2016届高考数学理科一轮复习课件3-7正弦定理和余弦定理

课前自修
2. (2014·珠海高三摸底考试)在△ABC 中， “A＝60°”是“cos
A＝21”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
栏
目
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
链
解析：因为在△ABC中，0°＜A＜180°，故A＝60°
cos
A＝
1 2
，
接
即“A＝60°”是“cos A＝12”的充要条件，故选C.
课前自修
二、关于三角形内角的常用三角恒等式
由 A＋B＋C＝π，知 A＝π－(B＋C)可得出 sin A＝_s_in_(_B_＋__C_，)
cos A＝_－__c_o_s_(B__＋．C)
栏 目
而A2 ＝π2 －B＋2 C，有
B＋C
B＋C
sinA2 ＝_c_o_s___2__，cosA2 ＝__si_n___2__．
思路点拨：已知两边及其夹角，求第三边或已知三边求其内
角，用余弦定理来求．
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
点评：余弦定理的适用条件：
(1)已知两边及其夹角，求第三边；
(2)已知三边，解三角形；
(3)已知两边及一边的对角求第三边(利用方程思想)．
栏 目
链
接
第二十二页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
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栏
目
课前自修
链 接
第五页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
基础回顾
一、三角形中的各种关系
设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C.
1．三内角的关系：___A_＋__B__＋__C__＝．π
栏
2
．
边
与
边
关
系
：目 链
a_＋___b_>__c_，__b_＋___c_>__a_，__c_＋___a_>__b_，__a_－__b_<__c_，__b_－__c_<_a__，__c－__a__<__b_.
答案：(1)B (2)3 3
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考点探究
变式探究 1．(1)(2013·江门一模)在△ABC中，若∠A＝152π，∠B＝14π，
AB＝6 2，则AC＝( D )
栏
A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
目 链
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C
目条件b＋c＝7联立，可解得b＝4，c＝3.
答案：(1)23π (2)4
第二十三页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
变式探究
2．(1)在△ABC中，若三个内角A、B、C满足sin2A＝sin2B＋ 3
sin B·sin C＋sin2C，则角A等于( D )
A．30° B．60°
栏 目
所以AB2＋BC2＝5，
所以(AB＋BC)2＝AB2＋BC2＋2AB·BC＝5＋4＝9，
所以AB＋BC＝3，
所以△ABC的周长等于AB＋BC＋AC＝3＋ 3，故选A.
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考点探究
考点3 正(余)弦定理、三角形面积公式的 应用
【例3】 在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c，已知c＝
成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．
第十页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修 基础自测
1．在△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b＝2，
π
π
B＝ 6 ，C＝ 4 ，则△ABC 的面积为( B )
栏
目
A．2 3＋2
B. 3＋1
链
C．2 3－2
接
D. 3－1
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课前自修
4．(2013·汕头二模)在△ABC，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，且 a＝ 2，c＝ 3，A＝45°，则角 C＝_6_0_°__或__1_2．0°
解析：在△ABC中，有正弦定理可得sina A＝sinc C，
栏
即 sin
425°＝sin3C，解得
sin C＝
23，
目 链 接
接
＝120°，c＝ 2a，则( A )
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
第十九页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
解析：(1)∵∠A＝152π，∠B＝14π，AB＝6 2，∴C＝13π，
则由正弦定理可得，siAnBC＝siAnCB.
6 ∴AC＝
2×
2 2 ＝4
考点探究
变式探究
3．(1)在△ABC中，A＝120°，b＝1，面积为
π
2，C＝ 3 .
栏 目
(1)若△ABC的面积等于 3，求a，b；
链
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
接
解析：(1)由余弦定理及已知条件得
a2＋b2－4 2ab
＝
1 2
，即a2＋b2－ab＝4.又因为
△ABC的面积等于
3
，所以
1 2
absin
C＝
a2＋b2－ab＝4， ab＝4，
∴C＝60°或120°.
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
栏
目
考点探究
链 接
第十五页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
考点1 用正弦定理求边、角
【例1】 (1)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使
AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝( )
栏
目
A.3
10 10
为a2＝b2＋
3 bc＋c2，即b2＋c2－a2＝－
3 bc，所以cos
A＝
b2＋c2－a2 2bc
＝－ 23，因为A是三角形内角，所以A＝150°.故选D. (2)由题意可得12AB·BC·sin ∠ABC＝ 23，
栏 目
即21AB·BC· 23＝ 23，所以AB·BC＝2.
链 接
再由余弦定理可得3＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosπ3 ＝AB2＋BC2－2，
解得a＝2，b＝2.
3 ，得ab＝4. 联立方程组
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
即sin Bcos A＝2sin Acos A，
当cos A＝0时，A＝π2 ，B＝π6 ，a＝4 3 3，b＝23 3；
接
3．边与角关系：
(1) 正 弦 定 理 ： ___si_na_A__＝_s_i_nb_B_＝__s_inc__C_ ＝ 2R(R 为 △ ABC 外 接 圆 半径)．
(2)余弦定理：___ca_22_＝＝__a_b2_＋2_＋_b_c2_2－－__22_ab_b_cc_co_os_s_AC__，__b_2_＝___a.2＋c2－2accos B，
3，故选D.
