第三章[1].动力学和动量定理 第三部分 动量定理讲课稿

d (Mvvc ) dt
tt
积分得： ( t
v Fi )dt
Mvvc
Mvvc0
v Pc
v Pc0
i
即合外力的冲量等于质心动量的增量——质心动量定理。
因此，质点组的总动量即可以表示为：
P
N
mi vi
i 1
也可以表示为：
P
Mvc
质点组动量守恒
若系统所受合外力为零，则有动量守恒关系：
v
P
N
mivvi Mvvc C
Yc
1 M
ycdm
1 M
R
0 y边 (2x边dy边 )
1 M
R
0 y边 (2
R2
y边2
dy边 )
4R
3
即质心位置为（0， 4R ）。
3
质心系：
如图所示，坐标原点始终跟随质心，坐标轴不转动
例 3 质量分别为 m1 和 m2 的两个质点，用长为
l 的轻绳连接，置于光滑的平面内，绳处于自然
伸长状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度
5.
在相对论中
，动
量
仍为
P
mv。 但 质
量
为
m
m0
/
1
v2 c2
，仍有：
F
dP
d
(mv) 。此时质量与速度有关，而速度是时间的函数，所以不能将
dt dt
质量视为恒量。
例 6 如图所示，质量为 M ，半径为 R 的球，放在一个质量相同，内半径为 2R 的 大球壳内。它们置于一质量也为 M 的槽的底部。槽置于光滑的水平面上。释放后， 球最终静止于槽的底部，问此时槽移动了多远？
m2
d 2r2 dt 2
m3
d 2r3 dt 2
推广多个质点组成的质点组可以得到：
质心运动定律：
v F
i
v Fi
M
d 2rvc dt 2
Mar c
质心：
M N mi ， rvc ( N mirvi ) / M
i 1
i
质心速度：
r N r
vc ( mivi ) / M
i
质心加速度：
arc ( N miari ) / M
是 m1 相对质心的距离， v1' , v2' 分别是 m1 和 m2
相对质心的速度，
分别为： v1' 0 vc , v2' v0 vc
质心速度： vc
m10 m2v0 m1 m2
，
联立得： T （mm1 1mm2v2）02 l
。
质点组运动定理与守恒定律
质点的动量定理 质点组动量定理 质心动量定理 质点组动量守恒 质心系下质点组动量
v0 ，求此时绳中的张力。
解：由于两个质点是自由置于光滑的平面上，所以 m2 获得初速度的瞬时，并不绕 m1 作
圆周运动，而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1 ， m2 分别
应用牛顿第二定律：
T
m1
v1'2 xc1
m2
l
v2'2 xc1
其中， xc1
m10 m2l m1 m2
例 8 如图所示，子弹 m1 以初速v0 水平入射到静止的木块 m2 上（地面与木块之间有摩擦），求入 射后， m1, m2 的共同速度 v 。
解：以 m1, m2 为研究对象，在碰撞过程中，尽管系统受到地面的摩擦力和弹 簧弹性力的作用，但是，这些外力远小于内力，而且作用时间很短，近似 认为系统动量守恒，即， m1v0 (m1 m2 )v
解：对 M 和 m 构成的系统应用质点组动量定理：
I外 (M m)g t (Mv2 mv1) 0
对 m 应用动量定理： mg t mv1 0
联立得： I 外 (M 2m)v1 Mv2
质心动量定理
由质心运动定律：
i
v Fi
M
d 2rvc dt 2
M&rv&c M
dvvc dt
其中， v 是木板相对地面的速度， v人 是木板上的人相对地面的速度，
由相对速度变换可得关系式： v人＝v u ，
联立解得： v u 。 2
本题中已知的是人对板的相对速度，而对人和板构成的系统是以地面为参照系 动量才守恒。因此，在动量表达式中，所有量都要针对地面而言。
质心系下质点组动量
无论是惯性系还是非惯性系下，质点组的动量定理可以统一表示为：
M大 rr大 m小 rr小 m其他 rr其他 M 大 m小 m其他
rr
rr
rr
3m(15i 6 j ) m(4i 9 j ) 3m(xci yc j )
依据质心定义有：
3m m 3m
1 7
[(49
3xc
r )i
