八年级(上)1月月考期末复习数学试卷

八年级（上）1月月考期末复习数学试卷
一、选择题
1．变量x 、y 有如下的关系，其中y 是x 的函数的是（ ）
A ．28y x =
B ．||y x =
C ．1y x =
D ．412
x y = 2．若一个数的平方等于4，则这个数等于（ ）
A ．2±
B ．2
C ．16±
D ．16 3．关于x 的分式方程
7m 3x 1x 1+=--有增根，则增根为（ ） A ．x=1
B ．x=－1
C ．x=3
D ．x=－3 4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
5．如图，将△ABC 折叠，使点A 与BC 边中点D 重合，折痕为MN ，若AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
6．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案：
方案（一）：第一次提价%p ，第二次提价%q ；
方案（二）：第一次提价%q ，第二次提价%p ；
方案（三）：第一、二次提价均为
2%p q +； 其中p ，q 是不相等的正数.
有以下说法：
①方案（一）、方案（二）提价一样；
②方案（一）的提价也有可能高于方案（二）的提价；
③三种方案中，以方案（三）的提价最多；
④方案（三）的提价也有可能会低于方案（一）或方案（二）的提价.
其中正确的有（ ）
A ．②③
B ．①③
C ．①④
D ．②④
7．若点Α()m,n 在一次函数y=3x+b 的图象上,且3m-n>2,则b 的取值范围为 ( )
A．b>2 B．b>-2 C．b<2 D．b<-2
8．下列说法中正确的是（）
A．带根号的数都是无理数B．不带根号的数一定是有理数
C．无限小数都是无理数D．无理数一定是无限不循环小数
9．点M（3，-4）关于y轴的对称点的坐标是（）
A．（3，4）B．（-3，4）C．（-3，-4）D．（-4，3）
10．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：2：3
C．∠A＝∠B＝2∠C D．a＝1，b＝2，c＝3
二、填空题
11．“徐宿淮盐”铁路是一条连接徐州与盐城的高速铁路，全长约为316000米.将数据316000用四舍五入法精确到万位，并用科学记数法表示为____________.
12．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m，当m ＝3时，则点B的横坐标是_____．
13．如图，一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西45º的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西15º的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距____海里.
14．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为_____．
15．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是________（添加一个即可）
16．如图，在△ABC中，PH是AC的垂直平分线，AH＝3，△ABP的周长为11，则△ABC的周长为_____．
17．如图，已知ABD CBD ∠∠=，若以“SAS”为依据判定ABD ≌CBD ，还需添加的一个直接条件是______．
18．等腰三角形的一个内角是100︒，则它的底角的度数为_________________.
19．如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAC ＝ 120º，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝ _____°．
20．某人一天饮水1679mL ，精确到100mL 是_____．
三、解答题
21．如图，矩形ABCD 中，AB =12，BC =8，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．
（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；
（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．
22．某天早上爸爸骑车从家送小明去上学.途中小明发现忘带作业本，于是他立即下车，下车后的小明匀速步行继续赶往学校，同时爸爸加快骑车速度，按原路匀速返回家中取作业本（拿作业本的时间忽略不计），紧接着以返回时的速度追赶小明.最后两人同时达到学校. 如图是小明离家的距离()y m 与所用时间()min x 的函数图像.请结合图像回答下列问题：
（1）小明家与学校距离为______m ，小明步行的速度为______/min m ；
（2）求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式；
（3）在同一坐标系中画出爸爸离家的距离()y m 与所用时间()min x 的关系的图像.（标注．．相关数据．．．．
） 23．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ，CE 分别是AB 边上的中线和高．
（1）求证：AE=ED ；
（2）若AC=2，求△CDE 的周长．
24．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图①中，以格点为端点画一条长度为13的线段MN ；
（2）在图②中，A 、B 、C 是格点，求∠ABC 的度数．
25．阅读下列材料：
∵4＜5＜9，即2＜5＜3
∴5的整数部分为2，小数部分为5﹣2
请根据材料提示，进行解答：
（1）7的整数部分是 ．
（2）7的小数部分为m ，11的整数部分为n ，求m +n ﹣7的值．
四、压轴题
26．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．
（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．） （2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________．
27．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．
（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．
①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”；
②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．
①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值；
②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．
28．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.