栏
3
目
2
链
(2)由正弦定理得sina A＝sinc C＝
2a＝2 3
2a，所以sin 3
A＝
46.显然A为锐
接
2
角，得cos A＝ 410，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝
30－ 8
6，比较易得sin A>sin B，即2Rsin A>2Rsin B，所以a>b.故选A.
为最大边且a2＜b2＋c2或A为最大角且A＜90°⇔锐角三角形；⑤若sin A 目
＝sin B⇔等腰三角形；⑥若sin 2A＝sin 2B⇔等腰三角形或直角三角
链 接
形．
2．基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进
行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下
两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一
第二十页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
考点2 用余弦定理求边、角
【例2】 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
栏
目
(2)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos
B＝－
1 4
，则b＝
链 接
________．
5 5
，所以sin
∠CED＝
栏 目
55·sin ∠EDC＝ 55·sin 3π 4 ＝ 1100.故选B.
链 接
(2)由正弦定理知2R＝
3 sin 60°
，∴R＝1.∴△ABC周长为l＝
2sin A＋2sin C＋ 3 ＝2sin A＋2sin(120°－A)＋ 3 ＝2 3
sin(A＋30°)＋ 3≤3 3.
栏
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，
目
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得a＝2
3
3，b＝4
3
3 .
链 接
所以△ABC的面积S＝21absin
C＝2
3
3 .
点评： 在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方
程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用．
第二十七页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
解析：(1)由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，根
据余弦定理cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2aabb＝－12.又因为角C为△ABC的内
角，故C＝23π.
栏
(2)在△ABC中，利用余弦定理cos
B＝
a2＋c2－b2 2ac
，即－
1 4
＝
目 链
4＋（c＋b4）c （c－b）＝4＋7（4cc－b），化简得8c－7b＋4＝0，与题 接
栏
目
链
接
第十七页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
解析：(1)由题意知，在Rt△BCE中，EB＝EA＋AB＝2，EC＝
EB2＋BC2＝ 4＋1＝ 5，在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC
＝π4 ＋π2 ＝3π 4 ，
由正弦定理得 sin sin
∠CED ∠EDC
＝
DC CE
＝
1＝ 5
C．120° D．150°
链
接
(2)(2013·宁德质检)已知△ABC的面积为
3 2
，AC＝
3 ，∠ABC
π ＝ 3 ，则△ABC的周长等于( A )
A．3＋ 3
B．3 3
C．2＋ 3
33 D. 2
第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
解析：(1)根据正弦定理将sin2A＝sin2B＋ 3sin B·sin C＋sin2C化
第六页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
它们的变式有：cos A＝_____2_b_c_____，cos B＝___2__a_c____， a2＋b2－c2
cos C ＝ ____2_a_b______ ， a ∶ b ∶ c ＝
____s_i_n__A__∶__s_i_n__B_∶___s_i_n__C__________，
链 接
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
三、三角形度量问题
求边、角、面积、周长及有关圆半径等.
条件 角角边
边边角
边边边 边角边
栏
适用定 正弦定 正弦定理或余 余弦定 余弦定
目
理
理
弦定理
理
理
链
其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的 接
个数：
A<90°
A≥90°
a≥b
B.
10 10
链 接
5
5
C. 10 D. 15
(2)在△ABC中，B＝60°，AC＝ 3 ，则△ABC周长的最大值
为________．
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
点评：利用正弦定理解三角形的两种类型：
(1)若已知两角与任意一边，则可求其他边和角；
(2)若已知两边和其中一边对角，则可求其他边和角．
a<b
a>b a≤b
a>bsin A
a＝ bsin A
a<bs in A
一解
两解
一解
无解
一 解
无解
第九页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
四、判断三角形的形状特征，必须深入 地研究边、角间的关系
1．几个常用基本结论：①a＝b或A＝B⇔等腰三角形；②a2＋b2＝
c2或A＝90°⇔直角三角形；③a2＞b2＋c2或A＞90°⇔钝角三角形；④若a 栏
栏
目
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin

C＝___si_n__A__．
链 接
(3) 常 用 三 角 形 面 积 公 式 ： S △ ＝ _12_a_h_a＝__21_a_b_s_i_n_C__＝__12_a_c_s_in__B_＝__21_b_c_s．in A
第七页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
第十二页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
3．在△ABC中，若A＝75°，B＝45°，AB＝6，则AC＝
________2． 6
解析：由已知得C＝60°，由正弦定理
AC sin B
＝
siAnBC，得AC＝AsBisninCB＝6ssiinn6405°°＝2 6.
栏 目 链 接
第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
高考总复习数学（理科）
第一页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
第三章 三角函数与解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
第二页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
栏
目
考纲要求
链 接
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考纲要求
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单 的三角形度量问题.
栏 目 链 接