大学物理下册最终版 习题、例题、概念

R
dR
r
dr
r 2 r 2
1
2 r
R12
r2 r1
dr 2 r2
1 2
(1 r1
1) r2
V1
V2
IR12
I
2
(1 r1
1 r2
)
3 计算真空中均匀带电球体的静电能。设球的半径为 R，带电量为 Q。(13-6)
解：根据高斯定理计算距球心 r 处的电场
Qr
E
4 0
Q
R
3
4 0r 2
中央明条纹及第二级明纹宽度。（19-1）
解：中央明纹的宽度为 x 2 f
na
空气中， n 1，所以
x 2 0.5 5460 10 10 5.46 10 3
0.10 10 3
m
第二级明纹的宽度 x
f 2.73 103 m
na
1
5 一个半径为 R 的薄圆盘，表面均匀带电，总电量为 q，设圆盘以角速度ω绕通
解：入射光经第一块偏振片 P1 后为线偏振光，若对于某一波长，波片恰为半波
片，则经过该波片后此波长的光将不能透过第二块偏振片 P2。
由 2
no ne d 2k 1 2no ne d 34.4 10 4
K=1、2、3...
2k 1
2k 1
以 k = 2、3 代入，即得：l =688nm，491.4nm
dE
解：如图，
dl 4 0R2
0 sin d 4 0R
，
dEx dE cos dEy dE sin 考虑到对称性，有： Ex 0 ；
E
∴
dEy
dE sin
0 sin2 d 0 0 4 0R 4 0R
(1 cos 2)d 0
0
2
80R ，
方向沿 y 轴负向。
11-9．在半径为 R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 ρ，求圆
滴，其体积相等
27 × ( 4 / 3)
r3 ＝ (4 / 3)
R3
得
R = 3r
小水滴电势
U0 = q / (4
0r)
大水滴电势
U
Q 4 0 R
27 q
40 3r
9
q 4 0 r
9U 0
答案：9 倍。
12-10．半径分别为 a 和 b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将 两者相连接，并给系统带上电荷 Q，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑 a 和 b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：
14-8．一橡皮传输带以速度 v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷， 电荷面密度为 。 （1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度
B 的大小； （2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度 v 及它所
产生的磁场
B
和电场
E
之间满足下述关系：
B
1 c2
v
E
（式中
c
1 ）。 00
解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路 abcda ，考虑到橡皮带上等
E R 1 x2rdr
04o ( x2
r 2 )3/2
[1
2 o
当 R>>0 时, E 2 o
x] x2 R2
2 一半径为 r0 的半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率 为 γ，求接地电阻。若通有电流 I，求半径为 r1、r2，两个球面的电压。(12-5) 解：将大地分为一层层的薄半球壳
161在某一瞬时距直导线为x处的磁感应强度为选顺时针的转向作为矩形线圈的绕行正方向则通过图中阴影面积dsldx通量为在该瞬时t通过整个线圈所围面积的磁通量为线圈内的感应电动势随时间按余弦规律变化其方向也随余弦值的正负作逆时针顺时针转向的变化
1 一均匀带电的薄圆盘，半径为 R 面电荷密度为 σ，求圆盘轴线上任一点的场强。 解 ： 分为若干圆环积分。(11-4)
4
11、已知质量为 m 的一维粒子的波函数为(22-7)
n (x,t)
2 sin( n x ) eixnt /h (0 x L )
LL
0 (x 0,x L )
能级为
En
π2h2 2m L 2
n
2
(n
1,2,3)
（1）写出基态和第 4 激发态的能量；（2）计算在 n(x,t) 上，测和所得结果；
10、用 U=150V 的电压加速电子（电子的静质量为 m=9.1×10-31kg)后，求电子波 长。（22-2）
