西安高新一中沣东中学数学高二下期末知识点总结(含解析)

一、选择题
1．函数f (x )＝3sin(2x －6π
)在区间[0，2
π]上的值域为( ) A ．[32-，3
2
] B ．[3
2
-，3]
C ．[
D ．[3] 2．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=
D ．2410x y ++=
3．非零向量a b ，满足：a b a -=，()
0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°
D ．45°
4．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛
⎫=++≤ ⎪⎝
⎭，若ππ,612x ⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭
，()f x 的图象恒在
直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫
⎪⎝
⎭ B ．ππ,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
D ．ππ,63⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 5．若将函数1()cos 22
f x x =的图像向左平移6π
个单位长度，则平移后图像的一个对称中
心可以为（ ） A ．(
,0)12
π
B ．(
,0)6
π
C ．(
,0)3π
D ．(
,0)2π
6．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为（ ）
A ．1 B
C D ．2
7．已知4
cos 25
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．
725
B ．725
-
C ．
2425
D ．2425
-
8．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =
++，x ∈R .在复平面上，设复
数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）
A ．14
-
B ．
14
C ．12
-
D ．
12
9．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫
=+>><∈
⎪⎝⎭
在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）
A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12
倍，再向左平移6π
个单位
B ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向右平移12π
个单位
C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6
π
个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
12
π
个单位
10．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形
C ．菱形
D ．直角梯形
11．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为
（ ） A ．
1
2
B ．0
C ．12
-
D ．2- 12．若()
2sin sin
sin
7
7
7
n n S n N π
ππ
︒=+++∈，则在中，正数的
个数是（ ） A ．16
B ．72
C ．86
D ．100
13．设sin
1
+=43
π
θ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-
B ．19
-
C ．
19
D ．
79
14．已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，其中
*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）
A ．n θ随着n 的增大而增大
B ．n θ随着n 的增大而减小
C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小
D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大
15．设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的图象向右平移
43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．
3
4
B ．
23
C ．
43
D ．
32
二、填空题
16．已知|a|=1，(
)b=1
3，，(
)
b a a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_______________. 17．已知ABC ∆是顶点为A 腰长为2的等腰直角三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()
PA PB PC ⋅+的最小值是__________．
18．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________.
19．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则
FA FB FC ++=______．
20．已知()1,3a =-，()1,b t =，若()
2a b a -⊥，则b =_________． 21．将函数()2sin(2)6
f x x π
=-
的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原
点对称，则φ的最小值为__________．
22．已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θ
θ
=+________________．
23．已知()1
sin 3
x y +=
，()sin 1x y -=，则tan 2tan x y +=__________． 24．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________. 25．已知()1
tan 2
αβ+=
，()tan 1αβ-=-，则sin 2sin 2αβ的值为__________．
三、解答题
26．
已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ-
上的值域 27．已知函数()2sin()1(0)6
f x x π
ωω=-
->的周期是π.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）求()f x 在[0,]2
π
上的最值及其对应的x 的值.
28．已知圆
．
（1）求过点(3,0)Q 的圆C 的切线l 的方程；
（2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足
2,0,AM AP NP AM =⋅=求N 点的轨迹．
29．已知函数()2
23sin cos 2cos f x x x x =+．
（1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数()f x 在区间63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 30．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点. （1）若//PA PB ，求OP 的坐标；
（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．A 3．A
4．C
5．A
6．B
7．B
8．B
9．B
10．C
11．C
12．C
13．A
14．B
15．D
二、填空题
16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模
17．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶
18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB
20．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
21．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后
伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟
22．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求
23．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题
24．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2
25．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.
