深圳海湾中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数(
)
2
()ln
1f x x x =+-，则1
20212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，20201log 2021b f ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，
()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
2．已知函数||
()2x f x =，记131(())4
a f =，37(log )2
b f =，13(log 5)
c f =，则a ，b
，
c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
3．已知函数3
()22
x f x =
+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
（ ） A ．
212 B ．
214
C ．7
D ．
152
4．已知函数2
22,1
()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则
52f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（ ） A ．12
-
B ．-1
C ．-5
D ．
12
5．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
6．设函数()21x
f x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +<
7．已知函数()
a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
B ．3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2⎛
⎤- ⎥⎝⎦
9．已知函数()2,0
1,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩
，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3 10．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
11．函数()log (3)a f x ax =-在
[]13，
上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，
C ．103⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．()3
+∞， 12．函数2
ln 8
x y x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知()(3),1
log ,1
a a x a x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．
14．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2
,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________. 15．函数12
()log (2)f x x =-的定义域为______.
16．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()2
3(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为
_____.
17．若3
log 14
a
>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 18．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________.
19．方程(
)(
)
22log 972log 31x
x
+=++的解为______. 20．若幂函数
()2()57m f x m m x =-+在R 上为增函数则
1log 2
log 272lg5lg4m
m m
++-=_____．
三、解答题
21．（1）设0,0,,m n
m n x n m >>=+化简22
244
x A x x -=--； （2）求值：1
log log m m b a a b ⋅；
（3）设 2()2log (19),f x x x =+≤≤ 求()
22
()()g x f x f x =+的最大值与最小值.
22．如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，(,0)N b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.
（1）当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值； （2）当2b a =时，求
2m c
b a
-的最小值； （3）已知()x h x a =，()x
x b ϕ=，若1x ，2x 为区间(),a b 内任意两个变量，且12x x <，
求证：[][]21()()h f x f x ϕ<.
23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；
（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫
+=
⎪+⎝⎭
. 24．设函数()()22()log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（1）求()y f x =的最大值和最小值，并求出最值时对应的x 值； （2）解不等式()60f x ->.
25．计算1
132
1
1332
1(4()
4
0.1()
ab a b ----⋅（其中0a >，0b >）
26．已知函数1
2
1()log 21ax
f x x -=-，a 常数. （1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；
（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式122
1log (21)log (21)4x
x m x ⎛⎫
+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数
m 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出1
20212020，
2020
1
log 2021
， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.
【详解】
210x x +-
>恒成立，
()f x ∴定义域为R ，
)
)
()ln
ln
f x x x ===-，
其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，
10
2021
2020
20120>=，202020201
log log 102021<=，
2021202120210log 1log 2020
log 20211=<<=，
b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出
)()ln
f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.
2．A
解析：A 【分析】
首先判断函数()f x 的性质，再比较1
3
3317,log ,log 542
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
的大小关系，从而利用单调性比
较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
()2x
f x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，
()133log 5log 5c f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
因为1
3
1
0()14<<，3371log log 52<<，即13
33170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x
f x =的性质，后面的问题迎刃而解.
3．B
解析：B 【分析】
先利用解析式计算3
()(2)2
f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3
()22
x
f x =
+， 所以23
32(2)22224
x
x x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573
321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++++++=⨯+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题解题关键是通过指数式运算计算3
()(2)2
f x f x +-=
，再配对求和即解决问题. 4．A
解析：A
【分析】
根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，即可得选项.
【详解】
因为函数222,1
()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以
2253log log 2122f ⎛⎫
=<= ⎪⎝⎭
，
23log 2531222222f f
⎡
⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
. 故选：A. 【点睛】
本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.
5．A
解析：A 【分析】
由5
51112
,2332log -<<<，81
52
log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
5
2
112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，1
2881582log log >=， a b c ∴<<.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
6．D
解析：D 【分析】
运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21x
f x =-的图象，由数形结合可得
0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．
【详解】
()21,02112,0
x x
x
x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21x
f x =-的图象如图所示，
由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，
又()()0f c f a ->，即为()12210c a
--->，
∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】
本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．
7．C
解析：C 【分析】
由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】
由恬24a
=，2a =，22
2
log (1),10
()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩， 函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．
8．B
解析：B 【分析】
先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】
由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，
2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，
ln y t =在定义域内单调递增，
234t x x =-++对称轴为3
2
x =
，开口向下，
所以 234t x x =-++在31,
2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
单调递减， 所以2
()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题
9．A
解析：A 【分析】
先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】
由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由
12a +=-解得3a =-，故选A.
