2017年高考数学(理)一轮复习 专题13 导数的概念及其运算(押题专练)

专题13 导数的概念及其运算（押题专练） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料
1.曲线y ＝a x
在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12
B.2
C.ln 2
D.ln 12
解析 由题知y ′＝a x
ln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0，1)，故切线方程为x ln a －y ＋1＝0，∴a ＝1
2
.
答案 A
2.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2
，则f ′(0)等于( ) A.2
B.0
C.－2
D.－4
解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D
3.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e
B.－e
C.1e
D.－1e
4.曲线y ＝e －2x
＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为
( )
A.13
B.12
C.23
D.1
解析 y ′|x ＝0＝(－2e
－2x
)|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e
－2x
＋1在点(0，2)处的切线方程为y
＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝1
3
.
答案 A
5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A.－1
B.0
C.2
D.4
解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－1
3，
∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可
知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝0.
答案 B
6.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝
f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )等于( )
A.－sin x －cos x
B.sin x －cos x
C.－sin x ＋cos x
D.sin x ＋cos x
7.已知曲线y ＝1
e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为( )
A.x ＋4y －2＝0
B.x －4y ＋2＝0
C.4x ＋2y －1＝0
D.4x －2y －1＝0
解析 y ′＝－e
x
（e x ＋1）
2＝
－1e x
＋1e
x ＋2
，因为e x ＞0，所以e x
＋1e x ≥2e x
×1e
x ＝2(当且仅当
e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x
＋1e
x ＋2≥4，故y ′＝
－1e x
＋1e
x ＋2
≤－1
4当(x ＝0时取等号).
当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－1
4
(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A. 答案 A
8.已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________.
9.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝
f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.
答案 x －y －2＝0 10.求下列函数的导数： (1)y ＝x n
lg x ； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 3(2x ＋1). 解 (1)y ′＝nx
n －1
lg x ＋x n
·
1
x ln 10
＝x
n －1
⎝
⎛⎭⎪⎫n lg x ＋1ln 10. (2)∵y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，
∴y ′＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫4x ＋2π3′
＝－12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)y ′＝
1（2x ＋1）ln 3·(2x ＋1)′＝2（2x ＋1）·ln 3
.
11.已知曲线y ＝13x 3＋4
3
.
(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.
解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2
，
∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.
12.设函数f (x )＝ax －b
x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，
由y ′＝1＋3x
2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0
).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0
). 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。