2eU 解：虽然电子质量小，但因加速电压不是很高 1/2 mv2=eU 速度为 v=
m
h
h
1.225
波长为λ= mv = 2emU 或者 λ≈ U （nm)将 U=150V 代入上式，
可得λ=0.1nm
过圆心且垂直盘面的轴旋转，求圆盘中心 O 处的 B；圆盘的磁矩。(14-2)
解：在圆盘上任取一个半径为 r，宽为 dr 的细环，它所带的点亮为 dq=σ2πrdr。
当环转动，相当于一个圆电流 dI 2π 2πdr rdr
此圆环在中心 O 出产生的磁场 所以总磁感应强度
dB
μ0dI 2r
μ0
2r
rdr
通量为 d B cos 00 dS 0 I ldx
在该瞬时 t，通过整个线圈所围面积的磁通量为
2 x
d
d b 0 d 2
I ldx x
0lI0 sin 2
t
ln
d
d
b
i
d
dt
0lI 0 2
ln
d
b d
d dt
sin t
0lI 0 2
ln
d
d
b
cos
t
线圈内的感应电动势随时间按余弦规律变化，其方向也随余弦值的正负作逆 时针、顺时针转向的变化。
柱体内、外的场强分布，并作 E~r 关系曲线。
解：由高斯定律
S
E
dS
1 0
S内
qi
，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为
r
，长为 l
的高斯面。
2 r l E r2 l
E r
（1）当 r R 时，
0 ，有 20 ；
2 r l E R2 l
E R2
E
（2）当 r R 时，
0 ，则： 20 r ； R
R2
(R23 R13 ) 3 0r 2
dr
2 0
(R22
R12 ) 。
6
12-2．若将 27 个具有相同半径并带相同电荷的球状小水滴聚集成一个球状的大水滴，此大
水滴的电势将为小水滴电势的多少倍？(设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损
失．)
解：设小水滴半径为 r、电荷 q；大水滴半径为 R、电荷为 Q＝27 q．27 个小水滴聚成大水
0
cos
x L
令：d 3 2 0 最可几位置： dx
x (0, L / 6, L / 3, L / 2,2L / 3,5L / 6, L )
5
11-5．带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度
为 0sin ，式中 0 为一常数， 为半径 R 与 x 轴
所成的夹角，如图所示．试求环心 O 处的电场强度。
rR
W 1 E dV 则带电球体的电场能量为：
2
2 r R
e V0
0
2
R Qr
0
(
4 0R3
)2 4r 2dr
0
2
R (
Q
4 0
r
2
)
2
4r
2
dr
Q2
Q2
3Q 2
40 0 R 8 0 R 20 0 R
4 有一单缝，宽 a 0.10mm，在缝后放一焦距为 50cm 的会聚透镜。用平行
绿光（ 546.0nm ）垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处的屏幕上的
qa 4 0ra
qb 4 0rb
┄①，再由系统电荷为 Q，有：qa
qb
Q ┄②两式联立得：qa
Qa ， ab
qb
Qb ab
；
（2）根据电容的定义： C Q Q （或 C Q Q ），将（1）结论代入，有：
U
qa
U
qb
4 0a
4 0b
C 4 0 (a b) 。
d
13-3．面积为 S 的平行板电容器，两板间距为 d ，求：（1）插入厚度为 3 ，相对介电常数
d 为 r 的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为 3 的导电板，其电容量又
变为原来的多少倍？
解：（1）电介质外的场强为：
E0
0
，
Er
而电介质内的场强为：
0 r
，
d 3
r
U 2d d 所以，两板间电势差为： 0 3 0r 3 ，
C
那么，
Q U
S U
30r S (2r 1)d
，而 C0
2
7 如用白光垂直入射到空气中厚为 320nm 的肥皂膜上（其折射率 n=1.33），问
肥皂膜呈现什么色彩？（18-3）
解：肥皂膜的上表面产生半波损失 2nd k
得
2nd
k 1 2
2
取 k = 1，2，3 代入上式，分别得
1 2
4nd 4 nd 3
1700nm
红外
3
4 5
nd
567nm 黄色 故肥皂膜成黄色
即：
E
r ( 20 R2 20 r
r R) (r R
)
；
20
oR
r
11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为 ，球壳内表面半径为 R1 ，
