正态分布课堂讲义

第 6节 正态分布
基础知识诊断 回顾教材 务实基础
【知识梳理】
考点一 正态曲线
1．定义：我们把函数22
()2,()x x μσμσϕ--=
，()x ∈-∞+
∞，
（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图
象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2．正态曲线的性质
（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； （3）曲线在x μ=；
（4）曲线与x 轴之间的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示：
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,如图乙所示:：
甲 乙
考点二正态分布
1．定义
随机变量X 落在区间(]a b ，
的概率为,()()d b
a x P a X
b x μσϕ<≤=⎰，即由正态曲线，过点(0)a ，和点(0)b ，的
两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(]a b ，
的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d b
a x P a X
b x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服
从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2()N μσ，．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2()X
N μσ，．
其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．3σ原则 若2()X
N μσ，，则对于任意的实数0a >，,()d ()a
a
P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰
为下图中阴影部分的面积，
对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大
特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=．
由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(33)μσμσ-+，之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用
中，通常认为服从于正态分布2()N μσ，的随机变量X 只取(33)μσμσ-+，之间的值，并简称之为3σ原则．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 正态曲线
【例1】（多选）（2020•江苏盱眙期中）已知三个正态分布密度函数212
1()2
1()x x μσϕ--=(x R ∈，1i =，2，
3)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．12σσ=
B ．13μμ>
C ．12μμ=
D ．23σσ<
【训练1】（2020•新疆月考）根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布)235(，N ，)870(，N ，则峰期后移了________天，峰值下降了________%（注：正态分布的峰值计算公式为
σ
π21）
考点二 正态分布
【例1】（2020•全国理）某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图（1）所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图（2）所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.
（1）求这批树苗的高度高于1.60米的概率，并求图（1）中a ，b ，c 的值；
（2）若从这批树苗中随机选取3株，记为高度在(1.40 1.60]，
的树苗数量，求ξ的分布列和数学期望； （3）若变量S 满足()0.6826P S μσμσ-<≤+>且(22)0.9544P S μσμσ-<≤+>，则称变量S
满足近似于
ξ
正态分布2(,)N μσ的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布(1.50.01)N ，的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？
【解题总结】
1.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布2(,)N μσ的随机变量x 只取(33)μσμσ-+，之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2.求正态变量x 在某区间内取值的概率的基本方法： （1）根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
（2）将待求问题向(]μσμσ-+，，(22]μσμσ-+，，(33]μσμσ-+，这三个区间进行转化； （3）利用x 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1求出最后结果． 3.假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则ξ落在区间(33]μσμσ-+，内的概率为0.9974，亦即落在区间(33]μσμσ-+，之外的概率为0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．
【例2】（2020•牡丹江一中）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(150.0025)N ξ，，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9g 15.05)g ，
的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为（ ） 参考数据：若2(,)N ξ
μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，
(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=．
A ．158 700
B ．22 750
C ．2 700
D ．1 350
【解题总结】
1.求正态曲线的两个方法
（1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ
．
（2）待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下两类常见的概率计算
（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x μ=对称，曲线与x 轴之间的面积为1.
（2）利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于()μσμσ-+，，(22)μσμσ-+，，(33)μσμσ-+，中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
（1）充分利用正态曲线对称性和曲线与x 轴之间面积为1．
（2）熟记()P X μσμσ-<≤+，(22)P X μσμσ-<≤+，(33)P X μσμσ-<≤+的值． （3）注意概率值的求解转化：
①(X )1P(X )P a a <=-≥； ②(X )1P(X )P a a μμ<-=-≥+； ③若b μ<，则1P(b X b)
(X )2
P b μμ--<<+<=
．
特别提醒：正态曲线，并非都关于y 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y 轴对称．
【训练1】（2020·湖北十堰）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：
服从正态分布)1675(，N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为
附：若)(2σμ，N X -，则6827.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P ． A ．134
B ．136
C ．817
D ．819
【训练2】（2020·山东济宁）若随机变量)3(2σ，N X -，且2.0)5(=≥X P ，则)51(≤≤X P 等于（ ） A ．6.0 B ．5.0
C ．4.0
D ．3.0
)mm (7983]()。