(3 yc
9)
r j]
联立解得：另三块小碎片组成系统的质心在此时的位置坐标 (7,3)
质点组质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法 质心系
质点组质心与质心运动定律
F1
f 21
f 31
m1
d 2r1 dt 2
F2
f12
f 32
m2
d 2r2 dt 2
F3
f13
f 23
m3
d 2r3 dt 2
上述三式相加有：
F1
F2
F3
m1
d 2r1 dt 2
i
tt
t
Fiydt Py P0 y
i
tt
t
Fizdt Pz P0z
i
例 5.质量为 M 的板静止于水平桌面上，板上放有一质量为 m 的小物 体。当板在水平外力的作用下从小物体下抽出时，物体与板的速度分 别为 v1 和 v2 。已知各接触面之间的摩擦系数均相同，求在此过程中所 加水平外力的冲量。
解：建立如例 4 图所示的坐标系，以球为研究对象，应用动量定理，
x 方向： Fx t m(v cos 45) mv0
y 方向： Fy t mvsin 45 0
解得： F Fx2 Fy2 624N
质点组动量定理
v tt
t (F1
v f21
v f31 )dt
m1vv1 (t
t) m1vv1(t)
解：系统在二维平面上运动，质心位置可记为： rrc
r Xci
Yc
r j
，且 t
0时，
Xc
0,Yc
0 。由于
物体在运动过程中并没有受到外力作用，系统动量守恒，质心速度不变，所以， t 时刻，
Yc 0, Xc vc t ，并设此时另三块小碎片组成系统的质心位置坐标 (xc , yc ) 。
rrc
2. 动量守恒的条件是合外力为零。当在合外力远小于内力，且作用时间很 短的情况下，如炸药在空中爆炸、对软弹簧的碰撞、小摩擦下的碰撞问题 等，动量守恒可以近似成立。
3. 即使体系的总动量不能满足动量守恒条件，但如果某个方向上体系所受 合外力为零，或合外力远小于内力，此方向上可以用动量守恒定律。
4. 定理和定律中各物体速度必须相对同一参照系，应注意相对速度、牵 连速度和绝对速度之间的关系。
v tt
t (F2
v f12
v f32 )dt
m2vv2 (t t) m2vv2 (t)
v tt
t (F3
v f13
v f23 )dt
m3vv3 (t t) m3vv3 (t)
其中， f 21 f12 , f13 f31, f 23 f32 为质点之间的相互内力。
三式相加有：
A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由此三质点组成的体
系的质心的位置。
解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
rvc
mA rvA mB rvB mD mA mB mD
rvD
4mD
rvA 2mD rvB mD rvD 4mD 2mD mD
பைடு நூலகம்4rvA
2rvB 7
tt t
v (F1
v F2
v F3
)dt
m1vv1(t
t)
m2vv2
(t
t)
m3vv3
(t
t)
m1vv1 (t ) m2vv2 (t) m3vv3(t)
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
tt
I t
v Fidt
N
mivvi (t t)
N
mivvi
(t)
v P
rvD
将已知数据代入可求得质心的坐标为：1, 2, 2
(2) 连续质点组的质心
rvc
lim
N
i
mi rvi
1
MM
rvdm
mi 0
xc
1 M
xdm,
yc
1 M
ydm, zc
1 M
zdm
(3) 规则形状、密度均匀的物体的质心
例 2 求半径为 R 、质量分布均匀的半圆形薄板的质心位置。设圆心在 原点，薄板位于 xoy平面中的 y 0的一侧。
i
质心的特点与求法
1. 质心特点――与参照系选取无关
rvjc
rvj
rvc
(
i
mi )rvj M
mi rvi
i
M
i
mi (rvj rvi ) M
(
rvjc ' rvj ' rvc '
i
mi )rvj '
M
mirvi '
i
M
i
mi (rvj ' rvi ') M
