线性模型 案例分析

2000 t0.05 (14) s(2000) = 7.3231 2.15 0.6742
= 5.8736, 8.7726
(2.67)
从而得出预测结果，2000年若采伐木材20万m3，产生木材剩余物的点估 计值是7.3231万m3。平均木材剩余物产出量的置信区间估计是在 [5.8736, 8.7726] 万m3之间。从而为恰当安排2000年木材剩余物的加工生
由图1.1、1.2可以看出国内生产总值与消费的增长都很快。国内生产 总值曲线的波动幅度相比较大。消费曲线的波动幅度相对较小。这与宏 观消费行为具有“惯性”有关。他既不可能随时间突然大幅增加，也不可 能随时间突然大幅减少。
1952-1978
平均增长 年增长率的
率
标准差
GDP 5.76%
0.10
消费 4.79%
案例1：用回归模型预测木材剩余物
（一元线性回归模型（file:b1c3）） 伊春林区位于黑龙江省东北部。全区有森林面积2189732公顷，木 材蓄积量为23246.02万m3。森林覆盖率为62.5%，是我国主要的木材工 业基地之一。1999年伊春林区木材采伐量为532万m3。按此速度44年之 后，1999年的蓄积量将被采伐一空。所以目前亟待调整木材采伐规划与 方式，保护森林生态环境。为缓解森林资源危机，并解决部分职工就业 问题，除了做好木材的深加工外，还要充分利用木材剩余物生产林业产 品，如纸浆、纸袋、纸板等。因此预测林区的年木材剩余物是安排木材 剩余物加工生产的一个关键环节。下面，利用简单线性回归模型预测林 区每年的木材剩余物。显然引起木材剩余物变化的关键因素是年木材采 伐量。 伊春林区16个林业局1999年木材剩余物和年木材采伐量数据见附 表。散点图见图2.14。观测点近似服从线性关系。建立一元线性回归模 型如下：
(2.66)
s2(2000) = (+ ) = 4.1453 (+) = 0.4546
s(2000) == 0.6742 因为
E(2000) = E(+x2000 ) = 0 + 1 x2000 = E(y2000)
t = t (T-2)
则置信度为0.95的2000年平均木材剩余物E(y2000)的置信区间是
图1.3 年消费率曲线（1952-2002） 图1.4 居民消费与总消费比的变化曲线（19522002）
图15 宏观消费比率与居民消费比率曲线（1952-2002）
下面分析消费率（消费额 / 国内生产总值，1952-2002）序列的变 化。见图1.3，总的来说变化幅度较大。
（1）从趋势看，中国宏观消费比率值的变化是逐年下降。消费比 率数据对时间t（1952 =1）的回归结果如下：
产提供依据。
附数据如下： 林业局 名
乌伊岭 东风 新青 红星 五营
年木材剩余 物yt（万m3）
26.13 23.49 21.97 11.53 7.18
年木材采伐量 xt（万m3） 61.4 48.3 51.8 35.9 17.8
上甘岭 友好 翠峦 乌马河 美溪 大丰 南岔 带岭 朗乡 桃山 双丰 合计
第2列给出相应项的回归参数估计值（和）。第 根据Eviews输出结果（图2.15），写出OLS估计式如下：
= -0.7629 + 0.4043 xt
(-0.6) (12.1)
(2.64) R2 = 0.91, s. e. = 2.04
其中括号内数字是相应t统计量的值。s.e.是回归函数的标准误差， 即=。R2是可决系数。R 2 = 0.91说明上式的拟合情况较好。yt变差的91% 由变量xt解释。检验回归系数显著性的原假设和备择假设是（给定 = 0.05）
估计1的置信区间。由 t = P { t0.05 (14) } = 0.95
得 t0.05 (14)
1的置信区间是 [- t0.05 (14) , + t0.05 (14) ] [0.4043 - 2.15 0.0334, 0.4043 + 2.15 0.0334]
[0.3325, 0.4761]
(2.65)
以95%的置信度认为，1的真值范围应在[0.3325, 0.4761 ]范围中。
下面求yt的点预测和置信区间预测。假设乌伊岭林业局2000年计划采 伐木材20万m3，求木材剩余物的点预测值。