外表面半径为 R2 ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电 势。
解：当 r R1 时，因高斯面内不包围电荷，有： E1 0 ，
当 R1
解 由于油膜两反射面上都有半波损失，所以反射光束相消干涉的条件为
2nd
2k
1
2
，d
2k 1
4n
(相应的油膜厚度）
d 2k 1 500 109 m
4 1.30
（
对
于
500nm
的光）
d
2k 1
4 1.30
700
109
m
（对于
700nm
的光）
2k 1 5 2k 1 7 因 两 波 长 之 间 没 有 其 它 的 相 消 干 涉
r
R2 时，有： E2
4 3
(r 3
R13 )
4 0r 2
(r 3 R13 ) 3 0r 2 ，
当r
R2 时，有： E3
4 3
( R23
4 0r 2
R13 )
(R23 R13 ) 3 0r 2
，
以无穷远处为电势零点，有：
U 3 d r
R2 (r 3 R13 ) dr R1 3 0r 2
（3）写出粒子的几率密度分布函数；（4）求粒子在基态和第 2 激发态时的最
可几位置。
解：(1)基态能量
E1
π2h2 2m L 2
(2)x 0L n x ndx
第4激发态能量即 E
2 L
0L
x
sin
2
n
L
5 52 E 1
xdx
1 L
0L
(x
25π 2 h 2
2m L x cos
2
2n
L
x
)dx
ω 是角频率， I0 和ω都是常量。在长直导线旁平行放置一矩形线圈，线圈面
积与直导线在同一平面内 。已知线圈长为 l，宽为 b，线圈近直线的一边离直
导线的距离为 d（图）。求任一瞬时线圈中的感应电动势。（16-1）
解 在某一瞬时，距直导线为 x 处的磁感应强度为 B
0I
2 x
选顺时针的转向作为矩形线圈的绕行正方向，则通过图中阴影面积 dS=ldx 的磁
L 2
((43)基 P第)2Lx态二2snin激 n0L2发Ln1nx态 (.ih102xn0L2)L最2si可nns3id2几 n,xn位 2LnxL置x3 2x((2,x0i令hL(nL0220d,x,L2sdxix,0nLL1Ls2)2Lin3))L0nxLx即c：o2Ls2n2LsxindxLx
341nm
紫外
8 一平面单色光垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，这油膜覆盖在玻璃板上。
所用光源的波长可以连续改变。在 500nm 与 700nm 这两个波长处观察到反射光
完全相消干涉，而且在这两波长之间的其它波长都不发生完全相消。如果油膜
的折射率为 1.30，玻璃的折射率为 1.50，试求油膜的厚度。（18-4）
解：∵a 段对 O 点的磁感应强度可用 S B d l 0 I 求得，
有：
Ba
0I 4 R
，∴
Ba
0I 4 R
j
b 段的延长线过 O 点， Bb 0 ，
c
段产生的磁感应强度为：Bc
0 I 4 R
0 I 4R
，∴ Bc
0I 4R
k
则：O
点的总场强： BO
0 4
I R
j+
0 I 4R
k
，方向如图。
效电流密度为：i v ，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方
向水平向里，根据安培环路定理有：
0S d
C ，∴ C0
3 r 2r 1 ；
d
（2）插入厚度为 3 的导电板，可看成是两个电容的串联，
有： C1
C2
0S d /3
3 0 S d
，
d 3
C
∴
C1C 2 C1 C2
3 0S 2d
3 2
C0
C C0
3 2。
d 3
7
14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中 c 部分是在 xoy
平面内半径为 R 的半圆，试求通以电流 I 时 O 点的磁感应强度。
B
dB
μ0 2
R dr
0
μ0 R
2
μ0q 2πR
1) 上述细圆环的磁矩为
dPm SdI r 2dI r 2rdr r 3dr
圆盘的总磁矩为
Pm
dPm
r r 3dr
0
R4 4
qR 2 4
6 一长直导线中通有交变电流 I=I0sinωt，式中 I 表示瞬时电流，I0 是电流振幅，
k k 1 k 3, k 2
d 2 3 1 500 10 9
4 1.30 673 10 9 m 673nm
3
9、在两个偏振化方向相同的偏振片之间平行地插入一厚度 d = 0.01mm 的波片，
其光轴方向与偏振化方向之间夹角为 p/4。以白光入射，出射光中缺少那些波长
的光？（设对于可见光范围的所有波长有 no – ne = 0.172）(20-3)