2013届人教A版文科数学课时试题及解析(12)函数模型及其应用

课时作业 (十二 )
[时间：
[第12讲
45 分钟
函数模型及其应用
分值： 100 分 ]
]
基础热身
1．某物体一天中的温度T 是时间 t 的函数 T(t)＝ t3－ 3t＋ 60，时间单位是小时，温度单位是℃， t＝ 0 表示正午12 时，以后 t 值取为正，则上午8 时的温度是 ()
A ． 8℃B． 112℃C． 58℃D． 18℃
2．在一次数学试验中，运用图形计算器收集到以下一组数据：
x－ 2.0－ 1.00 1.00 2.00 3.00
y0.240.511 2.02 3.988.02
则 x， y 的函数关系与以下哪种函数最靠近？(此中 a， b 为待定系数 )()
A ． y＝ a＋ bx
B ． y＝a＋ b x
2b
C．y＝ ax ＋ b D． y＝ a＋
3． f(x)＝ x2， g(x)＝2x，h(x)＝ log 2x，当 x∈ (4，＋∞ )时，对三个函数的增添速度进行比较，以下选项中正确的选
项是
()
A ． f(x)>g(x)>h(x) C．g(x)>h(x)> f(x)
B ． g(x)>f(x)> h(x) D ． f(x)>h(x)> g( x)
4．某工厂生产一种仪器的固定成本为20000 元，每生产一台仪器需增添投入100 元．已知该仪器的每台售价P(元 )与每个月生产量x台的关系为P＝ 500－ x.为使该厂每个月所获收益最大，则该厂每个月生产这类仪器的台数为________． (注：收益＝销售收入－总成本)能力提高
5．以下所给 4 个图象中，与所给 3 件事符合最好的次序为()
图 K12－1
(1)我走开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是马上返回家里取了作业本再上
学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，不过在途中碰到一次交通拥塞，耽误了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，慢慢前进，以后为了赶时间开始加快．
A ． (1)(2)(4)
B ．(4)(2)(3)
C．(1)(2)(3) D ．(4)(1)(2)
6．国家规定个人稿费纳税方法为：不超出800 元的不纳税；超出800 元不超出 4000元的按超出 800 元的 14%纳税，超出4000 元的按全稿费的11%纳税．某人出了一本书，共
纳税 420 元，这个人稿费为 ()
A．3600 元 B ．3800 元
C．4000 元 D ．4200 元
图 K12－2
7．有一批资料能够围成200 米长的围墙，现用此资料在一边靠墙的地方围成一块矩形
场所，且内部用资料隔成三个面积相等的矩形(如图K12 － 2)，则围成的矩形场所的最大面
积为()
A．1000 米2B．2000 米2
C．2500 米2D．3000 米2
8．已知每生产100 克饼干的原资料加工费为 1.8 元．某食品加工厂对饼干采纳两种包装，其包装花费、销售价钱以下表所示：
型小包装大包装
重量100 克300 克
包装费 0.5 元 0.7 元 销售价钱
3.00 元
8.4 元
则以下说法中正确的选项是 ()
①买小包装优惠；②买大包装优惠；③卖
3 小包比卖
1 大包盈余多；④卖 1 大包比卖 3
小包盈余多．
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
9．将甲桶中的 a 升水迟缓注入空桶乙中，
t 分钟后甲桶中节余的水切合指数衰减曲线
y
＝ae nt
.若 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了
m 分钟后甲桶中的水只有
a
，则 m 的值为
8
()
A ．7
B ．8
C ．9
D ． 10 10．司机酒后驾驶危害别人的安全， 一个人喝了少许酒后， 血液中的酒精含量快速上升 到 0.3 mg/ml ，在停止饮酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通
安全，某地依据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超出
0.09 mg/ml ， 那么，该人起码经过 ________小时才能开车． (精准到 1 小时 ) 11． 鲁能泰山足球俱乐部为救援失学少儿准备在山东省体育中心体育场举行一场足球 义赛，估计卖出门票 2.4 万张，票价有 3 元、 5 元和 8 元三种，且票价 3 元和 5 元的张数的
积为 0.6.设 x 是门票的总收入，经估量，扣除其余各项开销后，该俱乐部的纯收入为函数 y
＝ l g2 x ，则这三种门票的张数分别为 ________万张时能够为失学少儿募捐的纯收入最大．
12．如图 K12 － 3 所示是一份统计图表，依据此图表获取的以下说法：
图 K12－3
(1)这几年人民生活水平逐年获取提高；
(2)人民生活收入增添最快的一年是 2008 年； (3)生活价钱指数上升速度最快的一年是 2009 年；
(4)固然 2010 年生活收入指数增添迟缓，但因为生活价钱指数略有降低，因此人民生活
有较大的改良． 此中说法正确的选项是 ________(填写序即可 )．
13． 某同学高三阶段 12 次数学考试的成绩体现前几次与后几次均连续上升，
中间几次
连续降落的趋向，现有三种函数模型：
① f(x)＝pq x ，② f(x) ＝log a x ＋q ，③ f(x)＝ (x － 1)(x － q)2＋ p(此中 p ，q 为正常数， 且 q>2) ．能