详解：
[]0,,20,2x x ππ⎡⎤
∈∴∈⎢⎥⎣⎦
， 52,666x π
ππ⎡⎤∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 12,162sin x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
()332,362f x sin x π⎛
⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】
由题得1210(21)(1)0,,2101
x x m x y y y ⎧-==
⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，
所以直线l 过定点P
1
12
（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得
211
2,1202
CP l k k -=
=-∴=-, 所以112,24
m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
先化简()
0a a b ⋅-=得2
=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =
，最后求a b -与b 的夹
角. 【详解】
因为()
0a a b ⋅-=，所以22
0=a a b a a b -⋅=∴⋅，，
因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =
，
设a b -与b 的夹角为θ，
则()2
cos a b b a b b a b b
a b
θ-⋅⋅-=
==-22
2
22
2||
a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．C
解析：C 【解析】
分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛
⎫=++≤
⎪⎝
⎭，ππ,612x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，324
x π
π
ϕϕϕ+∈-
++（，），
又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，
222333304
2cos x cos x π
πϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，
解得04
π
ϕ≤≤
；
∴ϕ的取值范围是π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
．
故选C ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23
y x π
=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】 向左平移
6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，则其对称中心为
(),0122k k Z ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 构造函数
，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦
函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，F
（x 2,故|MN|2,故选B
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合诱导公式可得：4
sin cos 25
παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
则2
2
47cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)
2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)
cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264
f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭时，11()sin 2264f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(
,1)12
π求得3
π
ϕ=
，函数解析式
()sin(2)3f x x π
=+，比较解析式cos sin()2
y x x π
==+，根据图像变换规律即可求解. 【详解】
由()()sin 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
∈ ⎪⎝
⎭
在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅
=+，解得=2ω，图象过点(,1)12
π
，代入解析式得1sin(2)12π
ϕ=⨯+，
因为2
πϕ<，所以3π
ϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，
因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的1
2
得
sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再向右平移12π
个单位得sin[2()]sin(2)()
1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】
本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为
()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.
考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得
()
1
2
AP BP OP OA OB ⋅=
-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()
OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值1
2
-.
【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()
()
2
AP BP OP OA OP OB OP
OA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+
()()
11
122
OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+
因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()
OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()
1
2
AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12
-
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 令
7
π
α=，则
7
n n π
α=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，
其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而
，其中k=1,2,…,7，所以在
中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
13．A
解析：A 【解析】 试题分析：
，两边平方后得
，整理为
，即，故
选A.
考点：三角函数
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】
分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,
因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+, 则(),21n a n n =+,
n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+=
==+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
, 显然1
tan 2n n
θ=+
为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】
本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.
15．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意得出43π是函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的周期，可得出()423k k N ππω*=∈，可得出ω的表达式，即可求出ω的最小值.
【详解】
由题意可知，43π是函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的周期，则
()423k k N ππω*=∈， 即32k ω=
，又因为0>ω，当1k =时，ω取最小值3
2
，故选D. 【点睛】
本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.
二、填空题
16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模
解析：3
π
【解析】 【分析】
由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量a 与向量b 的夹角的余弦值,可得向量a 与向量b 的夹角的值.
【详解】
由题意可得()
1,132,0a b b a a ==+=-⋅=，即2
a b a ⋅=,
12cos 1(θθ∴⨯⨯=为向量a 与向量b 的夹角），
求得1cos ,23
πθθ=∴=，故答案为3π.
【点睛】
本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b
上的投影是
a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求
a b ⋅）.
17．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶 解析：1-
【解析】 【分析】
以BC 所在直线为x 轴建立坐标系，设P x y （，） ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐
标表示，得出()
PA PB PC ⋅+关于x y ， 的表达式，配方即可得出结论． 【详解】
以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，
ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，
斜边22BC =，则022020A B C -（，），（，），（，），
设P x y （，），则2222PB PC PO x y PA x y （，），（，），+==--=-
∴()
2222
2 2222221PA PB PC x y x y ⋅+=+-=+-（，
∴当2
02
x y ==，时，()
PA PB PC ⋅+取得最小值-1． 故答案为：-1． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．
18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得2(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】
由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==
则2
2
1
(2)22cos60422162
a a
b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
解析：6 【解析】 【分析】
由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得
2123
3
y y y ++=
， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】
由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴2123
3
y y y ++=
，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．
20．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
【解析】 【分析】
利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值，进而求得b . 【详解】
()23,32a b t -=--，由于()2a b a -⊥，故()23960a b a t -⋅=+-=，解得2t =，
故()221,212b b ==+=， 【点睛】
本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.
21．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：
12
π
【解析】
分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122
k k k Z k Z πππ
φπφ-=∈∴=+∈
因为0φ>，所以min .12
π
φ=
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.
22．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求
解析：1
7
-
【解析】
分析：由角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，求出,cos sin θθ的值，利用
2cos 212sin 1212cos sin sin θθ
θθθ
-=
++，将,cos sin θθ的值代入即可得结果. 详解：角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，
43,cos 55
y x sin r r θθ∴=
===， 那么
2
167
12cos 212sin 1252543491212cos 7125525
sin sin θθθθθ-⨯
-
-====-+++⨯⨯，故答案为17
-. 点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.
