甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析

甘肃高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．{ }C．{ }D．{}
2.命题“∀，||”的否定是（）
A．∀， ||B．∀， ||
C．∃，||D．∃，||
3.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）
A．B．C．D．||
4.设，，，则（）
A．B．C．D．
5.已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）
C．（2，4）D．（4，＋∞）
6.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．||是奇函数
C．||是奇函数D．||是奇函数
7.函数的图象大致是（）
8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的（）
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
9.将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝f（x）的周期为π
C．y＝f（x）的图像关于直线x＝对称
D．y＝f（x）的图像关于点对称
10.直线与曲线相切，则的值为（）
A．－2B．－1C．－D．1
11.已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增．若实数满足, 则
的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.已知函数,若,则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.＋＝________．
2.设,,则的值是________．
3.已知一元二次方程有两个根（为实数），一个根在区间内，另一个根在区间内，
则点对应区域的面积为________．
4.函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于______．
三、解答题
1.（本小题满分12分）设命题:实数满足,其中,命题:实数满足．
（1）若且为真,求实数的取值范围;
（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．
2.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．
3.（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝3，cos A＝，B＝A＋．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
4.（本小题满分12分）已知函数＝，其中a∈R，且曲线y＝在点（，）处的切线
垂直于直线．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
5.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求在区间[－2，1]上的最大值；
（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点A（－1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
6.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点
（Ⅰ）证明：∽△;
（Ⅱ）若的面积，求的大小．
7.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。

（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。

（2）试判定直线与圆C的位置关系。

8.（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲
已知函数
（1）解关于的不等式
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围。

甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．{ }C．{ }D．{}
【答案】B
【解析】由得，所以，选B．
【考点】集合的交集
2.命题“∀，||”的否定是（）
A．∀， ||B．∀， ||
C．∃，||D．∃，||
【答案】C
【解析】因为的否定为，所以“∀，||”的否定是∃，||，选C．
【考点】命题的否定
3.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）
A．B．C．D．||
【答案】B
【解析】定义域为R但为减函数；定义域是R且为增函数；定义域是且为增函数；
||定义域为R但在上单调递减，因此选B．
【考点】函数定义域及单调性
4.设，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以，选D．
【考点】比较大小
5.已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）
C．（2，4）D．（4，＋∞）
【答案】C
【解析】因为，且在上连续，所以包含的零点的区间是
（2，4），选C．
【考点】函数零点
6.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）
A．是偶函数B．||是奇函数
C．||是奇函数D．||是奇函数
【答案】C
【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以是奇函数，||是偶函数，||是奇
函数，||是偶函数，因此选C．
【考点】函数奇偶性
7.函数的图象大致是（）
【答案】A
【解析】因为，所以函数图像关于轴对称，不选C，又，所以不选B,D，选A．
【考点】函数奇偶性及值域
8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的（）
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】由正弦定理得,所以选A．
【考点】正弦定理
9.将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（）
A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝f（x）的周期为π
C．y＝f（x）的图像关于直线x＝对称
D．y＝f（x）的图像关于点对称
【答案】D
【解析】将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数，是偶函数，周期为2π，关于直线x＝0对称，关于点对称，选D．
【考点】三角函数图像变换与性质
10.直线与曲线相切，则的值为（）
A．－2B．－1C．－D．1
【答案】B
【解析】因为所以，因此选B．
【考点】导数几何意义
11.已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增．若实数满足, 则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以等价于，又在区间单调递增，所以，选C．
【考点】函数性质综合应用
12.已知函数,若,则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，；又，
当时，恒成立，，又，的取值范围是，选D．【考点】分段函数，不等式恒成立
二、填空题
1.＋＝________．
【答案】
【解析】，，＋＝
【考点】指对数式求值
2.设,,则的值是________．
【答案】
【解析】由，得：
【考点】三角函数给值求值
3.已知一元二次方程有两个根（为实数），一个根在区间内，另一个根在区间内，则点对应区域的面积为________．
【答案】
【解析】令，则即点对应区域为一
个三角形ABC，其中，面积为
【考点】线性规划求面积
4.函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于______．
【答案】12
【解析】因为周期为2，函数与皆关于点对称，而函数与共有12个交点，所有交点的横坐标两两关于对称，其和为
【考点】三角函数图像与性质
三、解答题
1.（本小题满分12分）设命题:实数满足,其中,命题:实数满足．
（1）若且为真,求实数的取值范围;
（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）研究复合命题真假，先分别求出命题为真的情形，再根据题目条件求相应命题的否定．当时，
，，又为真，所以真且真，由，得所以实数的取值范围为;（2）研究充要关系，首先明确方向，即明确充分性与必要性，再利用集合的包含关系进行求解．因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，即是的一个真子集，又，
，所以，解得
试题解析：（1）当时，，， 3分
又为真，所以真且真，
由，得
所以实数的取值范围为 6分
（2）因为是的充分不必要条件，
所以是的充分不必要条件， 8分
又，，
所以，解得
所以实数的取值范围为 12分
【考点】复合命题真假, 充要关系
2.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（1） 2 （2）π，，k∈Z．
【解析】（1）求特殊角的三角函数值，只需代入求值即可，＝sin＋1 ＝sin＋1＝2．（2）
要研究三角函数性质，必须先将三角函数化为基本三角函数，这需利用二倍角公式，降幂公式，配角公式：f（x）
＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1．因为T＝＝π，所以函数f（x）的最小正周
期为π．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
试题解析：f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1．
（1）＝sin＋1
＝sin＋1
＝2． 6分
（2）因为T＝＝π，所以函数f（x）的最小正周期为π．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z． 12分
【考点】二倍角公式，降幂公式，配角公式
3.（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝3，cos A＝，B＝A＋．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）．（2）
【解析】（1）已知两角及对边求另一对边，应该利用正弦定理，在△ABC中，sin A＝，sin B＝
sin＝cos A＝，由正弦定理可得，b＝
（2）三角形面积公式选用S＝absin C，则需求出sin C，sin C＝sin[π－（A＋B）] ＝sin（A＋B）＝sin Acos
B＋cos Asin B＝×＋×＝．因此△ABC的面积S＝absin C＝×3××＝．
试题解析：（1）在△ABC中，
由题意知，sin A＝
又因为B＝A＋，
所以sin B＝sin＝cos A＝
由正弦定理可得，b＝ 6分
（2）由B ＝A ＋得cos B ＝cos ＝－sin A ＝－．
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－（A ＋B ）， 所以sin C ＝sin[π－（A ＋B ）] ＝sin （A ＋B ）
＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝
×
＋
×
＝．
因此△ABC 的面积S ＝absin C ＝×3××＝
． 12分
【考点】正弦定理，面积公式
4.（本小题满分12分）已知函数＝
，其中a ∈R ，且曲线y ＝
在点（，
）处的切线
垂直于直线
．
（1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值． 【答案】（1）
（2） （0，5）上为减函数，（5，＋∞）上为增函数，极小值f （5）＝－ln 5,无极大值．
【解析】（1） 利用导数几何意义：y ＝
在点（，
） 处导数值等于该点处切线斜率，f′（x ）＝
，f′（1）＝－
－a ＝－2，解得a ＝．（2）利用导数求函数性质，首先明确函数定义域（0，＋∞），
再根据导函数符号求相应单调区间：f′（x ）＝
．令f′（x ）＝0，解得x ＝5．当x ∈（0，5）时，f′（x ）
＜0，故f （x ）在（0，5）上为减函数；当x ∈（5，＋∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（5，＋∞）上为增函数．由此知函数f （x ）在x ＝5时取得极小值f （5）＝－ln 5,无极大值． 试题解析：（1）对f （x ）求导得f′（x ）＝，
由f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线
知f′（1）＝－
－a ＝－2，解得a ＝
． 5分 （2）由（1）知f （x ）＝
则f′（x ）＝
．令f′（x ）＝0，解得x ＝－1或x ＝5．
因为x ＝－1不在f （x ）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．
当x ∈（0，5）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，5）上为减函数；
当x ∈（5，＋∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（5，＋∞）上为增函数． 由此知函数f （x ）在x ＝5时取得极小值f （5）＝－ln 5,无极大值． 12分 【考点】利用导数求函数单调区间及极值．
5.（本小题满分12分）已知函数． （1）求在区间[－2，1]上的最大值； （2）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线相切，求t 的取值范围； （3）问过点A （－1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论） 【答案】（1） （2） （－3，－1） ，（3）3,2，1
【解析】（1）利用导数求函数最值，需先求出区间所有导数为零的值，再与区间端点比较从而得到区间最大值．由f （x ）＝2x 3－3x 得f′（x ）＝6x 2－3．令f′（x ）＝0，得x ＝－
或x ＝
．因为f （－2）＝－10，
，
f （1）＝－1，所以f （x ）在区间[－2，1]上的最大值为
（2）切线问题，
往往从设切点出发：设过点P （1，t ）的直线与曲线y ＝f （x ）相切于点（x 0，y 0），则y 0＝2x 02－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 02－3，所以切线方程为y －y 0＝（6x 02－3）（x －x 0），因此t －y 0＝（6x 02－3）（1－x 0），4x 03－
6x 02＋t ＋3＝0，设g （x ）＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切”等价于“g （x ）有3个不同零点”．
当g （x ）有3个不同零点时，极大值大于零，极小值小于零，t 的取值范围是（－3，－1）．
（3）可按（2）的讨论方法确定：过点A （－1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在3、2、1条直线与曲线y ＝f （x ）相切
试题解析：解：（1）由f （x ）＝2x 3－3x 得f′（x ）＝6x 2－3． 令f′（x ）＝0，得x ＝－或x ＝
． 因为f （－2）＝－10，
，
f （1）＝－1， 所以f （x ）在区间[－2，1]上的最大值为
3分
（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线y ＝f （x ）相切于点（x 0，y 0）， 则y 0＝2x 03－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 02－3， 所以切线方程为y －y 0＝（6x 02－3）（x －x 0）， 因此t －y 0＝（6x 02－3）（1－x 0）， 整理得4x 03－6x 02＋t ＋3＝0， 设g （x ）＝4x 3－6x 2＋t ＋3，
则“过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切”等价于“g （x ）有3个不同零点”． g′（x ）＝12x 2－12x ＝12x （x －1）．
当x 变化时，g （x ）与g′（x ）的变化情况如下：
所以，g （0）＝t ＋3是g （x ）的极大值，g （1）＝t ＋1是g （x ）的极小值． 结合图像知，当g （x ）有3个不同零点时，
y ＝f （x ）相切时，t 的取值范围是（－3，－1）． 9分 （3）过点A （－1，2）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切；
过点C （0，2）存在1条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 12分 【考点】利用导数求函数最值，利用导数研究切线
6.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点
（Ⅰ）证明：∽△;
（Ⅱ）若
的面积
，求
的大小．
【答案】（1）详见解析 （2） ∠BAC ＝90°
【解析】（Ⅰ）证明三角形相似关键找出两对对应相等的角，由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD ．因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD ．故△ABE ∽△ADC ．（Ⅱ）因为S ＝AB·ACsin ∠BAC ，所以要求
的大小，关键求出AB·AC 与
关系，因为△ABE ∽△ADC ，所以
，即AB·AC ＝
AD·AE ．sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°．
试题解析：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD ．
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD ． 故△ABE ∽△ADC ． 5分 （Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以，即AB·AC ＝AD·AE ．
又S ＝
AB·ACsin ∠BAC ，且S ＝
AD·AE ，故AB·ACsin ∠BAC ＝AD·AE ．
则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，
所以∠BAC＝90°． 10分
【考点】三角形相似
7.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。