较正确反应数学成绩与考试次序关系，应选 ________作为模拟函数；若 f(1) ＝ 4，f(3) ＝ 6，
则所选函数 f(x)的分析式为 ________________ ．
14． (10 分 )某企业计划投资 A 、 B 两种金融产品，依据市场检查与展望， A 产品的收益
与投资量成正比率， 其关系如图 K12 －4(1) ，B 产品的收益与投资量的算术平方根成正比率， 其关系如图 (2)( 注：收益与投资量的单位：万元 )． (1)分别将 A 、 B 两种产品的收益表示为投资量的函数关系式；
(2)该企业有 10 万元资本， 并所有投入 A 、B 两种产品中， 问：如何分派这 10 万元投资，
才能使企业获取最大收益？其最大收益为多少万元？
图 K12－4
15． (13 分 )运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶
130 千米 (50≤x ≤ 100)．假定汽油
2
2 元，而汽车每小时耗油
x
14 元．
的价钱是每升 2＋
360 升，司机的薪资是每小时 (1) 求此次行车总花费 y 对于 x 的表达式；
(2) 当 x 为什么值时，此次行车的总花费最低？并求出最低花费的值．
难点打破
16． (12 分) 请你设计一个包装盒，如图 K12 － 5 所示， ABCD 是边长为 形硬纸片，切去暗影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
C 、
D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，
E 、F
被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE ＝ FB ＝ x(cm) ．
60 cm 的正方
A 、
B 、
在 AB 上，是
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm 2 )最大，试问 x 应取何值？ 3
(2)某厂商要求包装盒的容积
V(cm )最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值．
图 K12－5
课时作业 (十二 )
【基础热身】
1． A [ 分析 ] 因为 t ＝0 表示正午 12 时，则上午
8 时为 t ＝－ 4，代入函数即可获取 A.
2． B [ 分析 ] 由表格数据逐一考证，知模拟函数为
y ＝ a ＋b x . 3． B [ 分析 ] 画出函数的大概图象，以下图，当 x ∈ (4，＋∞ )时，指数函数图象位
于二次函数图象的上方，二次函数图象位于对数函数图象的上方，故
g(x)>f(x)>h(x) ．
4．200 [分析 ] 收益 y ＝ (500－x)x － 100x － 20000＝－ (x － 200) 2
＋ 20000，所以当 x ＝ 200
时， y 有最大值．
【能力提高】
5． D [ 分析 ] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为 0，
故应选图象 (4) ；途中有一段时间交通拥塞，则这段时间与家的距离必为必定值，故应选图 象(1) ；最后加快，故应选图象 (2) ．
6．B [分析 ] 设这个人的稿费为 x 元，明显 800＜ x ≤ 4000，不然若 x ≤ 800，则不纳税，
若 x>4000 ，则纳税额应大于 4000× 11%＝ 440 元，不合题意．所以有 (x － 800)× 14% ＝
420，
解得 x ＝3800.
7． C [ 分析 ] 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为
x 米、 y 米，如题图，则
4x ＋ 3y
200－ 4x 2
＝200.又 S ＝ 3xy ＝ 3x · 3
＝ x(200 － 4x)＝－ 4(x － 25) ＋ 2500，∴当 x ＝ 25 时，S max ＝ 2500.
8． D
[ 分析 ] 买小包装时每克花费为
3
元，买大包装时每克花费为 8.4 ＝ 2.8 元，而 3 2.8
，所以买大包装优惠．卖
100
300 100 3 小包的收益为 3×(3－ 1.8－ 0.5)＝2.1(元 )，卖 1 大包的利
100>
100
润是 8.4－ 1.8× 3－ 0.7＝ 2.3(元 )．而 2.3＞ 2.1，故卖 1 大包盈余多．
9． D [ 分析 ] 令1
a ＝ ae nt
，即 1
＝ e nt
，因为 1
＝ e 5n
，故 1
＝ e 15n
，比较知 t ＝ 15，m ＝ 15－ 5
8 8 2 8
＝10.
3 x
≤0.09，
10．5
[ 分析 ] 设 x 小时后， 血液中的酒精含量不超出
0.09mg/ml ，则有
0.3 ·
4
即 3 x
≤ 0.3，估量或取对数计算得 5 小时后，能够开车． 4
y ＝ lg2 x
已给定，因此只要要将条件信息提拿出来，按
11． 0.6,1,0.8 [分析 ] 函数模型 实质状况代入，应用于函数即可解决问题．
设 3 元、 5 元、 8 元门票的张数分别为 a 、 b 、 c ，
a ＋
b ＋
c ＝ 2.4，①
则 ab ＝ 0.6，②
x ＝ 3a ＋ 5b ＋ 8c ，③
①代入③有 x ＝ 19.2－ (5a ＋ 3b) ≤19.2－ 2 15ab ＝ 13.2，当且仅当
5a ＝ 3b ，
时等建立，
ab ＝ 0.6
解得 a ＝ 0.6， b ＝ 1，所以 c ＝ 0.8.
