随机微分方程数值解的几乎必然稳定区域

随机微分方程数值解的几乎必然稳定区域
郭海山;胡良剑
【摘要】从研究SDE 数值解入手,证明了线性标量SDE 的Euler-Maruyama方法数值解的几乎必然指数稳定的几个条件,并且找出了Euler-Maruyama 方法数值解几乎必然指数稳定区域;通过与Saito和Mitsui研究的Euler-Maruyama 方法数值解的均方稳定区域做比较,可以发现得到的几乎必然指数稳定区域更大,因此也是更有价值的.
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2010(023)001
【总页数】5页(P54-58)
【关键词】随机微分方程;Euler-Maruyama;方法;数值解;几乎必然指数稳定
【作者】郭海山;胡良剑
【作者单位】东华大学应用数学系,上海,200051;东华大学应用数学系,上
海,200051
【正文语种】中文
【中图分类】O211.63
近年来,随着金融工程的发展,随机微分方程(SDE)数值方法的研究引起了越来越广泛的关注[1],数值稳定性是数值方法非常重要的一个性质,不稳定的数值方法往往会造成舍入误差的恶性增长并导致数值解的失真,从而研究 SDE数值稳定性就显得非
常重要,也是非常有价值的.文献[2]分析了线性标量SDE渐近稳定区域有界性问题;文献[3]研究了一类简单 SDE随机θ方法数值解的均方稳定性,给出了这类简单SDE随机θ方法数值解的渐近稳定的充要条件,还介绍了弱随机θ方法数值解的均方稳定和渐近稳定;文献[4]给出了 Stratonovich型 SDE的随机数值稳定和渐近数值稳定的定义,并且举了几个例子说明 Stratonovich型 SDE的随机数值稳定和渐近数值稳定;文献[5]举例说明了 Euler法的渐近均方稳定和指数稳定的区别,并进一步证明当 Euler法用于线性检验方程时均方稳定和指数稳定是完全一致的;文献[6]通过数值例子说明 Euler法求解随机微分方程解的二阶矩时插值法的必要性,且研究了 Euler法用于均方稳定的线性检验方程时,2种插值方法的均方稳定和指数稳定性.通过数值例子比较了 2种插值的不同,并分析了导致差异的原因;文献[7]介绍了多种 SDE数值解方法,研究了各种数值解方法的均方稳定区域,并通过作出它们的稳定区域比较得出向后 Euler方法的稳定区域最大.本文考虑 SDE数值解的Lyapunov几乎必然指数稳定性问题,证明了 Euler-Maruyama方法数值解的几乎必然指数稳定的条件,并且找出了数值解的几乎必然指数稳定区域;最后通过一个例子说明 Euler-Maruyama方法数值解的几乎必然稳定区域的意义.
1 基本概念
设(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一个完备的概率空间,{Ft}t≥0是单调上升左连续的流,F0包含所有的 P-零集,设B(t)是定义在概率空间上的 1维标准布朗运动.
考虑 1维非线性Itô随机微分方程
假设f,g:R→R满足局部 Lipschitz条件,因此 SDE(1)在[0,∞)上有惟一解[8].
令Xk≈ x(kΔt),X0=x(0),则Xk+1=Xk+Δtf(Xk)+g(Xk)ΔBk.这里Δt>0是步
长,ΔBk:=B((k+1)Δt).B(kΔt)是布朗运动的增量,服从N(0,Δt),这就是著名的 Euler-Maruyama方法.如果取θ∈[0,1]有下列更为一般的随机θ方法
当θ=0时,就是 Euler-Maruyama方法,当θ=1时,就得到了向后欧拉方法 (BE)
考虑线性标量 SDE
这里α,σ∈R.
SDE(2)的解的 Lyapunov指数[8]
和 Lyapunovp阶矩指数
这里 p>0.因此,当且仅当α-(1/2)σ2<0时,SDE(2)的零解是几乎必然指数稳定的,简记 a.s.稳定.当且仅当α+(1/2)(p-1)σ2<0时,SDE(2)的零解是 p阶矩指数稳定的,特别地 p=2时称为均方稳定,简记 m.s.稳定.