29．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF
①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．
30．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y ＝
53
x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．
（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；
（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于272？请求
出点Q 的坐标；
（3）在y 轴上是否存在点P 使△PAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数的定义：对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应即可确定有几个函数．
【详解】
A. 28y x =，y 不是x 的函数，故错误；
B. ||y x =，y 不是x 的函数，故错误；
C. 1y x =
，y 是x 的函数，故正确； D. 412
x y =，y 不是x 的函数，故错误； 故选C.
【点睛】
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
平方为4，由此可得出答案．
【详解】
±2．
所以这个数是：±2．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平方根的知识，比较简单，注意不要漏解．
3．A
解析：A
【解析】
当x＝1时，分母为零，没有意义，所以是增根．故选A．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC 的长.
【详解】
在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BC=2BD.
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4
∴BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据中点的定义可得BD=3，由折叠的性质可知DN=AN，即DN+BN=AB=9，可得△DNB的周长.
【详解】
解：∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD=3，
由折叠的性质可知DN=AN，
∴△DNB的周长=DN+BN+BD=AN+BN+BD=AB+BD=9+3=12.
故选A.
【点睛】
本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据提价方案求出提价后三种方案的价格，得到方案（一）、方案（二）、方案（三）提
价情况，进行对比即可得解.
【详解】
∵方案（一）：(1%)(1%)1%%%%p q p q p q ++=+++
方案（二）：(1%)(1%)1%%%%q p q p q p ++=+++
∴方案（一）、方案（二）提价一样
∴①对，②错； ∵方案（三）：2(1%)(1%)1%%(%)222
p q p q p q p q ++++
+=+++ ∴可知： 21%%(
%)(1%%%%)2p q p q p q p q ++++-+++2(%)%%2
p q p q +=-2(%)2p q -= ∵p ，q 是不相等的正数 ∴2(%)02
p q -> ∴方案（三）提价最多
∴③对，④错
∴①③对
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了销售问题中的增长率问题，熟练掌握增长率的相关知识及整式的乘法化简是解决本题的关键.
7．D
解析：D
【解析】
分析：由点（m,n ）在一次函数3y x b =+的图像上，可得出3m+b=n ，再由3m-n ＞2，即可得出b ＜-2，此题得解．
详解：
∵点A （m ，n ）在一次函数y=3x+b 的图象上，
∴3m+b=n ．
∵3m-n ＞2，
∴3m-(3m+b)＞2，即-b>2,
∴b ＜-2．
故选D ．
点睛：考查了一次函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征，再结合3m-n ＞2，得出-b ＞2是解题的关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义判断各选项即可．
【详解】
A2
，是有理数，错误；
B中，例如π，是无理数，错误；
C中，无限循环小数是有理数，错误；
D正确，无限不循环的小数是无理数
故选：D
【点睛】
本题考查无理数的定义，注意含有π和根号开不尽的数通常为无理数．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y 轴的对称点P′的坐标是（−x，y）．
【详解】
∵点M（3，−4），
∴关于y轴的对称点的坐标是（−3，−4）．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标特点，熟练掌握关于坐标轴对称的特点是解题关键．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理判断A、C即可；根据勾股定理的逆定理判断B、D即可．
【详解】
A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
B、∵12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形；
C、∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=75°，∠C=37.5°，
∴△ABC不是直角三角形；
D、∵12+）2=22，
∴△ABC是直角三角形．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查利用三角形内角和定理和勾股定理判定直角三角形，熟练掌握，即可解题.二、填空题
11．【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于
解析：5
3.210
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
316000≈320000=3.2×105．
故答案为：3.2×105．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
12．3或4
【解析】
【分析】
作出图形，然后根据图形判断出横坐标的可能值即可；
【详解】
解：如图
当点B为(3,0)，(4,0)记ΔAOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），（1，2），（2，1
解析：3或4
【解析】
【分析】
作出图形，然后根据图形判断出横坐标的可能值即可；
【详解】
解：如图
当点B为(3,0)，(4,0)记内部（不包括边界）的整点为（1，1），（1，2），（2，1）共三个点，
故当时，则点的横坐标可能是3，4.
