2020届高三数学下学期3月模拟考试试题理

2020届高三数学下学期3月模拟考试试题理
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

本试卷共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{x|x2＋x－2<0}，则A∩B ＝
A.{x|－1<x<1}
B.{x|－1<x<2}
C.{x|－2<x<－1}
D.{x|－2<x<1}
2.若i·z＝1－2i，则|z|＝
A.5
B.3
C.
D.
3.若θ∈(0，)，cos(θ＋)＝，则sin(2θ＋)＝
A. B. C.－ D.－
4.函数，在[－，]的图象大致为
5.甲、乙、丙、丁四名志愿者去A，B，C三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同的安排方式共有
A.18种
B.36种
C.72种
D.81种
6.高斯函数[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[1.9]＝1，[－3.6]＝－4。

执行右边的程序框图，则输出S的值为
A.5
B.4
C.3
D.2
7.函数f(x)＝lnx＋ax3的图象在点P(1，f(1))处的切线分别交x 轴，y轴于A，B两点，O为坐标原点，，则a＝
A.－
B.－
C.
D.
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象关于直线x ＝对称，且f()＝0。

当ω取最小值时，φ＝
A. B. C. D.
9.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则|AB|＝
A.5
B.7
C.10
D.14
10.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为
A.6π
B.12π
C.16π
D.48π
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点。

若|PF2|＝
|F1F2|，且3|PF1|＝2|QF1|，则C的离心率为
A. B. C. D.2
12.设函数f(x)＝ax－xa(a>1)的定义域为(0，＋∞)，已知f(x)有
且只有一个零点，下列四个结论：
①a＝e；②f(x)在区间(1，e)单调递增；
③x＝e是f(x)的零点；④x＝1是f(x)的极大值点，f(e)是f(x)的最小值。

其中正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

13.已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且(a－2b)⊥b，则a与b 的夹角为。

14.设x，y满足约束条件，则z＝的最大值
为。

15.已知函数f(x)＝，且f(a)＝5，则f(2－a)
＝。

16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知ccosB＋bcos(A＋B)＝0，BD是AC边上的中线，且BD＝1，则△ABC面积的最大值为。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)
设{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn。

已知
a1，a2，a5成等比数列，S5＝25。

(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nan＋，数列{bn}的前n项和为Tn，求
T2n。

18.(12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD。

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若PA⊥AC，点M在棱PC上，且BM⊥MD，求二面角B－AM－C的余弦值。

19.(12分)
莆田市是福建省“历史文化名城”之一，也是旅游资源丰富的城
市。

“九头十八巷”、“二十四景”美如画。

某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况，在全市进行网上问卷(满分100分)调查，民众参与度极高。

该公司对得分数据X 进行统计拟合，认为X服从正态分布N(63，144)。

(1)从参与调查的民众中随机抽取200名作为幸运者，试估算其中得分在75分以上(含75分)的人数(四舍五入精确到1人)；
(2)在(1)的条件下，为感谢参与民众，该公司组织两种活动，得分在75分以上(含75分)的幸运者选择其中一种活动参与。

活动如下：
活动一参与一次抽奖。

已知抽中价值200元的礼品的概率为，抽中价值420元的礼品的概率为；
活动二挑战一次闯关游戏。

规则如下：游戏共有三关，闯关成功与否相互独立，挑战者依次闯关，第一关闯关失败者没有获得礼品，第二关起闯关失败者只能获得上一关的礼品，获得的礼品不累计，闯关结束，已知第一关通过的概率为，可获得价值300元的礼品；第二关通过的概率为，可获得价值800元的礼品；第三关通过的概率为，可获得价值1800元的礼品。

若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动，该公司以该期望值为依据，需准备多少元的礼品?
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，
P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974。

20.(12分)
已知F1，F2为椭圆E：的左、右焦点，点P在E上。

有以下三个条件：
①|F1F2|＝2；②点P的坐标为(，)；③PF1⊥PF2且|PF1|·|PF2|＝2。

(1)从三个条件中任意选择两个，求E的方程；
(2)在(1)的条件下，过点M(－4，0)的直线l与E交于A，B两点，B关于坐标原点的对称点为C，求△ABC面积的最大值。

21.(12分)
已知函数f(x)＝，g(x)＝(sinx－cosx)ex＋sinx＋cosx。

(1)求f(x)在区间(0，2π)的极值点；
(2)证明：g(x)在区间[－2π，2π]有且只有3个零点，且之和为0。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P(2，2)。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－ρcos2θ－4cosθ＝0。