由于， rvj rvi rvj ' rvi'
所以， rvjc rvj'c 。
2. 质心的求法
(1) 分立质点组的质心
å rvc = ( N mirvi ) / M
i= 1
在直角坐标系下可以表示为：
mi xi
mi yi
mi zi
xc
i
M
, yc
i
M
, zc
i
M
例 1 A B D 三质点在某一时刻的位置坐标分别为：3, 2,0 、1,1,4 、3,8,6 ，
解：如例 2 图所示，设质心坐标为（ Xc ，Yc ），平板的 质量为 M ，密度为 。因为平板质量分布均匀，且圆心
在原点，由对称性知 Xc 0 。对于板边缘上的每一点有， x边2 y边2 R2 。将半圆形板分割成无数个平行于 x 轴的细 条，每细条的质心为（0， yc y边 ），则系统的质心为：
v P0
i 1
i 1
i 1
tt
其中， I t
v
Fidt ， P
N
mivi ，分别称为质点组所受合外力的冲
i 1
i 1
量和总动量。上式表明：质点组所受合外力的冲量等于质点组动量的
变化量---质点组的动量定理。
在直角坐标系下，质点组动量定理的分量形式可表示为：
tt
t
Fixdt Px P0x
解：以槽、球壳和球为研究对象，虽然系统总的动量 不满足动量守恒的条件，但系统在水平方向上不受合 外力，因此水平方向动量守恒。又由于系统在水平方 向上的初始质心速度为零，因此，系统在水平方向上 质心位置不变。建立如图所示的坐标系有：
2M 0 MR
xc0
3M
，
xc
3Mx 3M
，
xc0
xc
解得： x 1 R 0 ，向右移动。
第三章 动力学和动量定理 第三部分 动量定理
一、质点组质心运动定理 二、质点组动量定理与守恒定律 三、质点组动量定理应用
知识单元与知识点小结
引入质点组的质心概念，导出质心所满足的方程，用以描述质点组 的整体运动规律。引入力的冲量和质点的动量概念，以牛顿第二定 律为基础，对力进行时间效果累计，导出质点的动量定理，进一步 推广为质点组动量定理，并在特殊条件下转化为守恒定律，以获得 力对时间累计效果的运动定理。作为质点组动量定理的应用，讨论 变质量物体与附体之间的相互作用力关系式，并对火箭发射等变质 量系统进行举例分析。
由此确定共同速度:
v
m1 m1 m2
v0
。
例 9 置于冰面上长为 l 、质量为 M 的均匀分布的木板，板右端站质量也为 M 的人（视为质点）。当人相对板以 u 向左运动，求板运动速度 v 与人运动速度 的关系。
解：该系统在水平方向所受合外力为零，则水平方向动量守恒。取向右为正方向，
有： Mv Mv人 0 ，
3
例 7 一物体在光滑水平面上以 5 米/秒的速度沿 x 正方向运动。当它到达坐标原点时，由于 内部原因而突然分裂成五块碎片，其中四块质量相等，而另一块的质量为其它任一碎片的三 倍。这些碎片均沿水平面继续运动，经过 2 秒后，大碎片的位置坐标为（15，-6），某一小 碎片的位置坐标为（4，9），求由另三块小碎片组成的系统的质心在此时的位置。
vv
vv
（F外+F惯）dt Pc' Pc'0
对于质心系，它有可能是惯性系，也有可能是非惯性系。
如果质心系是惯性系，则
Fv外＝0，avc
v 0,F惯＝0
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
F
d (mv)
dt
tt
v Fdt
mvv(t
t)
mvv(t)
t
定义：P
mv，称为质点的动量，Iv
v t t t Fdt 称为力在 t 时间内的冲量。
外力的冲量等于质点动量的改变量——质点的动量定理。
例 4 一质量为 0.15千克的棒球以v0 40米/秒的水平速度飞来，被棒打击后，速度 仍沿水平方向，但与原来方向成135 角，大小为v 50 米/秒。如果棒与球的接触时 间为 0.02 秒，求棒对球的平均打击力。
i 1
推论一、如果体系初始的质心速度为零，则体系内部各质点在相对运动 过程中，质心位置保持不变。
推论二、如果体系的质心具有初始速度，则在以后的运动过程中，体系 的质心速度不变。
针对质点组的动量定理和动量守恒，进行如下几点总结：
1. 只适用于惯性系。在处理非惯性系中的质点组问题时，考虑加惯性力， 并将其当成外力处理。