高考数学二轮专题复习 2.3导数的简单应用及定积分辅导与训练检测卷 理

（湖北专供）2013版高考数学二轮专题复习 2.3导数的简单应用及定积分辅
导与训练检测卷 理
一、选择题
1.设函数f(x)=xe x ,则( )
(A)x=1为f(x)的极大值点
(B)x=1为f(x)的极小值点
(C)x=-1为f(x)的极大值点
(D)x=-1为f(x)的极小值点
2.(2012·十堰模拟)函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )
3.若x ∈［0,+∞)，则下列不等式恒成立的是( )
(A)e x ≤1+x+x 2 (B)2111x x 241x -++＜
(C)cos x ≥2
11x 2-
(D)ln(1+x)≥2
1x x 8-
4.已知函数y=f(x-1)的图象关于点 (1，0)对称，且当x ∈(-∞,0)时， f(x)+
xf ′(x)＜0成立(其中f ′(x)是f(x)的导函数)，若a=(30.3)·f(30.3),b=
(log π3)·f(log π3),c=(log 31
9)·f(log 31
9),则a,b,c 的大小关系是( )
(A)a ＞b ＞c (B)c ＞a ＞b
(C)c ＞b ＞a (D)a ＞c ＞b
5.(2012·湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为( )
(A)25π (B)4
3 (C)3
2 (D)2π
二、填空题
6.(2012·随州模拟)若函数f(x)=2x 2
-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______.
7.已知函数f(x)的定义域为［-1,5］，部分对应值如表．
f(x)的导函数y=f ′(x)的图象如图所示：
下列关于f(x)的命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)在［0，2］上是减函数；
③如果当x ∈［-1,t ］时,f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④当1＜a ＜2时，函数y=f(x)-a 有4个零点；
⑤函数y=f(x)-a 的零点个数可能为0，1，2，3，4个．
其中正确命题的序号是________．
8.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 在区间［-1,2］上是减函数，那么b+c 的最大值为________.
三、解答题
9.已知函数f(x)=-x 3+3x 2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
10.(2012·仙桃模拟)已知函数f(x)=()32
1x a 1x 3-++4ax.
(1)若函数y=f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的值；
(2)若a ＞1，且函数f(x)在［0，4］上的最大值为16
3，求实数a 的取值范围.
11.(2012·北京高考)已知函数f(x)=ax 2+1(a ＞0),g(x)=x 3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值；
(2)当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(-∞,-1)上的最大值.
答案解析
1.【解析】选D.∵f(x)=xe x ,∴f ′(x)=e x +xe x ,
令f ′(x)=0，则x=-1,
当x ＜-1时，f ′(x)＜0，
当x ＞-1时，f ′(x)＞0，所以x=-1为f(x)的极小值点，故选D.
2.【解析】选B.由图可得-1＜f ′(x)＜1，则切线斜率k ∈(-1，1).
3.【解析】选C.设f(x)=cos x-(21
1x 2-) =cos x-1+21
x ,2则g(x)=f ′(x)
=-sin x+x,所以g ′(x)=-cos x+1≥0,
所以当x ∈［0,+∞)时，g(x)为增函数，
所以g(x)=f ′(x)≥g(0)=0,
同理f(x)≥f(0)=0,∴cos x-(21
1x 2-)≥0,
即cos x ≥2
11x ,2-故选C.
4.【解析】选B.∵当x ∈(-∞，0)时不等式f(x)+xf ′(x)＜0成立，
即：(xf(x))′＜0，
∴xf(x)在(-∞，0)上是减函数.
又∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，
∴函数y=f(x)的图象关于点(0，0)对称，
∴函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，
∴xf(x)是定义在R 上的偶函数，
∴xf(x)在(0，+∞)上是增函数.
又∵30.3＞1＞log π3＞0＞log 319=-2, 2=-31
log 9＞30.3＞1＞log π3＞0，
∴(31log 9-)·f(31
log 9-)＞30.3·f(30.3)＞(log π3)·f(log π3)，
即(31log 9)·f(31
log 9)＞30.3·f(30.3)＞(log π3)·
f(log π3)，
即：c ＞a ＞b ，故选B.