故填3，4.
【点睛】
此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．
13．50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【详解】
解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，∴∠ABC=45°+15°=60
解析：50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【详解】
解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，
∴∠ABC=45°+15°=60°
∵AB=BC=50，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=50；
故答案为：50.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
14．t=﹣0.006h+20
【解析】
【分析】
根据题意得到每升高1m气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．
【详解】
∵每升高1000m气温下降6℃，
∴每升高1m气温下降0.006℃，
∴气温
解析：t=﹣0.006h+20
【解析】
【分析】
根据题意得到每升高1m气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．
【详解】
∵每升高1000m气温下降6℃，
∴每升高1m气温下降0.006℃，
∴气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t=﹣0.006h+20，
故答案为：t=﹣0.006h+20．
【点睛】
本题考查了函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．
15．∠D=∠B
【解析】
【分析】
要判定△ADF≌△CBE，已经有AD=BC，DF=BE，还缺少第三组对应边相等或这两边组成的夹角相等，根据全等三角形的判定方法求解即可.
【详解】
∵AD=BC， D
解析：∠D=∠B
【解析】
【分析】
要判定△ADF≌△CBE，已经有AD=BC，DF=BE，还缺少第三组对应边相等或这两边组成的夹角相等，根据全等三角形的判定方法求解即可.
【详解】
∵AD=BC， DF=BE，
∴只要添加∠D=∠B，根据“SAS”即可证明△ADF≌△CBE.
故答案为∠D=∠B.
【点睛】
本题重点考查的是全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的知识是解答的关键，应该多加练习.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）.
16．17
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：是的垂直平分线，
，，
的周长为11，
，
的周长，
故答案为：17．
【点睛】
本题考
解析：17
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到PA PC =，26AC AH ==，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：PH 是AC 的垂直平分线，
PA PC ∴=，26AC AH ==，
ABP ∆的周长为11， 11AB BP PA AB BP BC AB BC ∴++=++=+=，
ABC ∆∴的周长17AB BC AC =++=，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．AB=BC
【解析】
【分析】
利用公共边BD 以及∠ABD=∠CBD，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件．
【详解】
如图，∵在△ABD 与△CBD 中，∠ABD=∠CBD
解析：AB=BC
【解析】
利用公共边BD以及∠ABD=∠CBD，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件．
【详解】
如图，∵在△ABD与△CBD中，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴添加AB=CB时，可以根据SAS判定△ABD≌△CBD，
故答案为AB=CB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
18．【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是
解析：40
【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
19．60°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质得：AD平分∠BAC，由此根据角平分线的定义得出结论．
【详解】
如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BA
解析：60°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质得：AD平分∠BAC，由此根据角平分线的定义得出结论．【详解】
如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
2
∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=1
2
×120°=60°，
故答案为：60°.
【点睛】
本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质. 20．7×103ml
【解析】
【分析】
先用科学记数法表示，再根据精确度求解．
【详解】
解：1679mL=1.679×103mL，所以1679mL精确到100mL是1.7×103mL．故答案为：1.
