2013届高三数学 章末综合测试题(15)解析几何(1)

2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( )
A ．D ＋E ＝2
B ．D ＋E ＝1
C ．
D ＋
E ＝－1
D ．D ＋
E ＝－2
解析 D 依题意得，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2，－E 2在直线x ＋y ＝1上，因此有－D 2－E
2＝1，即D
＋E ＝－2.
2．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )
A ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2
＝2 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝8
D ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝8
解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2.
3．已知F 1、F 2是椭圆x 2
4＋y 2
＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最
大值的点P 为( )
A ．(－2,0)
B ．(0,1)
C ．(2,0)
D ．(0,1)和(0，－1)
解析 D 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝
⎛⎭
⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，
当且仅当|PF 1|＝|PF 2|，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
4．已知椭圆x 216＋y 2
25＝1的焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1、F 2、P 三点
恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )
A.165 B ．3 C.163 D.25
3
解析 A 椭圆x 216＋y 2
25＝1的焦点分别为F 1(0，－3)、F 2(0,3)，易得∠F 1PF 2<π
2，∴
∠PF 1F 2＝π2或∠PF 2F 1＝π2，点P 到y 轴的距离d ＝|x p |，又|y p |＝3，x 2
p 16＋y 2
p
25＝1，解得|x P |
＝16
5
，故选A. 5．若曲线y ＝x 2
的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )
A ．4x ＋y ＋4＝0
B ．x －4y －4＝0
C ．4x －y －12＝0
D ．4x －y －4＝0
解析 D 设切点为(x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴2x 0＝4，即x 0＝2， ∴切点为(2,4)，方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 6．“m >n >0”是“方程mx 2
＋ny 2
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析 C 方程可化为x 21m
＋y 21n
＝1，若焦点在y 轴上，则1n >1
m
>0，即m >n >0.
7．设双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1只有一个公共点，则双曲线的离
心率为( )
A.54 B ．5 C.5
2
D. 5 解析 D 双曲线的渐近线为y ＝±b
a
x ，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点
即可由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x 2
＋1，y ＝b
a
x ，得x 2
－b
a
x ＋1＝0.
∴Δ＝b 2a
2－4＝0，即b 2＝4a 2
，∴e ＝ 5.
8．P 为椭圆x 24＋y 2
3＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2
→
＝( )
A ．3 B. 3 C ．2 3
D ．2
解析 D ∵S △PF 1F 2＝b 2
tan 60°2＝3×tan 30°＝3＝12|PF 1→|·|PF 2→|·sin 60°，
∴|PF 1→||PF 2→|＝4，∴PF 1→·PF 2→
＝4×12
＝2.
9．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2
＝8x 的焦点相同，离心率为12
，则
此椭圆的方程为( )
A.x 212＋y 216＝1
B.x 216＋y 212＝1
C.
x 2
48＋y 2
64
＝1 D.
x 2
64＋y 2
48
＝1
解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝2，c m ＝1
2
，
∴m ＝4，n 2
＝12，∴方程为x 216＋y 2
12
＝1.
10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D ．3
解析 B 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2
b 2＝
1可得y 2
＝b 4a 2，∴|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2
，∴e ＝c a
＝ 3.
11．已知抛物线y 2
＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左顶点，且此双曲线的
一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的焦距为( )
A. 5 B ．2 5 C. 3
D ．2 3
解析 B ∵抛物线y 2
＝4x 的准线x ＝－1过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左顶点，
∴a ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，∴
b ＝2，∴
c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2 5.
12．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a
－y
2
＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )
A.19
B.14
C.13
D.12
解析 A 由于M (1，m )在抛物线上，∴m 2
＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M 到抛物线的准线x ＝－p 2的距离也为5，∴1＋p
2＝5，∴p ＝8，由此
可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A (－a ，0)，∴k AM ＝4
1＋a
，而双曲线的渐近线方程为
y ＝±
x a ，根据题意得，41＋a ＝1a
，∴a ＝19.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.
解析 l 1⊥l 2⇔a ·2a －1＝－1，解得a ＝13
. 【答案】 1
3
14．直线l ：y ＝k (x ＋3)与圆O ：x 2
＋y 2
＝4交于A ，B 两点，|AB |＝22，则实数k ＝________.
解析 ∵|AB |＝22，圆O 半径为2，∴O 到l 的距离d ＝22
－2＝ 2.即
|3k |
k 2＋1
＝2，
解得k ＝±
14
7
. 【答案】 ±
147
15．过原点O 作圆x 2
＋y 2
－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________．
解析 如图，圆的方程可化为 (x －3)2
＋(y －4)2
＝5，
∴|OM |＝5，|OQ |＝25－5＝2 5. 在△OQM 中，
12|QA |·|OM |＝1
2|OQ |·|QM |， ∴|AQ |＝25×55＝2，∴|PQ |＝4.