2000 = - 0.7629 + 0.4043 x2000 = -0.7629 + 0.4043 20 = 7.3231万m3
9个行星与太阳的距离和绕太阳公转一周的时间之间有什么规律？刻 卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630，德国人）坚信9个行星绕太阳运行， 一定有规律可循。经过艰苦的努力，他终于发现了行星运行第三定律，
T2 = D3
obs 水星 金星 地 火星 木星 土星 天王 海王
球
星星
DISTANCE 0.387 0.723 1 1.52 5.2 9.54 19.2 30.1
yt = 0 + 1 xt + ut
图2.14 年剩余物yt和年木材采伐量xt散点图
图2.15 Eviews输出结果
Eviews估计结果见图2.15。 下面分析Eviews输出结果。先看图2.15的最上部分。LS表示本次回 归是最小二乘回归。被解释变量是yt。本次估计用了16对样本观测值。 输出格式的中间部分给出5列。第1列给出截距项（C）和解释变量xt。
6.80 18.43 11.69 6.80 9.69 7.99 12.15 6.80 17.20 9.50 5.52 202.87
17.0 55.0 32.7 17.0 27.3 21.5 35.5 17.0 50.0 30.0 13.8 532.00
例2: 刻卜勒（J. Kepler）行星运行第三定律 （file:kepler3）
ratio = 0.7581 – 0.0036t (62.9) (-8.8) R2 = 0.61 （1952-2002） 51年间消费比率值平均每年减少0.0036。 （2）以1978年为界，改革开放之前（19491978）消费比率曲线波 动大，改革开放之后（19792002）消费比率曲线波动小（见图1.5和表 1）。19521978年宏观消费比率值的均值是0.7057，标准差是0.0656。 1979-2002年宏观消费比值的均值是0.6206。标准差是0.0324。改革开放 以后宏观消费比率值平均比改革开放前下降0.085。随着时间的推移， 消费比率的均值减小，标准差减小。改革开放之后标准差减小说明宏观 消费比率值的波动在减小，中央政府调控宏观经济的能力逐步在提高。 （3）宏观消费比率的最小值是0.5660，最大值是0.8379。都发生在 上世纪50年代末和60年代初的经济困难时期。最小值0.5660发生在1959 年是由于基本建设投资的极度扩张造成的（1958和1959年基本建设投资 的年增长率分别是87.7%和30.0%）。最大值是0.8379发生在1962年是由 于执行经济调整政策，首先解决人民生活所致。 （4）中国宏观消费比率值自1993年起跌破0.60大关。1995年达到 最低点0.575。近10年来，宏观消费比率值基本上在0.60以下徘徊，平均 值是0.5876。在中央政府努力扩大消费的政策下虽然宏观消费比率值在 1999和2000年回升至0.60以上，但2001和2002年又跌落到0.60以下。当 然这并不意味着中国宏观消费绝对值的减少。相反，宏观消费总量一直 在快速提高。因为固定资产投资以更快的速度增长，所以导致宏观消费 比率值偏低。 （5）图1.4给出居民消费占总消费的比率曲线。该比值从0.91直线 下降至0.76。这一方面反映出政府消费越削越增的过程，同时也反映出 居民消费占总消费的比率变得越小。
Time 0.24 0.615 1 1.88 11.9 29.5 84 165
D3 0.057 0.377 1 3.512 140.6 868.3 7078 27271
T2 0.057 0.378 1 3.534 141.6 870.2 7056 27225
log(T) = 1.5 log(D) + (4492) R2 = 0.999999, s.e.= 0.002
把地球与太阳的距离定为1个单位。地球绕太阳公转一周的时间为1 个单位（年）。那么太阳系9个行星与太阳的距离（D）和绕太阳各公 转一周所需时间（T）的数据（第谷（B. Tycho）的观测数据）如下：
