课时跟踪检测四十三 圆的方程

课时跟踪检测(四十三) 圆的方程
1. (2014·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A ．x 2＋y 2＋2x ＝0
B ．x 2＋y 2＋x ＝0
C ．x 2＋y 2－x ＝0
D ．x 2＋y 2－2x ＝0
2. (2013·石家庄模拟)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )
A ．6
B ．11
2
C ．8
D ．212
3. (2014·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ． 2
4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ( )
A ．⎝⎛⎭⎫x ±3
32＋y 2＝43
B ．⎝⎛⎭⎫x ±3
32＋y 2＝13
C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝43
D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝13
5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．9π
6．(2014·杭州一模)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )
A ．⎝⎛⎦⎤－∞，1
4 B ．⎝⎛⎭⎫0，1
4 C ．⎝⎛⎭
⎫－1
4，0 D ．⎣⎡⎭
⎫－1
4，＋∞ 7. (2014·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A ，B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．
8．已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为______________________．
9．已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为
________________．
10. 已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．
11. (2014·蚌埠质检)已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．
(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；
(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．
12．(2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2
2
，求圆P 的方程．
答 案
1．选D 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.
2.选B 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y
－3＝1，即3x －4y －12
＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2
＝16
5，
∴△ABP 的面积的最小值为1
2
×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 3．选C 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，所以此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即5
1＋k 2
＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.
4．选C 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2
3π，设圆心(0，a ), 半
径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23
，即r 2＝43，|a |＝3
3，
即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝43
.
5．选B 设P (x ，y )，由题意知有，(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知点P 的轨迹所包围的图形是半径为2的圆，则圆的面积为4π.
6．选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤1
4
. 7．解析：依题可设圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)， 且⎝⎛
⎭
⎫322
＋b 2＝1，可解得b ＝12，
所以圆C 的标准方程为 (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －1
22＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭
⎫y －1
22＝1 8．解析：设圆心C
的坐标为(m ，n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋12－n －1
2＋1＝0，
n ＋1
m －1
·1＝－1，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝－2，
n ＝2，即圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r ＞0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92
.
答案： (x ＋2)2＋(y －2)2＝9
2
9．解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又知过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.
答案：x －y －2＝0
10．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆
心O 到直线的距离为
12a 2＋b 2
＝
22，所以a 2＝1－1
2
b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋(b －1)2＝
12b 2－2b ＋2＝2
2
(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2－1≤|PM |≤2＋1，
所以圆M 的面积的最小值为π(2－1)2＝(3－22)π. 答案：(3－22)π
11．解：(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ， ∴k AD ＝－3，∵点(－1,1)在边AD 所在的直线上， ∴AD 所在直线的方程是
y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y －6＝0，
3x ＋y ＋2＝0得A (0，－2)．
∴|AP |＝
4＋4＝22，
∴矩形ABCD 的外接圆的方程是 (x －2)2＋y 2＝8.
(2)证明：直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，
由|QP |2＝(3－2)2＋22＝5＜8知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交， 设l 与圆P 的交点为M ，N ， |MN |＝2
8－d 2(d 为P 到l 的距离)，
设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝ 5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－1
2
，
故l 的方程为y －2＝－1
2(x －3)，
即直线l 的方程为x ＋2y －7＝0. 12．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .
由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2， 从而y 2＋2＝x 2＋3.
故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)． 由已知得|x 0－y 0|2
＝2
2.
又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，
从而得⎩⎪⎨⎪⎧
|x 0－y 0|＝1，
y 20－x 20＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝0，y 0＝－1.
此时，圆P 的半径r ＝ 3.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝0，y 0＝1.
此时，圆P 的半径r ＝ 3.
故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.。