（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。

（2）试判定直线与圆C的位置关系。

【答案】（1）（t为参数），（2）相离
【解析】（1）求直线的参数方程，可根据倾斜角及定点直接写出：（t为参
数），求圆的极坐标方程，可先求其直角坐标方程，再利用将其化为极坐标方程：（2）判定直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判定。

因为直线的普通方程为，所以圆心M到的距离为，即直线与圆C相离．
试题解析：（1）直线的参数方程（t为参数）
M点的直角坐标为（0，4）圆C半径
图C方程得代入
得圆C极坐标方程 5分
（2）直线的普通方程为
圆心M到的距离为
∴直线与圆C相离。

10分
【考点】直线参数方程，圆的极坐标方程，直线与圆位置关系
8.（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲
已知函数
（1）解关于的不等式
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围。

【答案】（1）时（），时无解，（2）．
【解析】（1）解含绝对值不等式关键是根据绝对值对应分类讨论不等式：当时无解；当
，，不等式解集为（）
（2）图象恒在图象上方可等价转化为对应不等式恒成立问题：，再将不等式恒成立问题转化为函数最值问题：，设，则取得最小值4，故
试题解析：（1）
当时无解
当
∴不等式解集为（）（） 5分
（2）图象恒在图象上方，故
设
做出图象得出当时取得最小值4，故时
图象在图象上方。

10分【考点】解含绝对值不等式，不等式恒成立。