因为 y ＝lg2 x 为增函数，即此时 y 也恰有最大值．
12．(1)(2)(4) [分析 ] 此题是一个图表信息题，题中只给出一份统计图，利用统计图中所含的信息去剖析．由题意，“生活收入指数”减去“生活价钱指数”的差是逐年增大的，
故(1) 正确； “生活收入指数”在 2008～2009 年最陡， 故 (2) 正确； “生活价钱指数”在 2008 年～ 2009 年最陡， 故在 2008 年上升速度最快， 故 (3)不正确； 因为“生活价钱指数”略呈下
降，而“生活收入指数”曲线奉上升趋向，故 (4) 正确．
3
2
13．③
f(x)＝ x － 9x ＋ 24x － 12(1≤ x ≤12， x ∈ Z )
[分析 ] 因为 f(x)＝ pq x ， f(x)＝ log a x ＋ q 是单一函数， f(x)＝ (x － 1)(x － q)2＋ p 中， f ′ (x)＝
3x 2 － (4q ＋ 2)x ＋ q 2＋ 2q ，
令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝ q 或 x ＝
q ＋ 2
，f ′ (x)有两个零点， f( x)能够出现两个递加区间和一个 3
递减区间，所以应选
f(x)＝ (x － 1)(x － q)2＋ p 为其成绩模拟函数．
p ＝4，
p ＝4，
由 f(1) ＝4， f(3) ＝6 得 2 3－ q 2
＋ p ＝6，
解得
q>2，
q ＝ 4.
故 f(x) ＝x 3 － 9x 2＋24x － 12(1≤ x ≤12，且 x ∈ Z )．
14． [解答 ] (1) 设投资 x 万元， A 产品的收益为 f(x)万元， B 产品的收益为 g( x)万元．
依题意可设 f(x)＝k 1x ，g( x)＝ k 2 x ，
由图 (1)，得 f(1)＝ 0.2，即 k 1＝ 0.2＝1
.
5
4
由图 (2)，得 g(4) ＝ 1.6，即 k 2× 4＝ 1.6.∴ k 2＝
5，
1
， g(x) ＝
4
x(x ≥ 0)．
故 f(x) ＝ x(x ≥ 0)
5
5
(2)设 B 产品投入
x 万元，则 A 产品投入 10－ x 万元，设企业收益为
y 万元，
1 4
由 (1)得 y ＝ f(10－ x)＋ g(x)＝－ 5x ＋ 5 x ＋ 2(0≤ x ≤ 10)．
1 4 1
2 14
， 0≤ x ≤ 10，
∵ y ＝－ x ＋ 5 x ＋ 2＝－ ( x － 2) ＋
5 5 5
∴当 x ＝ 2，即 x ＝ 4 时， y max ＝
14
＝ 2.8，
5
所以当 A 产品投入 6 万元， B 产品投入 4 万元时，该企业获取最大收益，为 2.8 万元．
15． [解答 ] (1) 行车所用时间为 t ＝130， y ＝130× 2× 2＋ x 2
＋
14× 130， x ∈ [50,100] ，
x x 360 x
所以，此次行车总花费
y 对于 x 的表达式是 y ＝
2340
＋
13
2340＋13
x
18x ， x ∈ [50,100] ．
2340＝ 13
(2)y ＝ x 18x ≥ 26 10，当且仅当 x 18x ，即 x ＝ 18 10时，上述不等式中等建立． 故当 x ＝18 10时，此次行车的总花费最低，最低花费为 26 10元． 【难点打破】 16．[解答 ] 设包装盒的高为
h(cm)，底面边长为 a(cm)，由已知得 a ＝ 2x ，h ＝
60－2x ＝
2
2(30－ x)， 0＜x ＜ 30.
(1)S ＝ 4ah ＝ 8x(30－ x)＝－ 8(x － 15)2＋ 1800， 所以当 x ＝ 15 时， S 获得最大值．
(2)V ＝ a 2h ＝ 2 2(－ x 3＋ 30x 2)， V ′＝ 6 2x(20－ x)，
由 V ′＝ 0 得 x ＝ 0(舍 )或 x ＝ 20.
当 x ∈ (0,20)时， V ′＞ 0；当 x ∈ (20,30)时， V ′＜ 0.
所以当 x ＝ 20 时， V 获得极大值，也是最大值．
此时 h ＝ 1
，即包装盒的高与底面边长的比值为 1
a 2
2.。