3-6新三板斧之斯特瓦尔特定理到极化恒等式

专题6
新三板斧之斯特瓦尔特定理到极化恒等式
秒杀秘籍：第一讲
二板斧斯特瓦尔特定理到极化恒等式
222AB DC AC BD BD DC BC AD BC
⋅+⋅=⋅⋅+⋅重要形式：222
AB DC AC BD AD BD DC BC ⋅+⋅=-⋅（将斯库顿定理的AC AB ⋅换成
22AB DC AC BD BC
⋅+⋅，有一点对面女孩看过来的那种形式）
证明：根据余弦定理，BD AB AD BD AB BC AB AC BC AB B ⋅-+=
⋅-+=22cos 2
22222，消去B cos 得：2
2
2
AB DC AC BD BD DC BC AD BC ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，整理可得222
AB DC AC BD
AD BD DC
BD CD
⋅+⋅=-⋅+推论1：若AC AB =，则一定有22AD AB BD DC =-⋅(等腰三角形斯特瓦尔特定理)特例之极化恒等式：当D 为BC 中点时，有222
2
24
AB AC BC AD +=-
在ABC △中，若AD 是ABC △的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()(
)
1
2
12
AD AC AB BD AC AB
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．以此类推到三角形中线定理，若AD 是ABC △的中线，则()22222AB AC AD BD +=+．
（极化恒等式的三角形模式）在ABC △中，若D 是BC 的中点，则有222214
AB AC AD BC AD BD ⋅=-=- ．
极化恒等式在本书向量章节已经阐述其向量的计算法则，在这里我们更多强调解三角形的避免二次余弦定理计算，从而达到简化的效果．
【例1】（2019•高考模拟）在ABC △中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =（
）A ．22
B 13
C ．3
D 37
【例2】（2019•聊城二模）已知ABC ∆中，AB AC =，D 是边BC 上一点，若1BD =，2AD =，3DC =，则ABC ∆的面积为（）A ．2
B ．23
C ．4
D ．3
【例3】（2019•揭阳一模）已知ABC △中，3AB AC ==，sin 2sin ABC A ∠=，延长AB 到D 使得BD AB =，连结CD ，则CD 的长为（
）
A ．
332
B ．
3102
C ．
362
D ．36
【例4】（2019•广东模拟）在ABC △中，120BAC ∠=︒，8AB =，4AC =，点D 在边BC 上，且3DC BD =，则AD =
．
【例5】（2019•马鞍山二模）在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，点D 在线段BC 上，且3BC BD =，2AD =，则ABC △面积的最大值为
．
得出结论：所有的有定比分线的问题，可以倍长来处理，也可以用斯特瓦尔特定理来简化，一旦记不住斯特瓦尔特定理，倍长定比分线也可以救场！
【例6】（2018•安徽二模）在ABC △中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．D 是BC 边的中点，且102
AD 8sin 315a B c =，1
cos 4
A =-
，则ABC △面积为．
【例7】（2019•安徽模拟）在ABC △中，23
ABC π
∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC △面积的最大值为
．
【例8】（2012•安徽）设ABC △的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且有
2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+．
（1）求角A 的大小；
（2）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．
达标训练
1．（2018•宝安期中）如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，53AC =，5CD =，2BD AD =，则AD 的长为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
第1题图第2题图
2．（2018•沙坪坝月考）在ABC △中，4
A π
∠=，BC 边上的中线AD 长为2ABC △的面积S 的最大值为（
）
A ．22-
B ．222
-C ．2D ．2
3．（2019•毛坦厂月考）如图，在ABC △中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，2CD =cos A =（
）A ．
13
B ．
2
4
C ．
14
D ．0
4.（2019•河北模拟）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+，24c b +=，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为
．
5.（2019•嘉兴期末）在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，6
ABD π
∠=，22AC AD ==，则ABC ∆的面积为
．
6.（2019•秦淮月考）已知在ABC △中，D 是AC 边上的点，且AB AD =，6
BD AD =，2BC AD =，
则sin C 的值为
．
7．（2019•黄州月考）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =- 与向量(cos ,cos )n C B =
共线．
（1）求B ；（2）若37b =，3a =，且2AD DC =
，求BD 的长度．
8．（2019•全国一模）在ABC △中，6AB =，42AC =．
（1）若sin 223
B =，求AB
C △的面积；（2）若2B
D DC = ，32AD =BC 的长．。