解析：7×103ml
【解析】
【分析】
先用科学记数法表示，再根据精确度求解．
【详解】
解：1679mL=1.679×103mL，所以1679mL精确到100mL是1.7×103mL．
故答案为：1.7×103mL．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字，属于基本题型，掌握求解的方法是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2
）
3
. 【解析】
【分析】 （1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE ，由勾股定理求出BD ，得出OD ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，
∴∠OBE=∠ODF ，
在△BOE 和△DOF 中，
,,
,OBE ODF OB OD BOE DOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△BOE ≌△DOF （ASA ），
∴EO=FO ，
∴四边形BEDF 是平行四边形；
（2）∵四边形BEDF 为菱形，
∴BE=DE DB ⊥EF ，
又∵AB=12，BC=8，
设BE=DE=x ，则AE=12-x ，
在Rt △ADE 中，82+（12-x ）2=x 2,
∴x ＝263
. 又BD
= ∴DO ＝
12BD ＝
∴OE
3. ∴
EF=2OE=
3
． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
22．（1）2500，100；（2）100500y x =+；（3）见解析
【解析】
【分析】 （1）看图得到小明家与学校距离为2500米，小明步行路程为（2500-1000）米，步行时间为（20-5）分，从而求出小明的步行速度；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）由题意分析，爸爸在点（5,1000）处返回家中，再至爸爸到达学校共用时15分，行驶2500+1000=3500米，所以可以求出此时爸爸的速度为
3500700153=米/分，然后求出爸爸返回家中时间为70030100037÷=分，所以爸爸于开始出发后的3065577
+=分到达家中，从而画出爸爸离家的距离()y
m 与所用时间()min x 的关系的图像.
【详解】 解：（1）有图可知：小明家与学校距离为2500米，小明步行路程为（2500-1000）米，步行时间为（20-5）分
∴小明的步行速度为
25001000100205
-=-米/分 故答案为：2500；100 （2）设AB 的表达式为y kx b =+，将A 、B 分别代入AB 的表达式得到
51000202500k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100500k b =⎧⎨=⎩
. ∴表达式100500y x =+.
（3）由题意，爸爸在点（5,1000）处返回家中，
∵最后两人同时达到学校
所以爸爸从开始返回家中至到达学校共用时15分，行驶2500+1000=3500米，
所以此时爸爸的速度为3500700153=米/分，爸爸返回家中时间为70030100037÷=分， 所以爸爸于开始出发后的3065577+
=分到达家中 即函数图像过点（
657
，0）（20,2500） 如图：
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，理清图中每个关键点的实际含义，利用数形结合思想解题是本题的解题关键. 23．（1）证明见解析；（2）33+
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AD ，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A=60°，从而判定△ACD 是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明；
（2）结合（1）中的结论，求得CD=2，DE=1，只需根据勾股定理求得CE 的长即可．
【详解】
（1）证明：∵∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，
∴CD=AD=DB ．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD 是等边三角形．
∵CE 是斜边AB 上的高，
∴AE=ED ．
（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED ，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴2213CE =-= ．
∴△CDE 的周长=21333CD ED CE ++=++=+．
24．（1）见解析；（2）45°
【解析】
【分析】
（1）根据网格和勾股定理即可在图①中，以格点为端点画一条长度为13的线段MN ； （2）连接AC ，根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC 是等腰直角三角形，进而可求∠ABC 的度数．
【详解】
解：（1）如图
根据勾股定理，得
MN （2）连接AC
∵AC 221310BC ，AB ==
∴AC 2+BC 2＝AB 2，
∴ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ABC ＝45°．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键．
25．（1）2；（2）1
【解析】
【分析】
（1<
（2<<，进而得出答案．
【详解】
解：（1<
∴23<<，
2．
故答案为：2；
（2）由（1）可得出，2m =
，
<，
∴n ＝3，
∴231m n +-=
+=．
【点睛】
本题考查的知识点是估算无理数的大小，估算无理数的大小要用逼近法，同时也考查了平方根． 四、压轴题
26．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE ，图③中，AE+BE=CE ；（3）1.5或4.5
【解析】
【分析】
（1）在BE 上截取BF DE =，连接AF ，只要证明△AED ≌△AFB ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE ，即可解决问题；
（2）图②中，CE+BE=AE ，延长EB 到F ，使BF=CE ，连接AF ，只要证明△ACE ≌△AFB ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE ，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE ，在EC 上截取CF=BE ，连接AF ，只要证明△AEB ≌△AFC ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF ，即可解决问题；
（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．【详解】
（1）证明：在BE上截取BF DE
=，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，
设∠EAC=∠DAE=x．
∵AD=AC=AB，
∴∠D=∠ABD=1
2
（180°-∠BAC-2x）=60°-x，
∴∠AEB=60-x+x=60°．
∵AC=AB，AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABF=∠ADE，
∵BF DE
=，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=DE，
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∵AP是CD的垂直平分线，
∴CE=DE，
∴CE=DE=BF，
∴CE+AE= BF+FE =BE；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，
∵AE =AE
∴△ACE≌△ADE，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABF=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC，BF=CE，
∴△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，∠BAF=∠CAE
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°
∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；
图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，
∵AE =AE
∴△ACE≌△ADE，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC，BE=CF，
∴△ACF≌△ABE，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°
∴△AFE 为等边三角形，
∴EF=AE ，
∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；
（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，
∵CE+AE=BE ，
∴BE-CE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=1.5；
在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；
图③中，若26BD AE ==，则AE=3，
∵AE+BE=CE ，
∴CE-BE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=4.5．
即CE=1.5或4.5．
【点睛】
本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-
【解析】
【分析】
（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；
②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；
（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明
△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；
②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．
【详解】
解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，
故答案为点P ；
②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）
（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．
∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k
-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，
∴∠ABC=90°，BC=BA ，
∴∠1＋∠2=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠2＋∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△BFC ≌△AOB ，
∴3FC OB ==，
可得OE ＝3．
∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，
0C x ∴<，
∴点C 的横坐标C x 的值为－3．
②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k
-，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +
点3(3,3)C k -+，如图2， -1＜C y ≤2，
即：-1＜33k
+ ≤2， 则334k -≤<-
． 【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得
CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3
,0
90A
ACB
∠=︒∠=︒
9060
ABC A
∴∠=︒-∠=︒
BD是ABC
∠的角平分线，DE AB
⊥
CD ED
∴=
在BCD
∆和BED
∆中，
CD ED
BD BD
=
⎧
⎨
=
⎩
()
BCD BED HL
∴∆≅∆
BC BE
∴=
EBC
∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED使得DF MD
=，连接MF
3
,0
90A
ACB
∠=︒∠=︒，BD是ABC
∠的角平分线，DE AB
⊥
60,
ADE BDE AD BD
∴∠=∠=︒=
60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE
∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF
∴∆是等边三角形
,60
MF DM F DMF
∴=∠=∠=︒
60
BMG
∠=︒
DMF DM B M
G
G D
M G
∴∠+∠=+∠
∠，即FMG DMB
∠=∠
在FMG
∆和DMB
∆中，
60
F MDB
MF MD
FMG DMB
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
FMG DMB ASA
∴∆≅∆
GF BD
∴=，即DF DG BD
+=
AD DF DG MD DG
∴=+=+
即AD DG MD
=+；
（3）结论：AD DG ND
=-，证明过程如下：
如图，延长BD使得DH ND
=，连接NH
由（2）可知，60,18060,
ADE HDN ADE BDE AD BD
∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN
∴∆是等边三角形
,60
NH ND H HND
∴=∠=∠=︒
60
BNG
∠=︒
HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠
在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()HNB DNG ASA ∴∆≅∆
HB DG ∴=，即DH BD DG +=
ND AD DG ∴+=
即AD DG ND =-．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．
29．（1）①见解析；②DE ＝
297
；（2）DE 的值为517 【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF＝x，
∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝29
7
，
∴DE＝29
7
；
（2）∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝35；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝317，
综上所述，DE的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
30．（1）点B （3，5），k ＝﹣43
，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478） 【解析】
【分析】
（1）53
y x =
相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）53
y x =相交于点B ，则点(3,5)B ， 将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43k =-
，9b =； （2）设点4(,9)3
Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，
故点Q （0，9）或（6，1）；
（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，
则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，
当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m
或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =
； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478
）. 【点睛】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。