23．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题
解析：0 【解析】
分析：利用和差角的正弦公式，可求sin cos x y 及cos sin x y 的值，可得tan 2.tan x
y
=- 详解：
()1
sin sin cos cos sin ,3
x y x y x y +=+=
()sin sin cos cos sin 1,x y x y x y -=-= 联立可解得21
sin cos ,cos sin ,33
x y x y ==-
sin cos tan 2.cos sin tan x y x x y y
∴==- 故tan 2tan 0.x y += 即答案为0.
点睛：本题综合考查了三角函数公式，灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键，属于中档题．
24．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：
12
【解析】
由题意得,1cos602
a b a b ⋅=⨯⨯=
， 0b c ⋅=,即()()()2
111111022
b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.
25．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公
3
【解析】 ∵()1
tan 2
αβ+=
，()tan 1αβ-=-， (α+β)+(α−β)=2α,(α+β)−(α−β)=2β，
∴
sin2sin2αβ=()()(
)()sin αβαβsin αβαβ⎡⎤++-⎣⎦
⎡⎤+--⎣⎦ =()()()()()()()()sin αβcos αβcos αβsin αβsin cos cos sin αβαβαβαβ+-++-+--+- =
()()()()
tan αβtan αβtan tan αβαβ++-+-- =13
-.
故答案为：1
3
-.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
三、解答题 26．
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数()f x 在区间[,]122ππ
-上的值域为[ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简函数()f x ，由周期公式以及正弦函数的对称轴求解即可；
（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得函数函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
的单调性，比较
(),()122f f ππ
-
的大小，即可得出值域. 【详解】
（Ⅰ）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =++-
1cos 22cos 22x x x =
-
6
22
T π
π∴=
= 26
2
3
2
k x k x π
π
π
ππ-
=
+⇒=
+
则对称轴方程为,3
2
k x k Z π
π
=+
∈ （Ⅱ）
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32
ππ上单调递减，
所以 当3
x π
=时，()f x 取最大值 1
又
1()()12
22
f f π
π-
=<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值
所以 函数()f x 在区间[,]122ππ
-上的值域为[,1]2
- 【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式，正弦函数的性质，求正弦型函数的值域，属于中档题.
27．
（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，
()max 1f x =.
【解析】 【分析】
（1）先由周期为π求出2ω=,再根据2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-
≤
+,k Z ∈进行求解即
可；
（2）先求出52666x ππ
π-≤-≤,可得12sin 226x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭,进而求解即可
【详解】 （1）解：∵2T π
πω
=
=,∴2ω=,
又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
,
∵2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-≤
+,k Z ∈,
∴222233
k x k π
π
ππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+,k Z ∈,
∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）解：∵02
x π
≤≤,∴02x ≤≤π,∴526
6
6
x π
π
π
-
≤-
≤
, ∴1sin 2126x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝
⎭, ∴12sin 226x π⎛
⎫
-≤-≤ ⎪⎝
⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫
-≤-
-≤ ⎪⎝
⎭
, 当0x =时,()min 2f x =-,
当226x ππ-
=,即3
x π
=时,()max 1f x = 【点睛】
本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题
28．
（1），
（2）
【解析】 【分析】 【详解】
（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，
即； 由
得
，解得， 从而所求的切线方程为，
．
（2）
∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|． 又
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为
焦距2c=2．
∴点N 的轨迹是方程为
29．
（1）
2
π；（2）6x π=时，()f x 取得最大值为3；当6x π=-时，()f x 取得最小值为0． 【解析】
【分析】
利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可把函数化简为()2sin 216f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭． （1）求出函数的半周期得答案；
（2）由x 的范围求出26x π+
的范围，利用正弦函数的性质可求原函数的最值及使原函数
取得最值时的x 值．
【详解】 ()223cos 2cos 32cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭． （1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为
22T π=； （2）5,,2,63666x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦， ∴当262x ππ+
=，即6x π=时，()f x 取得最大值为3； 当π
π266
x ，即6x π=-时，()f x 取得最小值为0． 【点睛】
本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质、倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题．
30．
（1）481717,⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）417 【解析】
【分析】
先由题意，设(2,)=OP x x ，得到(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ， （1）根据//PA PB ，得到(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，求出x ，即可得出结果； （2）先由题意，得到25(2)8⋅=--PA PB x ，得到当2x =时，PA PB ⋅取最小值，求出(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】
因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =，
所以可设(2,)=OP x x ，因为(1,7)OA =，(5,1)OB =，
所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ，(52,1)=-=--PB OB OP x x ，
（1）因为//PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭
OP ； （2）因为(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，
所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅取最小值，
此时(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，
所以cos 9⋅∠=
==⋅PA PB APB PA PB 【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.。