obs 水星 金星 地 火 木 土 天 海 冥 球星 星 星 王 王 王 星星星
DISTANCE 0.387 0.723 1 1.52 5.2 9.54 19.2 30.1 39.5 Time 0.24 0.615 1 1.88 11.9 29.5 84 165 248
H0：1 = 0； H1：1 0
图2.16 残差图
因为t = 12.1 > t0.05 (14) = 2.15，所以检验结果是拒绝1 = 0，即认为年木材 剩余物和年木材采伐量之间存在回归关系。上述模型的经济解释是，对 于伊春林区每采伐1 m3木材，将平均产生0.4 m3的剩余物。
图2.16给出相应的残差图。Actual表示yt的实际观测值，Fitted表示yt 的拟合值，Residual表示残差。残差图中的两条虚线与中心线的距离表 示残差的一个标准差，即s.e.。通过残差图可以看到，大部分残差值都 落在了正、负一个标准差之内。
0.05
1979-2002
平均增长 年增长率的标
率
准差
9.15%
0.044
9.18%
0.040
首先结合图1.3对国内生产总值序列的增长率变化做进一步分析。 1952-1957年国民收入呈较稳步发展。以不变价格计算，平均年增长率 为7.97%。1958年开始的大跃进使经济发展速度突然加快。在计划经济 体制下，这种人为的提高经济发展速度超出了国家物质基础所能承受的 限度，所以在维持了短短两年超高速增长（1958年的年增长率为 16.9%，1959年的年增长率为11.4%）之后，经济发展便出现了大倒退。 1960年几乎为零增长。1961和1962年连续2年出现建国以来从未有过的 负增长（分别为-27.2% 和 -11.1%）。由于国家及时采取了一系列经济 调整措施，1963-1966年国民经济迅速得到恢复，并出现持续高增长态 势。上述4年的增长率分别为17.8%, 15.8%, 16.1% 和12.5%。1966年开始 的文化革命使中国经济进入一个很不稳定的发展阶段。1967和1968年国 民经济再度出现负增长，随后经济发展出现“振荡”现象。自1978年实行 改革开放政策以来，在由计划经济向市场经济转变过程中，经济发展突 飞猛进。1952-1978年国民收入年平均增长率为5.76%。1978-2002年的 年平均增长率为9.15%。后一时期是前一时期的1.6倍（不变价格）。在 后一时期里，经济增长速度如此之高，持续时间如此之长，发展趋势如 此之稳定，在我国的经济发展史上是没有先例的。
下面分析中国的消费问题。为消除物价变动因素以及异方差的影 响，以下分析所用的数据均为不变价格数据（1952 = 1）以及分别取自 然对数后的数据。
图1.1给出不变价格的国内生产总值与消费曲线，图1.2和图1.3分别给 出国内生产总值与消费的年增长率曲线。
图1.1 国内生产总值与消费（不变价格）曲线 图1.2 国内生产总值与消费年增长曲线
log(T) = (3/2) log(D), 2 log(T) = 3 log(D), log(T2) = log(D3) T2 = D3
案例3 中国宏观消费分析（file:china）
摘自经济蓝皮书《2004年：中国经济形势分析与预测》和第1 章案例
按照我国现行国民经济核算体系，国内生产总值（按支出法计算） 是由最终消费、资本形成总额和货物与服务的净出口之和三部分组成。 前两部分占绝大多数。其中最终消费又分为居民消费和政府消费两类。 而居民消费又可分为农村居民消费和城镇居民消费。
在这种核算体系下，居民消费包括居民个人日常生活中衣、食、 住、用等物质消费以及在文化生活服务性支出中属于物质产品的消费。
政府消费包括国家机关、国防、治安、文教、卫生、科研事业单 位，经济建设部门的事业单位，人民团体等非生产机构使用的燃料、电 力、办公用品、图书、设备等物质消费。
国内生产总值中最终消费与资本形成总额的比例关系，即旧核算体 系下国民收入中消费与积累的比例关系是国民经济正常运行的最基本的 比例关系。如果这一比例关系发生严重失调，最终会成为制约经济正常 运行的严重障碍。