江苏省盐城市2012-2013学年高二数学上学期期中试题 文 苏教版

高二数学文科试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上.） 1.对于命题p :x R ∃∈，使得2
10x x ++<．则p ⌝
为．
2.“1>x ”是“x x >2
”的条件. （填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分又不必要”） 3.抛物线2
4y x =-的焦点坐标为. 4.函数3
3)(x x x f -=的单调增区间为.
5.椭圆2
21x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为__________． 6.已知抛物线2
4y x =上一点),3(y P ，则点P 到抛物线焦点的距离为.
7. 已知中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线方程为230x y -=，则该 双曲线的离心率为．
8.设曲线11
-+=x x y 在点)2,3(处的切线与直线012=++ay x 垂直，则实数=a . 9.已知椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到其右焦点的距离为8，则点P 到椭圆左准线的距离为 ．
10.若命题“R x ∃∈，使得04)1(2
≤++-x a x ”为假命题，则实数a 的取值X 围为 ．
11.已知椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，过椭圆的右焦点且与x 轴垂直的直线与椭圆相
交于Q P ,两点，椭圆的右准线与x 轴相交于点M ，若PQM ∆为正三角形，则椭圆的
离心率等于．
12.已知函数()ln 2(1)(0)f x x xf x '=+>，其中()f x '是()f x 的导函数，则()f x 在点
))1(,1(f P 处的切线方程为．
13.若函数x x x f 12)(3
-=在区间)1,1(+-k k 上不是．．
单调函数，则实数k 的取值X 围是 ．
14.如图，有一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长
为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，则 切割后所得到的梯形面积S 的最大值为．
二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知双曲线过点P )2,3(-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点． （1）求双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
16.已知命题p ：方程
22
129x y m m
+=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线
152
2=-m
x y 的离心率e ∈．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数m 的取值X 围．
17.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为1(3,0)F -，右准线方程为253
x =
． （1）求椭圆的标准方程和离心率e ；
（2）设P 为椭圆上第一象限的点，2F 为右焦点，若12PF F ∆为直角三角形，求12PF F ∆的 面积.
18.已知函数3
2
2
()f x x ax bx a =+++(R)a b ∈、．
（1）当3,0-==b a 时，求函数)(x f 在[1,3]-上的最大值； （2）若函数)(x f 在1=x 处有极值10，求)(x f 的解析式；
（3）当2-=a 时，若函数)(x f 在),2[∞+上是单调增函数，求b 的取值X 围．
19．设21,F F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C 上的点)2
3,1(A 到21,F F 两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程； （2）设点P 是（1）中所得椭圆C 上的动点，且点)3
1,0(Q ，求线段PQ 长的最大值； （3）若F E ,是（1）中所得椭圆C 上关于原点对称的两点，M 是椭圆上任意一点，则当 直线MF ME ,的斜率都存在，并记为ME k 、MF k 时，MF ME k k ⋅是否为与点M 位置无关 的定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
20.已知函数2
()ln 2f x a x x
=+-)(R a ∈. （1）当2=a 时，求)(x f 的单调区间；
（2）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点，
求b 的取值X 围；
（3）若函数()f x 在区间1
[, ]e e -上的最小值为2-，求a 的值.
高二期中考试数学试题（文科）参考答案
一、填空题
1.x R ∀∈，均有2
1x x ++≥0 2.充分不必要 3.)0,1(- 4.)1,1(-
5.14
6.4
7.
213或313 8.1- 9.25 10.)3,5(-
12.10x y ++= 13. )3,1()1,3( -- 14.27
32
二、解答题 15. 解：（1）由题意，椭圆224936x y +=的焦点为)0,5(),0,5(21F F -………… 1分
设双曲线的标准方程为2
2
221(0,0)x y a b a b -=>>，则⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-5
149
222
2b a b
a ………… 4分 解得：32=a ，22
=b
所以所求的双曲线的方程为
22
132
x y -=． ………… 7分 （2）由（1
）知，双曲线的右准线方程为5
x =． ………… 9分
设抛物线的标准方程为px y 22
-=)0(>p ，则
2p p == 12分
所以所求的抛物线方程为2
y x =. ………… 14分 16. 解：p 真，则有920m m ->>，即03m <<．………… 3分
q 真，则有22
230,11,252b m m e a ⎛⎫>=+=+∈ ⎪⎝⎭且，即5
52
m <<．………… 6分
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 一真一假．
①若p 真、q 假，则03m <<，且552m m ≥≤或，即0m <≤5
2
； ………… 9分
②若p 假、q 真，则30m m ≥≤或，且5
52
m <<，即3≤5m <．………… 12分
故实数m 的取值X 围为0m <≤5
2
或3≤5m <．………… 14分
17.解：（1）由题意可设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
由左焦点为1(3,0)F -，右准线方程为253x =，得23,
253c a c
=⎧⎪
⎨=
⎪⎩………… 3分
解得：5,
3,a c =⎧⎨=⎩
从而4b =．………… 5分
所以所求椭圆标准方程为22
12516x y +=，离心率5
3=e ．………… 7分
（2）①当2190PF F ∠=时，由⑴可知右焦点为2(3,0)F ，所以此时P 点坐标为16
(3,
)5
，
于是12PF F ∆的面积为1211648
6255
PF F S ∆=
⨯⨯=， ………… 11分 ②当2190F PF ∠=时，由椭圆定义和勾股定理得221212(1)
(2)36,10,
PF PF PF PF ⎧+=⎨+=⎩
⑵式的平方减去⑴式得：1232PF PF ⋅=，
又2
1212)25≤(2PF PF PF PF +⋅=，所以这种情况不存在． 综合①②得：1248
5
PF F S ∆=．………… 14分
(注：当2190F PF ∠=时，若直接求出12PF F ∆的面积，而没进行取舍扣2分)
18.解: (1)当0a =，3b =-时，3
()3f x x x =-，
所以'
2
()33f x x =-， ………………2分
令 ,0)('
=x f 解得 11x =-，21x =………………4分
（2）因为2
()32f x x ax b '=++，
由已知条件,得⎩⎨⎧==.10)1(,0)1('f f 即 ⎩⎨⎧=+++=++.
