高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四aa高一数学

＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．
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(2)给定一个角 α，则角π－α 的终边与角 α 的终边有什 么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π－α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称，sin(π－
α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．
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探究点一 给角求值问题
[典例精析]
1．求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；
119π (3)cos 6 .
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[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝ －sin(3×360°＋120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 23.
所以 tan(π＋α)＝tan α＝－34.故选 D. 答案：D
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[课堂归纳领悟] 1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公 式的应用． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)解决给角求值问题，见探究点一； (2)解决化简求值问题，见探究点二； (3)解决给值(式)求值问题，见探究点三.
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内容 总结 (nèiróng)
第1ge
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(1)已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为
()
A．1
B．－1
C.13
D．－13
(2)已知 cos(α－55°)＝－13，且 α 为第四象限角，则 sin(α
＋125°)的值为________．
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[解] (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采 用切化弦，有时也将弦化切．
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[针对训练]
2
．
化
简
：
sin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ] sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）
(k∈Z)．
解：当 k 为奇数时，不妨设 k＝2n＋1，n∈Z，
＝
________．
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[解] (1)cos（－siαn）（tπan－（α7）π＋α）＝cos αtsainn（απ＋α）＝
cos
α·tan sin α
α＝sin
sin
α α＝1.
(2)原式＝sicno（s（4×18306°0°＋＋α）α）·[－·cossin（（31×803°60° ＋－ α）α） ]
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[针对训练] 1．求 sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135° 的值．
解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°
＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°
＝sin（sπin＋ （θ－）θ·）co·sc（osπθ－θ） ＝－si－n sθin·θ（·－cocsosθθ）＝－1.
综上，sin[（sikn＋（1k）ππ－＋θ）θ]··ccooss[（（kkπ＋＋1）θ）π－θ]＝－1.
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探究点三 给值（式）求值问题
[典例精析]
3．若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2 ，0，则 tan(π－α)等于(
)
A．－12
B．－
3 2
C．－ 3
解析：因为 sin(π＋α)＝－sin α，
3 D. 3
根据条件得 sin α＝－12，
又 α∈－π2 ，0，所以 cos α＝
1－sin2α＝
3 2.
所以
tan
α＝sin
cos
α α＝－
1 ＝－ 3
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3．本节课要牢记诱导公式的内容 (1)诱导公式二、三、四可以概括成：f(π＋α)＝±f(α)， f(－α)＝±f(α)，f(π－α)＝±f(α)，其中等号右边的“±”号 只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如
sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而 α 是锐
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.
(2)∵cos(α－55°)＝－13＜0，且 α 是第四象限角．
∴α－55°是第三象限角．
∴sin(α－55°)＝－
1－cos2（α－55°）＝－2
3
2 .
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]
第1课时(kèshí) 诱导公式二、三、四
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一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P23～P26 的内容，回答下列问题． (1)给定一个角 α，则角π＋α 的终边与角 α 的终边有什么 关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称，sin(π＋α)
π α≠ 2 ＋kπ，k∈Z．
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(2)在△ABC 中，你认为 sin A 与 sin(B＋C) ，cos A 与 cos(B ＋C)之间有什么关系？
提示：∵A＋B＋C＝π，即 B＋C＝π－A， 故 sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)， cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
公式三 sin(－α)＝ －sin_α cos(－α)＝ cos_α tan(－α)＝ －tan_α
公式四 sin(π－α)＝ sin_α cos(π－α)＝－cos_αtan(π－α)＝－tan_α
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3.公式一～四的应用
记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值．
＝－sin(α－55°)＝2 3 2.
12答/9/20案21 ：(1)D
22 (2) 3
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[类题通法] 解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特 点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选 择恰当的三角公式化简求值．
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[针对训练]
＋tan(180°－45°)
＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°
＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30
°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°
则原式＝ssiinn[（（22nnπ＋＋2）ππ－＋θ）θ]··ccooss[（（22nnπ＋＋2）ππ＋－θ）θ]
＝sin（π－sinθθ）··ccooss（θπ＋θ）
＝ sin 12/9/2021
sθin·θ（·－cocos sθθ）＝－1；
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当 k 为偶数时，不妨设 k＝2n，n∈Z， 则原式＝sin[（si2nn（＋21n）ππ－＋θ）θ]··ccooss[（（22nnπ＋＋1）θ）π－θ]
1.特殊角的终边对称性
(1)π＋α 的终边与角 α 的终边关于 原点 对称，如图①； (2)－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴 对称，如图②； (3)π－α的终边与角α的终边关于 y 轴 对称，如图③.
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2.诱导公式
公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α cos(α＋2kπ)＝cos α tan(α＋2kπ)＝ tan_α 公式二 sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_αtan(π＋α)＝ tan_α
＝（sin－αco·s cαos）（·s－inα）α＝－cocsosαα＝－1.
答案：(1)1 (2)－1
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[类题通法] 利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角 的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有 没有改变；
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三、综合迁移·深化思维 (1)诱导公式一、二、三、四中的角 α 有什么限制条件？
提示：sin(α＋2kπ)，sin(π±α)，sin(－α)，cos(α＋
2kπ)，cos(π±α)，cos(－α)公式中的 α∈R；而 tan(α＋
2kπ)，tan(π±α)，tan(－α)中的
角，则π＋α 为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故 符号取“－”．
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(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角 α 的，如果 α 为其他范围的角也都成立，这就是说，使用这些诱导公式， 不必限定 α 为锐角，但是用口诀“函数名不变，符号看象限” 时，都把 α 看作锐角记忆，即便 α 不是锐角，上述公式也全 部成立．
3 3.
所以
tan(π－α)＝－tan
α＝
3 3.
答案：D 12/9/2021
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4. 已知α为第二象限角，且 sin α＝35，则 tan(π＋α)的值是
()
4 A.3
3 B.4
C．－43
D．－34
解析：因为 sin α＝35且 α 为第二象限角，
所以 cos α＝－ 1－sin2 α＝－45， 所以 tan α＝csoins αα＝－34.
＝ 22× 23－ 23×12－1＝
6－ 3－4 4.
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探究点二 化简求值问题
[典例精析]
2．(1)化简：cos（－siαn）（tπan－（α7）π＋α）＝________；
(2)
化
简
sin（1 440°＋α）·cos（α－1 080°） cos（－180°－α）·sin（－α－180°）
(3)给定一个角 α，则角－α 的终边与角 α 的终边有什么 关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称，sin(－α)
＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．
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二、归纳总结•核心必记
(2)tan 945 ° ＝ tan(2×360 ° ＋ 225 ° ) ＝ tan 225 ° ＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1196π＝cos20π－π6 ＝cos－π6 ＝cosπ6 ＝
3 2.
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[类题通法] 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