【答案】 4
16．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →
|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．
解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点．
则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |， |AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22，
∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2，
∴方程为x 22－y 2
2
＝1(x >2)．
【答案】
x 22
－y 2
2
＝1(x >2) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y ＝x ＋4上，半径为22的圆C 经过原点O .
(1)求圆C 的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆C 所截得弦长为4的直线方程． 解析 (1)设圆心为(a ，b )，
则⎩⎨⎧
b ＝a ＋4，a 2
＋b 2＝22，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝2，
故圆的方程为(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝8.
(2)当斜率不存在时，x ＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意； 当斜率存在时，设直线为y －2＝kx ，
则由题意得，8＝4＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－2k 1＋k 22
，无解．
综上，直线方程为x ＝0.
18．(12分)(2011·合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－
32. (1)求椭圆方程；
(2)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点．试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．
解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
由c ＝3，椭圆过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－32可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－b 2
＝3，1a 2＋3
4b
2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝1，
所以可得椭圆方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由题意可设直线MN 的方程为：x ＝ky －6
5
，
联立直线MN 和椭圆的方程：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky －6
5
，x
2
4＋y 2
＝1，
化简得(k 2＋4)y 2
－125ky －6425
＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝－
64
25
k 2＋4，y 1＋y 2＝
12k
5
k 2＋4
，
又A (－2,0)，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2
＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，
所以∠MAN ＝π
2
.
19．(12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP |
|OM |＝e (e 为椭圆离
心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，
由已知，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －c ＝1，
a ＋c ＝7，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
c ＝3.
∴椭圆方程为x 216＋y 2
7
＝1.
(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]，
由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2
，而e ＝34
，
故16(x 2
＋y 2
1)＝9(x 2
＋y 2
)，① 由点P 在椭圆C 上，得y 21
＝112－7x
2
16
，
代入①式并化简，得9y 2
＝112. ∴点M 的轨迹方程为y ＝±
47
3
(－4≤x ≤4)， ∴轨迹是两条平行于x 轴的线段．
20．(12分)给定抛物线y 2
＝2x ，设A (a,0)，a >0，P 是抛物线上的一点，且|PA |＝d ，试求d 的最小值．
解析 设P (x 0，y 0)(x 0≥0)，则y 2
0＝2x 0， ∴d ＝|PA |＝
x 0－a
2
＋y 2
0＝
x 0－a
2
＋2x 0＝[x 0＋1－a ]2
＋2a －1.
∵a >0，x 0≥0，
∴(1)当0<a <1时，1－a >0， 此时有x 0＝0时，d min ＝
1－a
2
＋2a －1＝a ；
(2)当a ≥1时，1－a ≤0， 此时有x 0＝a －1时，d min ＝2a －1.
21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．
解析 (1)∵双曲线离心率e ＝2， ∴设所求双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 知λ＝42
－(－10)2
＝6， ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝6.
(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32
－m 2
＝6，∴m 2
＝3，由双曲线x 2
－y 2
＝6知F 1(23，0)，F 2(－23，0)，
∴MF 1→·MF 2→＝(23－3，－m )·(－23－3，－m )＝m 2
－3＝0， ∴MF 1→⊥MF 2→
，故点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝1
2
|F 1F 2|·|m |＝23×3＝6.
22．(12分)已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1
m
2.
(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m ＝2时，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l 上横坐标小于2的点P 到点(1,0)的距离与到直线x ＝2的距离之比的最小值等于曲线C 的离心率．
解析 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝
y －0x ＋m ，k SB ＝y －0
x －m
. 由题意，得y 2
x 2－m 2＝－1
m 2，即x 2m
2＋y 2
＝1(x ≠±m )．
∵m >1，
∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.
(2)当m ＝2时，曲线C 的方程为x 2
2＋y 2
＝1(x ≠±2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋t ＝0，x 22
＋y 2
＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2
－2＝0.
令Δ＝64t 2
－36×2(t 2
－1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3.
此时直线l 与曲线C 有且只有一个公共点． (3)由(2)知直线l 的方程为2x －y ＋3＝0，
设点P (a,2a ＋3)(a <2)，d 1表示P 到点(1,0)的距离，d 2表示P 到直线x ＝2的距离，则
d 1＝a －1
2
＋2a ＋3
2
＝5a 2
＋10a ＋10，
d 2＝2－a ，
∴d 1d 2＝5a 2＋10a ＋102－a
＝5×a 2＋2a ＋2
a －22
.
令f (a )＝a 2＋2a ＋2
a －22
，
则f ′(a )＝2a ＋2
a －2
2
－2a 2
＋2a ＋2a －2
a －24
＝
－6a ＋8
a －23
.
令f ′(a )＝0，得a ＝－4
3.
∵当a <－4
3时，f ′(a )<0；
当－4
3
<a <2时，f ′(a )>0.
∴f (a )在a ＝－43时取得最小值，即d 1
d 2取得最小值，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1d
2min ＝
5·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝22
，
又椭圆的离心率为
22
， ∴d 1d 2
的最小值等于椭圆的离心率．。