101,
0322b a a b a ………………8分
解得 ⎩⎨⎧-==;11,4b a ⎩
⎨
⎧=-=.3,3b a ………………10分 下面分别检验：
①当,4=a 11-=b 时, ,16114)(2
3
+-+=x x x x f ,1183)(2
'-+=x x x f
令,0)('=x f 即 ,011832
=-+x x 解得 ,
3111-=x ,
12
=x 列表：
由上表可知，)(x f 在1=x 处取极小值10，符合题意． ……………11分 ②当,3-=a 3=b 时,,933)(2
3
++-=x x x x f
,0)1(3)12(3363)(222'≥-=+-=+-=x x x x x x f )(x f 为增函数, 不合题意，舍去．
所以当,4=a 11-=b 时, 16114)(2
3+-+=x x x x f 为所求函数的解析式．
综上所述, 所求函数的解析式为16114)(2
3+-+=x x x x f ． ……………12分 （3）当2-=a 时, ,42)(2
3
++-=bx x x x f 2
()34,f x x x b '=-+
因为函数)(x f 在),2[∞+上单调递增，所以(2)0,f '≥……………14分 即 ,024232
≥+⨯-⨯b 解得,4-≥b
所以，b 的取值X 围是).,4[∞+-……………16分 （注：第（2）小题对b a ,的值没有取舍，扣2分）
19．解：（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到1F 、2F 两点的距离之和 是4，得：42=a ，即2=a ． ………………2分
又点)23,1(A 在椭圆上，所以1)23
(2122
2=+b
，得32
=b
所以椭圆C 的方程为1342
2=+y x ． ………………5分 （2）设),(y x P ，则13422=+y x ，即22344y x -=． 9
1
32344)31(22222+-+-=-+=y y y y x PQ
9
40
)1(31937323122+
+-=+--=y y y ………………8分 又33≤≤-y
∴当1-=y 时，3
10
2m ax =PQ . ………………10分 （3）MF ME k k ⋅是与点M 位置无关的定值，且定值为4
3
-.………………11分
设点E 的坐标为),(n m ，则点F 的坐标为),(n m --，其中13
42
2=+n m . 又设点M 的坐标为),(y x ，则13
42
2=+y x . 由m x n
y k m x n y k MF ME ++=
--=,得: 222
2m x n y m x n y m x n y k k MF ME --=++⋅--=⋅ . ………………13分
22433x y -=将，2243
3m n -=，代入得： ………………14分
43
)
(432
222
-=--=⋅m
x x m k k PN PM . ………………16分
20.解：（1）当2=a 时，2
()2ln 2f x x x
=
+-，)(x f 的定义域为(0,)+∞ 22
222(1)
'()x f x x x x
-=-
+=. ………………1分 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ．
所以()f x 的减区间为)1,0(，增区间为),1(+∞． ………………4分
（2）当1=a 时，2
()ln 2g x x x b x
=++--，则22
2()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得：1x >；由()0g x '<解得：01x <<.
所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.
∴ 当1=x 时，()g x 取最小值，且b g x g -==1)1()(min ．………………6分 ∵ 当1a =时，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点 ∴01)(min <-=b x g ，即1>b ．
∴ 实数b 的取值X 围为),1(+∞．………………8分
（3）由题意，2222
()a ax f x x x x -'=-+=)0(>x ．
①若0≤a ，则0)(≤'x f ，)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡e e ,1上单调递减；
∴222)()(min -=-+==a e e f x f ，即e
a 2
-=，适合题意．………………10分
②若e a 120≤<，即e a 2≥，则0)(>'x f ，)(x f 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡e e ,1上单调递增；
∴222)1
()(min -=--==a e e f x f ，即e a 2=，适合题意．………………12分
③若e a e <<21，即e a e 22<<，则)(x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡a e 2,1上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,2上单调递增；
∴222
ln )2()(min -=-+==a
a a a f x f ，即e a 2=（舍）．………………14分
④若e a ≥2，即e a 20≤<，)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡e e ,1上单调递减；
∴222)()(min -=-+==a e e f x f ，即e
a 2
-=，不合题意．
综上所述，e a 2=或e
a 2
-
=． ……………… 16分。