5.【解析】选B.根据图象可得：y=f(x)=-x 2+1,再由定积分的几何意义，可求得面积为S=∫
-11(-x 2+1)dx=(31x x 3-+)|-11=4.3
6.【解析】因为f(x)的定义域为(0，+∞)，f ′(x)=4x-1
x ，由f ′(x)=0，得x=1.2据题意得
1k 1k 12k 10⎧-+⎪⎨⎪-≥⎩＜＜，，
解得1≤k ＜3.2 答案：［1，32
) 7.【解析】因为函数f(x)的定义域为［-1，5］，所以函数f(x)不是周期函数，故①错误；当x ∈［0,2］时，f ′(x)＜0,故②正确；由f ′(x)的图象知f(x)的最大值是2，故t 的最大值是5，③错误；由f ′(x)的图象知，当x=2时，f(x)有极小值，但f(2)大小不确定，故④错误，⑤正确.
答案：②⑤
8.【解析】f ′(x)=3x 2+2bx+c,
∵f(x)在［-1，2］上为减函数，
∴f ′(x)在［-1，2］上恒小于等于0.
∴()()f 10,f 20,
'-≤⎧⎪⎨'≤⎪⎩即32b c 0,124b c 0.-+≤⎧⎨++≤⎩ ∴15+2(b+c)≤0.
∴b+c ≤15.2
-
答案：152- 9.【解析】(1)f ′(x)＝－3x 2＋6x ＋9．
令f ′(x)＜0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a ，
f(2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f(2)>f(－2)．
因为在(－1，3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，
因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
10.【解析】f′(x)=x2-(2a+2)x+4a,x∈R.
(1)因为f(x)在(-∞，0)上单调递增，且在(0，1)上单调递减，
所以当x=0时，f(x)取得极大值，
所以f′(0)=4a=0，
解得a=0(经检验当a=0时，f(x)在(-∞，0)上单调递增，且在(0，1)上单调递减，符合题意).
(2)因为f′(x)=(x-2)(x-2a)(a＞1)，
令f′(x)=0可得x1=2,x2=2a，且2＜2a.
①当2a＜4，即a＜2时，将x,f′(x),f(x)关系列表如下：
因为a＞1，且f(x)在［0，4］上的最大值为16
3，故
1a2
416
4a
33
⎧
⎪
⎨
-≤
⎪⎩
＜＜，
，
解得1＜a≤5.
3
②当2a≥4，即a≥2时，将x,f′(x),f(x)关系列表如下：
此时f(x)在［0，4］上取到的最大值不可能是163，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是1＜a ≤5.3
11.【解析】(1)由(1,c)为公共切点可得：
f(x)=ax 2+1(a ＞0)，则f ′(x)=2ax,k 1=2a,
g(x)=x 3+bx,则g ′(x)=3x 2+b,k 2=3+b,
∴2a=3+b ① 又f(1)=a+1,g(1)=1+b,
∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得：a 3
b 3.=⎧⎨=⎩
(2)∵a 2=4b,
∴设h(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+21
a x 4+1
则h ′(x)=3x 2+2ax+2
1a ,4令h ′(x)=0,解得：
x 1=a
,2-x 2=a
6-;
∵a ＞0,∴a
a
,26--＜
∴原函数在(-∞,a
2-)上单调递增，在(a
a ,26--)上单调递减，在(a
,6-+∞)上单调递增.
①若-1≤a ,2-即0＜a ≤2，则最大值为h(-1)=a-2
a ;4 ②若a
2-＜-1≤a
,6-即2＜a ≤6，则最大值为h(a
2-)=1；
③若-1≥a ,6-即a ≥6，则最大值为h(a
2-)=1.
综上所述：
当a∈(0,2］时，最大值为a-
2 a
; 4
当a∈(2,+∞)时，最大值为1.。