(1)求C的直角坐标方程；
(2)若l与C交于A，B两点，求的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|。

(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥kx＋k，求k的取值范围。

2020届高三数学下学期3月模拟考试试题理
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

本试卷共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{x|x2＋x－2<0}，则A∩B＝
A.{x|－1<x<1}
B.{x|－1<x<2}
C.{x|－2<x<－1}
D.{x|－2<x<1}
2.若i·z＝1－2i，则|z|＝
A.5
B.3
C.
D.
3.若θ∈(0，)，cos(θ＋)＝，则sin(2θ＋)＝
A. B. C.－ D.－
4.函数，在[－，]的图象大致为
5.甲、乙、丙、丁四名志愿者去A，B，C三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同的安排方式共有
A.18种
B.36种
C.72种
D.81种
6.高斯函数[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[1.9]＝1，[－3.6]＝－4。

执行右边的程序
框图，则输出S的值为
A.5
B.4
C.3
D.2
7.函数f(x)＝lnx＋ax3的图象在点P(1，f(1))处的切线分别交x轴，y轴于A，B两点，O为坐标原点，，则a＝
A.－
B.－
C.
D.
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，且f()＝0。

当ω取最小值时，φ＝
A. B. C. D.
9.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则|AB|＝
A.5
B.7
C.10
D.14
10.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB 与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为
A.6π
B.12π
C.16π
D.48π
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点。

若|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝2|QF1|，则C的离心率为
A. B. C. D.2
12.设函数f(x)＝ax－xa(a>1)的定义域为(0，＋∞)，已知f(x)有且只有一个零点，下列四个结
论：
①a＝e；②f(x)在区间(1，e)单调递增；
③x＝e是f(x)的零点；④x＝1是f(x)的极大值点，f(e)是f(x)的最小值。

其中正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

13.已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且(a－2b)⊥b，则a与b的夹角为。

14.设x，y满足约束条件，则z＝的最大值为。

15.已知函数f(x)＝，且f(a)＝5，则f(2－a)＝。

16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知ccosB＋bcos(A＋B)＝0，BD是AC 边上的中线，且BD＝1，则△ABC面积的最大值为。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)
设{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn。

已知a1，a2，a5成等比数列，S5＝25。

(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nan＋，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n。

18.(12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD。

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若PA⊥AC，点M在棱PC上，且BM⊥MD，求二面角B－AM－C的余弦值。

19.(12分)
莆田市是福建省“历史文化名城”之一，也是旅游资源丰富的城市。

“九头十八巷”、“二十四景”美如画。

某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况，在全市进行网上问卷(满分100分)调查，民众参与度极高。

该公司对得分数据X进行统计拟合，认为X服从正态分布N(63，144)。

(1)从参与调查的民众中随机抽取200名作为幸运者，试估算其中得分在75分以上(含75分)的人数(四舍五入精确到1人)；
(2)在(1)的条件下，为感谢参与民众，该公司组织两种活动，得分在75分以上(含75分)的幸运者选择其中一种活动参与。

活动如下：
活动一参与一次抽奖。

已知抽中价值200元的礼品的概率为，抽中价值420元的礼品的概率为；
活动二挑战一次闯关游戏。

规则如下：游戏共有三关，闯关成功与否相互独立，挑战者依次闯关，第一关闯关失败者没有获得礼品，第二关起闯关失败者只能获得上一关的礼品，获得的
礼品不累计，闯关结束，已知第一关通过的概率为，可获得价值300元的礼品；第二关通过
的概率为，可获得价值800元的礼品；第三关通过的概率为，可获得价值1800元的礼品。

若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动，该公司以该期望值为依据，需准备多少元的礼品?
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，
P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974。

20.(12分)
已知F1，F2为椭圆E：的左、右焦点，点P在E上。

有以下三个条件：
①|F1F2|＝2；②点P的坐标为(，)；③PF1⊥PF2且|PF1|·|PF2|＝2。

(1)从三个条件中任意选择两个，求E的方程；
(2)在(1)的条件下，过点M(－4，0)的直线l与E交于A，B两点，B关于坐标原点的对称点为C，求△ABC面积的最大值。

21.(12分)
已知函数f(x)＝，g(x)＝(sinx－cosx)ex＋sinx＋cosx。

(1)求f(x)在区间(0，2π)的极值点；
(2)证明：g(x)在区间[－2π，2π]有且只有3个零点，且之和为0。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P(2，2)。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－ρcos2θ－4cosθ＝0。

(1)求C的直角坐标方程；
(2)若l与C交于A，B两点，求的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|。

(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥kx＋k，求k的取值范围。