2024年新高考版数学专题1_8.1 空间几何体的表面积和体积(分层集训)

.
答案 6
3
C.12 3 +6 答案 C
D.12 3 +8
3.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球 面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 () A.36π B.64π C.144π D.256π 答案 C
4.(2020课标Ⅰ,文12,理10,5分)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1 为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积 为( ) A.64π B.48π C.36π D.32π 答案 A
2.(2022武汉部分重点中学联考,3)若一圆台的上底面半径为1,且上、下底
面半径和高的比为1∶2∶ 3 ,则圆台的体积为 ( )
A. 7 3
3
B.7 3
答案 C
C. 7 3
3
D.7 3π
3.(2023届浙南名校联盟联考,4)直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同
一球面上,若AB=3,AC=AA1=2,∠BAC=
考法二 与球有关的切、接问题 考向一 空间几何体的外接球问题
1.(2020天津,5,5分)若棱长为2 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球 的表面积为 ( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 答案 C
2.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC是面积为9 3 的等边三角形,且其顶
2
将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的
体积为 ( )
A. 2
3
B. 4
3
答案 C
C. 5
3
D.2π
3.(多选)(2023届湖北摸底联考,10)折扇是我国古老文化的延续,在我国已
有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善
行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千
27 4
,
64 3
答案 C
B.
27 4
,
81 4
D.[18,27]
6.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面 ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别 为V1,V2,V3,则 ( )
A.V3=2V2 B.V3=V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1 答案 CD
圆锥的侧面积为
.
答案 39π
6.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为 棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为 . 答案 1
7.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四
棱锥A1-BB1D1D的体积为
4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为 3 3 和4 3 ,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.100π B.128π C.144π D.192π 答案 A
5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,8)中国古代数学名著《九章算术》中 记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也,甍,屋盖也”.翻译为 “底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋 顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE、四边形 DCFE为两个全等的等腰梯形,EF∥AB,AB=BF=2EF=4,则此刍甍的外接球的 表面积为 ( )
高考 数学
专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
基础篇
考点一 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为2 ,其侧面展开图为一个 半圆,则该圆锥的母线长为 ( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案 B
2.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.
7.(多选)(2023届长沙长郡中学月考,10)正四棱锥P-ABCD的所有棱长为2, 用垂直于侧棱PC的平面α截该四棱锥,则 ( ) A.PC⊥BD B.四棱锥外接球的表面积为8π C.PA与底面ABCD所成的角为60° D.当平面α经过侧棱PC的中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几 何体体积之比为3∶1 答案 ABD
的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )
A.1 B.1
3
2
答案 C
C. 3
3
D. 2
2
5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球 面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3 3 ,则该正四棱锥体积的取值范围是
()
A.
18,
81 4
C.
A. 5 B. 5
答案 B
12
C. 5
5
D. 12
2.(2023届广州8月阶段测,4)2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计 灵感来于威尔·弗兰泡沫,威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文 胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一 个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该 多面体的表面积是 ( ) A.9 3 +6 B.9 3 +8
2.(2022辽宁大连模拟,6)现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥,其内部放 有一个小球,当小球体积最大时,该圆锥与小球的体积之比是 ( ) A.9∶4 B.9∶5 C.3∶2 D.3∶1 答案 A
3.(2022浙江丽水模拟)已知球O为正四面体ABCD的内切球,E为棱BD的中
点,AB=2,则平面ACE截球O所得截面圆的直径为
5.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值
为 7 ,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 15,则该圆锥的侧面
8
积为
.
答案 40 2 π
考向二 求空间几何体体积的方法
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2, 则四棱台的体积为 ( )
.
答案 1
3
综合篇
考法一 空间几何体的表面积和体积 考向一 求空间几何体表面积的方法
1.(2022广东中山模拟,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的
形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高(棱锥侧面三角形
4
底边上的高)的比值为 5 ,则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是
()
4
3
4
点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
()
A. 3 B. 3 C.1 D. 3
2
2
答案 C
3.(2022江苏南通重点中学强基测试,8)三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O 的球面上.PA=2,PB=3,PC=4,AB= 13,BC=5,AC=2 5,则球O的表面积为 () A.28π B.29π C.30π D.31π 答案 B
图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是
.
答案 1
考点二 空间几何体的表面积与体积
1.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为 ( ) A.8 B.6 2 C.8 2 D.8 3 答案 C
3.(2022全国甲,理9,文10,5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图
的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若 S甲 =2,则
S乙
V甲 = ( )
V乙
A. 5 B.2 2
答案 C
C. 10
D. 5 10
4
4.(2022全国乙,理9,文12,5分)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面
A. 4 11 π
11
C. 368 π
11
答案 C
B. 4 13 π
13
D.160 π
13
6.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上, PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点, ∠CEF=90°,则球O的体积为 ( ) A.8 6 π B.4 6 π C.2 6 π D. 6 π 答案 D
7.(2022山东青岛二中期末,15)已知A,B,C是半径为2的球O的球面上的三
个点,且AC⊥BC,AC=BC= 2 ,则三棱锥O-ABC的体积为
.
答案 3
3
考向二 空间几何体的内切球问题
1.(2022辽宁鞍山月考,4)正方体的外接球体积与内切球体积的比为( ) A.3 B.3 3 C. 3 D.2 答案 B
里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部
分),若两个圆弧
︵
DE
,
︵
AC
所在圆的半径分别是3和9,且∠ABC=120°,则该圆
台的 ( )
图1
图2 A.高为4 2
B.体积为 50 2π
3
C.表面积为34π D.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶22
答案 AC
4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开
3
,则此球的表面积为
(
)
A. 40
9
B. 40
3
答案 B
C. 32
3
D.32π
4.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点, 且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为 ( )
A. 2
12
B. 3
12
答案 A
C. 2
4
D. 3
4
5.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该
A.56 B.22
3
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问 题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水 面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔 148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为( 7 ≈2.65) ( ) A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 答案 C