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，
所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题
选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
11．D
解析：D 【分析】
由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：
函数()log (3)a f x ax =-在
[]13，
上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递
增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．
12．D
解析：D 【分析】
先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】
解：令()2
ln 8
x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故
函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；
取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.
二、填空题
13．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分
解析：31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可． 【详解】 解：若01a <<， 当1≥x 时，log 0a x ≤，
当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，
此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；
若1a >，
当1≥x 时，log 0a x ≥，
当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，
需使
30
log13
a
a
a a
->
⎧
⎨
≤--
⎩
，解得
3
3
2
a
a
<
⎧
⎪
⎨
≤
⎪⎩
，
3
1
2
a
∴<≤，
综上所述，
3
1
2
a
<≤，
故答案为：
3
1,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
．
【点睛】
本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.
14．【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：【点睛】本题
解析：
5
2
【分析】
先画出函数图像并判断01
m n
<<<，再根据范围和函数单调性判断2
x=m时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】
如图所示：根据函数
2
()log x
f x=的图象
得01
m n
<<<，所以2
01
m m
<<<．结合函数图象，
易知当2
x=m时()
f x在2,
m n
⎡⎤
⎣⎦上取得最大值，所以
()2
2
2log2
f m
m==
又01
m
<<，所以
1
2
m=，
再结合()()
f m f n
=，可得2
n=，所以
2
15
2
2
m n
+=+=.
故答案为：
5
2
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题. 15．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定
义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定 解析：(2,3]
【分析】
根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】
根据题意可得：1
2
20log (2)0x x ->⎧⎪
⎨-≥⎪⎩，
解得23x <≤，
所以函数()f x =(2,3]，
故答案为：(2,3]. 【点睛】
该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.
16．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为
解析：1
(1,)3
-
【分析】
根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()
2
3(12)f a f a <-，转化为
关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】
()f x 的定义域为R ，
()()))ln10f x f x x x +-=+==，
()f x ∴
是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，
()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，
()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，
等价于2312a a <-，即2
13210,13
a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3
-.
故答案为: 1(1,)3
- 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
17．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键
解析：3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】
3log 1log 4a
a a >=，当1a >时，满足3
4a >，不成立；当01a <<时，34
a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
. 故答案为：3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.
18．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析：3(1,]2
【分析】
由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有
1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．
【详解】
∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312
a <≤
． 故答案为：3
(1,]2．
【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．
19．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关
解析：0x =或1x =. 【分析】
由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程，求得3x 的值，进一步求得x 值得答案. 【详解】
由(
)(
)
22log 972log 31x
x
+=++，得
(
)()22log 97log 431x x +=+，
即()97431x
x
+=+， 化为()2
34330x x
-⋅+=，
解得：31x =或33x =， 0x ∴=或1x =.
故答案为：0x =或1x =. 【点睛】
本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.
20．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键
解析：3 【分析】
利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】
()()
257m f x m m x =-+在R 上为增函数，
25710
m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log
2
log 2lg 5lg 4m
m m
∴+-=3
1log 2
3l l og 3
g1003+=
故答案为：3. 【点睛】
正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值
2
22log 36log 36++（），最小值6. 【分析】
（1）先求24x -，对m ，n 讨论，求出A ；
（2）利用log =m a a m ，分别对1
log log m m b a a b 、化简、求值；
（3）把()g x 化简为22
2()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()2
33y t =+-在
()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.
【详解】
（1
）因为22
2
44x -=-=，
所以2,m n A m n m n
-=
=
+--
故，当0m n ≥>时，m n
A n
-=， 当0m n <<时，n m
A m -= (2）
(
)
g log log log lo log log =,m m m m m m b
b
b a
a
a a m
m a
m
•==∴，
同理()l l og og m m b a b m -•= ∴
()
()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m m
m m m m m b a b
b
a a m
a
m
m
m b
-••⎡⎤-••⎢⎥⎣⎦
⋅⨯
即1
log log m m b a a b ⋅=1
(3)()(
)2
2
222
22()2log 2log =log
6log 6g x x x
x x =+++++
由2
19
19x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩
解得13x ≤≤ 令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤
∴()2
33y t =+-在()20log 3，
上单增， ∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2
max 22log 36log 36y ++=
（） ∴()g x 的最大值
2
22log 36log 36++（），最小值6. 【点睛】
指对数混合运算技巧：
(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质； (2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质.
