四川省乐山市井研县实验高级中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

四川省乐山市井研县实验高级中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设p：x＜3，q：﹣1＜x＜2，则p是q成立的（）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解：令A=（﹣∞，3），B=（﹣1，2），
由B?A，
得p是q的必要不充分条件，
故选：C．
2. 已知菱形ABCD的两个顶点坐标：，则对角线BD所在直线方程为
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 下列命题中是假命题的是（）
A．若a＞0，则2a＞1
B．若x2+y2=0，则x=y=0
C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列
D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1；
B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0；
C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列；
D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列．
【解答】解：对于A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1，故正确；
对于B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0，故正确；
对于C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列，故错；
对于D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列，故正确．
故选：C．
4. 观察下列事实的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12，……，则的不同整数解的个数为（）
A．76 B．80 C． 86 D． 92
参考答案：
B
记的不同整数解的个数为，则依题意有，
，，……，由此可得，所以的不同整数解的个数为，选B.
考点：归纳推理.
5. 一直线过点其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线的方程等于：
A. B.
C. D.
参考答案：
B
6. 为正实数，为虚数单位，，则（）
A．2 B. C. D.1
参考答案：
B
7. 已知△的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于（）
A． B．C．D．参考答案：
D
8. 执行如下程序，输出的值为
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
9. 曲线与直线有且仅有两个公共点，则的取值范围是 ( )
A (－1,1)
B (－∞，－1]∪[1，＋∞)
C [－1,1]
D (－∞，－1)∪(1，＋∞)参考答案：
A
10. 函数在点处的切线方程是（）
....
参考答案：C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于．
参考答案：
12. 已知方程x2- ( 1 - i )x + m + 2i = 0有实根，若m ? R，求
m= 。

参考答案：
-6
13. 在平面直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时则的大小为
参考答案：
120°
略
14. 已知，则
=
参考答案：
略
15. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同。

则双曲线的方程为。

参考答案：
略
16. 已知圆O ：x 2
+y 2
=4，直线l 的方程为x+y=m ，若圆O 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则实数m= ．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
【分析】根据题意可得圆心O 到直线l ：x+y=m 的距离正好等于半径的一半，可得 =1，由
此求得m 的值．
【解答】解：由题意可得圆心O 到直线l ：x+y=m 的距离正好等于半径的一半，即 =1，
解得 m=±， 故答案为±
．
17. 已知抛物线y 2=4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，
=2，则直线l
的斜率为 ．
参考答案：
2
【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用
=2，求出A 的坐标，利用斜率公式求出直线l 的斜率．
【解答】解：设A 的横坐标为x ，则 ∵
=2，BC=1，
∴AB=2
， ∴A（2，2
），
∵F（1，0），
∴直线l 的斜率为=2
，
故答案为：2
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设是公比大于1的等比数列，
为数列的前项和．已知，且
构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
参考答案：
解：（1）由已知得
解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知
，即，解得．
．
故数列的通项为．
19. 椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆
上任意一点．已知
的最大值为3，最小值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且
以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案：
解析：（1）是椭圆上任一点,且，
．
当时，有最小值；当或时, 有最大值．，，．
椭圆方程为．
（2）设，，将代入椭圆方程得
．
．
，，，
为直径的圆过点，，
或都满足，
若直线恒过定点不合题意舍去，
若直线：恒过定点．
20. 已知椭圆(a>b>0)的离心率为，过双曲线左支上一点M作直线l 与双曲线的渐近线l1，l2分别交于A,B两点.
(1)求渐近线l1,l2的方程；
(2)若,求椭圆的方程.
参考答案：
(2)设
19.(本小题满分12分)
设函数．
⑴求函数的单调区间；
⑵若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
19. ⑴，………………2分
令，得，
∴的增区间为和，…………………4分
令，得，
∴的减区间为．……………………6分
⑵因为，令，得，或，
又由⑴知，，分别为的极小值点和极大值点，………8分
∵，，，
∴，……………………………11分
∴．……………………………12分
略
22. 已知函数，，为自然对数的底数．（1）若，，证明：当时，恒成立；
（2）若，，f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点，求a的取值范围．
参考答案：
（1）详见解析；（2）.
【分析】
（1）根据导函数求出函数的单调性得函数的最值，即可得证；
（2）求出导函数，将问题转化为讨论的零点问题.
【详解】解：（1）由题知，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当时，，命题得证；
（2）由题知：，，
所以与，在上正负同号，
当时，没有零点，在上没有极值点；
当时，令，则
当时，，在）上单调递减，
当时，，在上单调递增，
若，即，，在上没有极值点
若，即；因为，所以在上有1个零点；
由（1）知：所以，
所以在上也有1个零点；
所以，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，在上有两个极值点：；
所以
【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决函数的最值问题，根据函数函数的极值点个数求参数的取值范围，涉及转化与化归思想.。