[推荐学习]2018年高中数学课时跟踪检测二十一复数代数形式的乘除运算新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（二十一） 复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A ．6－4i
B ．－6－4i
C ．6＋4i
D ．－6＋4i 解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
解析：选C z －1＝1＋i i
＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C. 3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )
A ．2－3i
B ．2＋3i
C ．3＋2i
D ．3－2i 解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A ．－1 024
B ．1 024
C ．0
D ．512 解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)
10－(2i)10
＝0.
5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i
＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4
B ．－3
C ．3
D ．4 解析：选D 2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋22＝3，
a －22＝1，解得a ＝4，故选D.
6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b
的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，
又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，
所以a b ＝2.
答案：2
7．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.
解析：∵z ＝1＋2i ，
∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－3
8．若a 1－i
＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 解析：∵a ，b ∈R，且a
1－i
＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 5
9．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i
. 解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13
＝－i ， 所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i
＝i －1＋(－i)＝－1. 10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，
由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，
即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.
所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数
的点是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．
2．设a 是实数，且1＋a i 1＋i
∈R，则实数a ＝( ) A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2
解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i 1＋i
＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.
3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2
D ．1 解析：选B ∵a ＋i i ＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．
4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i 1＋2i
的值是( ) A ．0
B ．1
C ．i
D ．2i 解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i)i
＋i ＝2i. 5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________．
解析：z 1z 2＝
a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝(3a －8)＋(4a ＋6)i 25
， ∵z 1z 2为纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －8＝0，4a ＋6≠0，
∴a ＝83
. 答案：83
6．设复数z 满足z 2
＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝2，b ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1. ∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 5
7．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z
＜0，求纯虚数a . 解：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z
是实数且为负数．
z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i
＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2
＝－m 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2＜0，m 2－2＝0，
∴m ＝4，∴a ＝4i.
8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i
且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．
解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i
(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.
由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①
∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，
∴|z －z |＝|z |.
把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②
又∵z 对应的点在第一象限，
∴a ＜0，b ＜0.
由①②得⎩⎨⎧ a ＝－3，
b ＝－1.
故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。