2 SDE数值解稳定性
对于 SDE(2),∃Δt,Euler-Maruyama方法的数值解是几乎必然指数稳定和 p阶矩指数稳定的.
定理 1 如果线性标量 SDE(2)的解是 m.s.稳定的,即α+(1/2)σ2<0,那么∀Δt<Δt＊,其中Δt＊=(-(1/2)σ2-α)/((1/2)α2)∈ (0,1),Euler-Maruyama方法的数值解存在性质
即数值解是 a.s.稳定的.
证明 Euler-Maruyama方法:
代入方程 (2)得到
由式 (7)知道所以有等式的两边同时除以kΔt,且令k→∞,由经典强大数定理得
因此
由泰勒展式知log(1+u)≤u,u≥-1,所以得到
由于性质 E(Z2n)=(2n-1)!!和 E(Z2n-1)=0,对于n=1,2,3,…,可以计算得到
于是得到
令C1=C1(α,σ)=α2/2,因此得到
这里 C1>0是与Δt相互独立的常数.取Δt＊ =(-(1/2)σ2-α)/C1,Δt＊∈ (0,1),所以C1Δt＊≤ (-(1/2)σ2-α),因此∀Δt<Δt＊.将式 (10)代入式 (8),
定理 2 如果线性标量 SDE(2)的解是 a.s.稳定的,即α-(1/2)σ2<1,且Δt满足α-(1/2)σ2+CΔ<0时,则 Euler-Maruyama方法的数值解存在性质
其中
证明 Euler-Maruyama方法:
代入方程 (2)得到
由式 (13)知道
等式的两边同时除以kΔt,且令k→∞,由经典强大数定理得
因此
由泰勒展式log(1+u)≤u-(1/2)u2+(1/3)u3,u≥-1,所以得到
由于性质 E(Z2n)=(2n-1)!!和 E(Z2n-1)=0,对于n=1,2,3,…,可以计算得到
于是得到
令
又因为α -(1/2)σ2+C2<0,所以
推论 1 假设线性标量 SDE(2)的解是 a.s.稳定的,如果α-(1/2)σ2+C2<0,取Δt＊ =1;如果α -(1/2)σ2+C2>0,取Δt＊=((1/2)σ2-α)/C2,则∀Δt<Δt＊ ,Euler-Maruyama方法的数值解存在性质
其中 C2=-
(1/2)α2+(1/3)|α|3+|α|σ2+(7/4)α4+(21/2)α2σ2+(21/4)σ4+|α|5+10|α|3σ2+15
|α |σ4+(1/6)α6+(5/2)α4σ2+(15/2)α2σ4+(5/2)σ6.
证明由定理 2的证明可以得到
令
当α -(1/2)σ2+C2 ≤0时,取Δt＊ =1,∀Δt<Δt＊ ,
当α -(1/2)σ2+C2>0,取Δt＊ =((1/2)σ2-α)/C2,∀Δt<Δt＊ ,
3 实例
根据 Saito和Mitsui的研究[7],对于线性标量 SDE(2),只要
R(h,k)=|1+h|2+|kh|<1,这里 h=
图1 m.s.与 a.s.稳定域的比较(σ =2)
图2 m.s.与 a.s.稳定域的比较(σ =4)
Δtα,k=-σ2/α,则Euler-Maruyama方法数值解均方稳定.
对于线性标量 SDE(2),令σ =2,4,分别做图1和图2,图中 m.s.线是根据文献 [7]得到的Euler-Maruyama方法数值解均方稳定边界值Δt随α的变化,则m.s.线下方是 Euler-Maruyama方法数值解的均方稳定区域,a.s.线是根据定理1和定理2作出的 Euler-Maruyama方法数值解几乎必然指数稳定边界值Δt随α的变化,相应地 a.s.线下方是本文研究的 Euler-Maruyama方法数值解的几乎必然指数稳定区域,由图 1,2清楚地看出几乎必然指数稳定区域要更大一些.特别地,当σ =2,α =-2时,∀Δt,数值解都不是 m.s.稳定的,但从 a.s.稳定的角度,Δt的范围并没有明显变化,他仍然有相当大的 a.s.稳定裕度.
参考文献:
【相关文献】
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