m<-2 设),(),,(2211y x B y x A ,4324221+-
=+m m y y ， 4
336
22
1+=m y y ………7分 由已知得A 1(x 1,-y 1)，根据题设条件设定点为T(t,0)， 得1TA TB K k =，即
1
122x t y
t x y -=-. ………9分
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所以13424)4()4(2
12
1212112211212=-=++=++++=++=
y y y my y y y my y my y y x y y x t
即直线B A 1过x 轴上一定点T(1,0).
24(10分)．解：设()|1|f x x x =+-，则21(1),
()1
(1).x x f x x -≥⎧=⎨
<⎩ …………4分
(1)2x -1≤3⇒x ≤2,即x ≥1时，不等式的解为1≤x ≤2,
…………6分 ∴原不等式的解集为{x |x ≤2}．
…………7分
(2)由于x ≥1时，函数y =2x -1是增函数，其最小值为f(1)=1,
当x <1时，()1f x =，∴)(x f 的最小值为1． …………9分
因为1-+x x ≤a 有解，即)(x f ≤a 有解，所以a ≥1． …………10分。