22．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析. 【分析】
（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；
（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，
b ，
c 的关系式，代入
2m c
b a
-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有
2log log c c x b a a <，1
log log
c
c a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即
log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即
[][]21()()h f x f x ϕ<成立.
【详解】
解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ， 因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m = 所以9m =.
（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b 因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =， 因为2b a =，所以2m c =.
所以22222(1)1m c c c c
b a a a a
-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-，
（3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >， 所以12log log log log c c c c a x x b <<<， 又因为1a >，1b >， 所以2
log log c c x b a a <，1
log log
c
c a x b b <，
又因为log log log log c c c c b a a b =， 所以log log log log c c b
a c c a
b =，所以log log
c c b a a b =，
所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<.
23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】
（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫
⎪+⎝⎭
，即可证明结论. 【详解】
（1）由10
10
x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，
当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，
即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，
即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.
综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =； （2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln
1x
f x x x x
+=+--=-， ()()()()()()
1111ln
ln ln 1111m n m n
f m f n m n m n +++++=+=----， ()()()()11111ln ln ln 111111m n
m n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn
++
++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-
+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
.
【点睛】
方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：
（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；
（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证. 24．（1
）当4
x =
时，()f x 取得最小值14-；当4x =时，()f x 取得最大值12；（2）
{}24x x <≤
【分析】
（1）令2log t x =，可得[]2,2t ∈-，从而()()22log 4log 2x x ⋅232t t =++，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的x 值；
（2）由（1）知，2
()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则不等式可化为2340t t +->，可求
出t 的范围，结合2log t x =，可求出x 的范围. 【详解】 （1）由题意，
()()()()222222log 4log 2log 4log log 2log x x x x ⋅=+⋅+=()()222log 1log x x +⋅+，
令2log t x =，∵1
,44x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，∴[]2log 2,2t x =∈-
则()()2
2132y t t t t =++=++，
根据二次函数的性质，可得当32t =-
，即3224
x -==2
32y t t =++取得最小值，
最小值为2
33132224⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 当2t =时，即224x ==时，2
32y t t =++取得最大值，最大值为2232212+⨯+=.
（2）由（1）知，2
()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，
则()60f x ->可化为2340t t +->，解得1t >或4t <-， 因为[]2,2t ∈-，所以12t <≤， 则222log 2log log 4x <≤，即24x <≤， 故不等式()60f x ->的解集为{}
24x x <≤. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求复合函数的最值，及函数不等式的解.解决本题的关键是利用换元
法，令2log t x =，可将()f x 转化为关于t 的二次函数2
32y t t =++，进而可求出最
值，并解不等式即可，注意不要漏掉[]2,2t ∈-.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
25．85
【分析】
将小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，利用指数幂的运算性质化简求值. 【详解】
111313
22
1
1
1
331332
21(4)1(4)()=()4
4
10.1()
()()10
ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式131
133
22211()()(4)()410ab a b ----=
原式33333
0022222118
48555
a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=
【点睛】
本题考查指数幂的运算，要熟练掌握基本的运算法则和运算性质，小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，更有利于运算.
26．（1）证明见解析；单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；（2）98m <-.
【分析】
（1）2a =-时，1
2
21
()log 21
x f x x +=-，求其定义域，计算()()
0f x f x 即可.
（2）将不等式整理为21211log 214x
x m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，12
211()log 214x
x g x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭，只需要
min ()g x m >.利用()g x 单调性即可求出min 39()28g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，进而可得98m <-.
【详解】
（1）证明：当2a =-时，1
2
21
()log 21
x f x x +=-. ()f x 的定义域为11,22⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
当11,,22x ⎛
⎫⎛⎫∈-∞-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时， 1
12
2
2121
()()log log 2121x x f x f x x x -++-+=+---
1122
2121log log 102121x x x x -++⎛⎫
=⋅== ⎪---⎝⎭.
∴()()0f x f x +-=， ∴()f x 是奇函数，
1
2
21()log 21x f x x +=-是由2121
x t x +=-和12log y t
=复合而成，
12
log y t =单调递减，
2121221212121x x t x x x +-+=
==+---在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，
所以1
2
21()log 21x f x x +=-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝
⎭，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. （2）由122
1log (21)log (21)4x
x m x ⎛⎫
+->-- ⎪⎝⎭，
得21211log 214x
x m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，
令12211()log 214x
x g x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
，
若使题中不等式恒成立，只需要min ()g x m >.
由（1）知()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，14x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
单调递减， 所以12211()log 214x
x g x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，
所以min 39()28g x g ⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
. 所以m 的取值范围是9
8
m <-. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.。